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1.如图,拱桥的形状是抛物线,其函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$,当拱顶离水面2 m时,水面的宽度为(
A.2 m
B.4 m
C.6 m
D.8 m
B
).A.2 m
B.4 m
C.6 m
D.8 m
答案
1.B
解析
【分析】
首先明确坐标系中拱顶为坐标原点，拱顶离水面2m，说明水面所在位置的纵坐标为$ y=-2 $；要求水面宽度，只需要将$ y=-2 $代入抛物线解析式，求出对应的x的两个取值，两个x值的差的绝对值就是水面的宽度。
【解析】
已知拱顶离水面2m，结合坐标系可知水面处的纵坐标$ y=-2 $，将$ y=-2 $代入抛物线解析式$ y=-\frac{1}{2}x^2 $，得：
$-2 = -\frac{1}{2}x^2$
两边同时乘以$-2$，得：$x^2=4$
解得：$x_1=2$，$x_2=-2$
所以水面的宽度为$ |2 - (-2)| = 4\ \mathrm{m} $
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用，解一元二次方程，抛物线对称性
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用，解题的关键是结合题意确定水面对应的函数值，再代入解析式求解，利用抛物线的对称性可以更快得到结果。
【难度系数】
0.8
首先明确坐标系中拱顶为坐标原点，拱顶离水面2m，说明水面所在位置的纵坐标为$ y=-2 $；要求水面宽度，只需要将$ y=-2 $代入抛物线解析式，求出对应的x的两个取值，两个x值的差的绝对值就是水面的宽度。
【解析】
已知拱顶离水面2m，结合坐标系可知水面处的纵坐标$ y=-2 $，将$ y=-2 $代入抛物线解析式$ y=-\frac{1}{2}x^2 $，得：
$-2 = -\frac{1}{2}x^2$
两边同时乘以$-2$，得：$x^2=4$
解得：$x_1=2$，$x_2=-2$
所以水面的宽度为$ |2 - (-2)| = 4\ \mathrm{m} $
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用，解一元二次方程，抛物线对称性
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用，解题的关键是结合题意确定水面对应的函数值，再代入解析式求解，利用抛物线的对称性可以更快得到结果。
【难度系数】
0.8
2.如图,某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分,其函数解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2$.当水面的宽度AB为8 m时,水面到桥顶的距离OH为(
A.4 m
B.8 m
C.10 m
D.12 m
A
).A.4 m
B.8 m
C.10 m
D.12 m
答案
2.A
解析
【分析】
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：①首先明确该抛物线的对称轴为y轴，水面宽度AB为8m，根据对称性可知A、B两点的横坐标分别为-4和4；②将横坐标代入二次函数解析式，求出对应点的纵坐标；③水面到桥顶的距离OH是桥顶原点到水面所在直线的距离，即所得纵坐标的绝对值。
【解析】
解：
∵抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2$，其对称轴为y轴，水面宽度$AB=8\mathrm{m}$
∴点B的横坐标为$\frac{8}{2}=4$
将$x=4$代入$y=-\frac{1}{4}x^2$得：
$y=-\frac{1}{4}×4^2=-\frac{1}{4}×16=-4$
即水面所在直线的纵坐标为-4，桥顶O坐标为$(0,0)$
∴水面到桥顶的距离$OH=|0-(-4)|=4\mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
二次函数的实际应用；抛物线的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数应用的基础题，解题的关键是利用抛物线的对称性确定水面端点的横坐标，再代入解析式求解对应纵坐标，结合距离的含义即可得到结果。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：①首先明确该抛物线的对称轴为y轴，水面宽度AB为8m，根据对称性可知A、B两点的横坐标分别为-4和4；②将横坐标代入二次函数解析式，求出对应点的纵坐标；③水面到桥顶的距离OH是桥顶原点到水面所在直线的距离，即所得纵坐标的绝对值。
【解析】
解：
∵抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2$，其对称轴为y轴，水面宽度$AB=8\mathrm{m}$
∴点B的横坐标为$\frac{8}{2}=4$
将$x=4$代入$y=-\frac{1}{4}x^2$得：
$y=-\frac{1}{4}×4^2=-\frac{1}{4}×16=-4$
即水面所在直线的纵坐标为-4，桥顶O坐标为$(0,0)$
∴水面到桥顶的距离$OH=|0-(-4)|=4\mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
二次函数的实际应用；抛物线的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数应用的基础题，解题的关键是利用抛物线的对称性确定水面端点的横坐标，再代入解析式求解对应纵坐标，结合距离的含义即可得到结果。
【难度系数】
0.8
3.如图,搭建一座蔬菜大棚,横截面形状为抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+8$(单位:m),施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架$DEFG$,已知$DE:EF=3:2$,则脚手架高$DE$为(
A.7 m
B.6 m
C.5 m
D.4 m
B
).A.7 m
B.6 m
C.5 m
D.4 m
答案
3.B
解析
【分析】
本题是二次函数与矩形结合的实际应用题，解题思路如下：1. 先明确抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+8$关于y轴对称，因此矩形DEFG也关于y轴对称；2. 根据DE和EF的比例关系设参数，利用对称性表示出抛物线上点G的坐标；3. 将点G坐标代入抛物线解析式，解一元二次方程得到参数值，即可求出DE的长度，注意要舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
∵抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+8$，
∴抛物线的对称轴为y轴，矩形DEFG关于y轴对称。
设$DE=3k\ \mathrm{m}$，$EF=2k\ \mathrm{m}$（$k＞0$），由对称性可得点G的坐标为$(k,3k)$。
∵点G在抛物线上，将$x=k$，$y=3k$代入抛物线解析式得：
$3k=-\frac{1}{2}k^2+8$
整理得$k^2+6k-16=0$，因式分解为$(k+8)(k-2)=0$，
解得$k_1=2$，$k_2=-8$（长度为正，舍去），
因此$DE=3k=3×2=6\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；矩形的性质；解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，核心解题突破口是利用抛物线的对称性表示出抛物线上点的坐标，代入解析式求解即可，解题时要注意结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数与矩形结合的实际应用题，解题思路如下：1. 先明确抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+8$关于y轴对称，因此矩形DEFG也关于y轴对称；2. 根据DE和EF的比例关系设参数，利用对称性表示出抛物线上点G的坐标；3. 将点G坐标代入抛物线解析式，解一元二次方程得到参数值，即可求出DE的长度，注意要舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
∵抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+8$，
∴抛物线的对称轴为y轴，矩形DEFG关于y轴对称。
设$DE=3k\ \mathrm{m}$，$EF=2k\ \mathrm{m}$（$k＞0$），由对称性可得点G的坐标为$(k,3k)$。
∵点G在抛物线上，将$x=k$，$y=3k$代入抛物线解析式得：
$3k=-\frac{1}{2}k^2+8$
整理得$k^2+6k-16=0$，因式分解为$(k+8)(k-2)=0$，
解得$k_1=2$，$k_2=-8$（长度为正，舍去），
因此$DE=3k=3×2=6\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；矩形的性质；解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，核心解题突破口是利用抛物线的对称性表示出抛物线上点的坐标，代入解析式求解即可，解题时要注意结合实际意义对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
4.如图所示,某建筑物有一抛物线形的大门,小明想知道这道门的高度,他先测出门的宽度AB=6 m,然后用一根长为3 m的竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁,并测得AC=1 m,则门高OE为(
A.5 m
B.5.4 m
C.5.6 m
D.6.4 m
B
).A.5 m
B.5.4 m
C.5.6 m
D.6.4 m
答案
4.B
解析
【分析】
要解决抛物线形大门的高度问题，我们可以通过建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解。首先以AB中点O为原点，AB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴建立坐标系，先确定已知点的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式，最后求抛物线与y轴交点的纵坐标，即为门高OE。
【解析】
解：以点O为原点，AB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意知AB=6m，因此A点坐标为$(-3,0)$，B点坐标为$(3,0)$。
已知AC=1m，所以$OC=OA-AC=3-1=2\mathrm{m}$，又CD垂直x轴且CD=3m，因此D点坐标为$(-2,3)$。
设抛物线的解析式为交点式：$y=a(x+3)(x-3)$。
将$D(-2,3)$代入解析式得：
$3=a×(-2+3)×(-2-3)$
$3=a×1×(-5)$
解得$a=-\frac{3}{5}$。
因此抛物线解析式为$y=-\frac{3}{5}(x+3)(x-3)=-\frac{3}{5}x^2+\frac{27}{5}$。
当$x=0$时，$y=\frac{27}{5}=5.4$，即门高OE为5.4m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用、待定系数法求解析式、抛物线性质
【点评】
本题是二次函数在实际几何问题中的典型应用，解题关键是合理建立平面直角坐标系，将实际长度转化为点的坐标，通过求解函数解析式得到对应高度，属于常规应用类题型。
【难度系数】
0.7
要解决抛物线形大门的高度问题，我们可以通过建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解。首先以AB中点O为原点，AB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴建立坐标系，先确定已知点的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式，最后求抛物线与y轴交点的纵坐标，即为门高OE。
【解析】
解：以点O为原点，AB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意知AB=6m，因此A点坐标为$(-3,0)$，B点坐标为$(3,0)$。
已知AC=1m，所以$OC=OA-AC=3-1=2\mathrm{m}$，又CD垂直x轴且CD=3m，因此D点坐标为$(-2,3)$。
设抛物线的解析式为交点式：$y=a(x+3)(x-3)$。
将$D(-2,3)$代入解析式得：
$3=a×(-2+3)×(-2-3)$
$3=a×1×(-5)$
解得$a=-\frac{3}{5}$。
因此抛物线解析式为$y=-\frac{3}{5}(x+3)(x-3)=-\frac{3}{5}x^2+\frac{27}{5}$。
当$x=0$时，$y=\frac{27}{5}=5.4$，即门高OE为5.4m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用、待定系数法求解析式、抛物线性质
【点评】
本题是二次函数在实际几何问题中的典型应用，解题关键是合理建立平面直角坐标系，将实际长度转化为点的坐标，通过求解函数解析式得到对应高度，属于常规应用类题型。
【难度系数】
0.7
5.如图是某抛物线形拱桥横断面的示意图,正常水位时水面宽AB为8 m,拱桥最高点到水面AB的距离为4 m,当水位上升1 m时,水面CD的宽为(
A.4 m
B.$4\sqrt{2}$ m
C.6 m
D.$4\sqrt{3}$ m
D
).A.4 m
B.$4\sqrt{2}$ m
C.6 m
D.$4\sqrt{3}$ m
答案
5.D
解析
【分析】
这是抛物线在实际生活中的应用问题，解题思路是通过建立平面直角坐标系，将实际长度转化为坐标点，先求抛物线解析式，再代入条件计算所求宽度。我们可以以AB所在直线为x轴、AB的中点为原点建立坐标系，此时A、B及拱桥最高点的坐标都容易确定，用顶点式求抛物线解析式后，代入水位上升后水面的纵坐标，即可求出对应横坐标，进而得到CD的宽度。
【解析】
解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系。
由题意得：A(-4,0)，B(4,0)，抛物线顶点（拱桥最高点）坐标为(0,4)。
设抛物线的解析式为顶点式$y=ax^2+4$，将B(4,0)代入解析式：
$0=a×4^2+4$，解得$a=-\frac{1}{4}$
所以抛物线解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2+4$
当水位上升1m时，此时水面的纵坐标为$y=1$，将$y=1$代入解析式：
$1=-\frac{1}{4}x^2+4$
整理得$x^2=12$，解得$x=\pm2\sqrt{3}$
所以C点坐标为$(-2\sqrt{3},1)$，D点坐标为$(2\sqrt{3},1)$，则CD的宽度为$2\sqrt{3}-(-2\sqrt{3})=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【答案】
D
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数实际应用的常见题型，核心是通过合理建立坐标系，将几何问题转化为二次函数的代数计算问题，解题时选择合适的坐标系能大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
这是抛物线在实际生活中的应用问题，解题思路是通过建立平面直角坐标系，将实际长度转化为坐标点，先求抛物线解析式，再代入条件计算所求宽度。我们可以以AB所在直线为x轴、AB的中点为原点建立坐标系，此时A、B及拱桥最高点的坐标都容易确定，用顶点式求抛物线解析式后，代入水位上升后水面的纵坐标，即可求出对应横坐标，进而得到CD的宽度。
【解析】
解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系。
由题意得：A(-4,0)，B(4,0)，抛物线顶点（拱桥最高点）坐标为(0,4)。
设抛物线的解析式为顶点式$y=ax^2+4$，将B(4,0)代入解析式：
$0=a×4^2+4$，解得$a=-\frac{1}{4}$
所以抛物线解析式为$y=-\frac{1}{4}x^2+4$
当水位上升1m时，此时水面的纵坐标为$y=1$，将$y=1$代入解析式：
$1=-\frac{1}{4}x^2+4$
整理得$x^2=12$，解得$x=\pm2\sqrt{3}$
所以C点坐标为$(-2\sqrt{3},1)$，D点坐标为$(2\sqrt{3},1)$，则CD的宽度为$2\sqrt{3}-(-2\sqrt{3})=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【答案】
D
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数实际应用的常见题型，核心是通过合理建立坐标系，将几何问题转化为二次函数的代数计算问题，解题时选择合适的坐标系能大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
