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2.某种商品每件的进价为30元，若以每件x元售出，可卖出(80－x)件，下列说法中正确的是(
A.这种商品的销售利润可表示为x(80－x)
B.这种商品的销售利润随x的增大而增大
C.每件商品售价定为40元或50元时，销售这种商品可获得相同的利润
D.若每件商品售价定为55元，则可获得最大利润
D
)。A.这种商品的销售利润可表示为x(80－x)
B.这种商品的销售利润随x的增大而增大
C.每件商品售价定为40元或50元时，销售这种商品可获得相同的利润
D.若每件商品售价定为55元，则可获得最大利润
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先要明确销售利润的计算公式：总利润=单件利润×销售量，据此先列出利润关于售价x的函数表达式，将其整理为二次函数的顶点式，再结合二次函数的开口方向、增减性、最值等性质，逐一验证四个选项的正误即可。
【解析】
设该商品的销售利润为y元，根据题意得：
单件利润为(x-30)元，销售量为(80-x)件，因此总利润：
$\begin{aligned}y&=(x-30)(80-x)\\&=-x^2+110x-2400\\&=-(x-55)^2+625\end{aligned}$
该函数是开口向下的二次函数，对称轴为直线x=55，顶点坐标为(55,625)。
逐一判断选项：
A. 销售利润应为(x-30)(80-x)，选项表达式未扣除进价，错误；
B. 当x＜55时，利润随x的增大而增大，当x＞55时，利润随x的增大而减小，并非一直随x增大而增大，错误；
C. 当x=40时，y=(40-30)×(80-40)=400；当x=50时，y=(50-30)×(80-50)=600，两者利润不相等，错误；
D. 该二次函数开口向下，顶点为最大值点，即x=55时利润最大，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 销售利润计算 2. 二次函数的图象与性质 3. 二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，解题核心是正确列出利润的函数表达式，再利用二次函数的性质分析最值、增减性以及函数值的大小，熟练掌握二次函数顶点式的化简和应用是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确销售利润的计算公式：总利润=单件利润×销售量，据此先列出利润关于售价x的函数表达式，将其整理为二次函数的顶点式，再结合二次函数的开口方向、增减性、最值等性质，逐一验证四个选项的正误即可。
【解析】
设该商品的销售利润为y元，根据题意得：
单件利润为(x-30)元，销售量为(80-x)件，因此总利润：
$\begin{aligned}y&=(x-30)(80-x)\\&=-x^2+110x-2400\\&=-(x-55)^2+625\end{aligned}$
该函数是开口向下的二次函数，对称轴为直线x=55，顶点坐标为(55,625)。
逐一判断选项：
A. 销售利润应为(x-30)(80-x)，选项表达式未扣除进价，错误；
B. 当x＜55时，利润随x的增大而增大，当x＞55时，利润随x的增大而减小，并非一直随x增大而增大，错误；
C. 当x=40时，y=(40-30)×(80-40)=400；当x=50时，y=(50-30)×(80-50)=600，两者利润不相等，错误；
D. 该二次函数开口向下，顶点为最大值点，即x=55时利润最大，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 销售利润计算 2. 二次函数的图象与性质 3. 二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，解题核心是正确列出利润的函数表达式，再利用二次函数的性质分析最值、增减性以及函数值的大小，熟练掌握二次函数顶点式的化简和应用是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
3.咸阳被称为“苹果之乡”，所产苹果销往全国各地.某超市1月份以20元/箱的价格购进一批苹果，经市场调查后发现，这种苹果的月销售量$y$(单位:箱)与售价$x$(单位:元/箱)$(25≤ x≤45)$之间满足一次函数关系$y=-2x+100$，其图象如图所示.该苹果的总销售利润为$w$元，要使销售利润最大，售价$x$应定为
（第3题）
35
元.（第3题）答案
3.35
解析
【分析】
要解决销售利润最大的问题，首先明确利润的计算关系：总利润=每箱利润×销售量。每箱利润为售价x减去进价20元，即$(x-20)$元，销售量y已知为$-2x+100$，二者相乘即可得到总利润w关于x的二次函数表达式，再结合二次函数的最值性质，同时考虑x的取值范围$25≤x≤45$，即可求出利润最大时的售价。
【解析】
由题意可知，每箱苹果的利润为$(x-20)$元，月销售量为$y=-2x+100$箱，因此总利润：
$\begin{aligned}w&=(x-20)y\\&=(x-20)(-2x+100)\\&=-2x^2+140x-2000\end{aligned}$
这是一个二次函数，其中$a=-2＜0$，抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-2$，$b=140$得：
$x=-\frac{140}{2×(-2)}=35$
又因为$25≤35≤45$，符合售价的取值范围，因此当售价$x=35$元时，销售利润最大。
【答案】
35
【知识点】
销售利润计算，二次函数最值，函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的销售场景，考查利用函数解决实际最值问题的能力，解题的核心是正确构建利润的二次函数模型，再结合二次函数的性质和自变量的取值范围求解，是函数类应用题的常见题型。
【难度系数】
0.7
要解决销售利润最大的问题，首先明确利润的计算关系：总利润=每箱利润×销售量。每箱利润为售价x减去进价20元，即$(x-20)$元，销售量y已知为$-2x+100$，二者相乘即可得到总利润w关于x的二次函数表达式，再结合二次函数的最值性质，同时考虑x的取值范围$25≤x≤45$，即可求出利润最大时的售价。
【解析】
由题意可知，每箱苹果的利润为$(x-20)$元，月销售量为$y=-2x+100$箱，因此总利润：
$\begin{aligned}w&=(x-20)y\\&=(x-20)(-2x+100)\\&=-2x^2+140x-2000\end{aligned}$
这是一个二次函数，其中$a=-2＜0$，抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-2$，$b=140$得：
$x=-\frac{140}{2×(-2)}=35$
又因为$25≤35≤45$，符合售价的取值范围，因此当售价$x=35$元时，销售利润最大。
【答案】
35
【知识点】
销售利润计算，二次函数最值，函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的销售场景，考查利用函数解决实际最值问题的能力，解题的核心是正确构建利润的二次函数模型，再结合二次函数的性质和自变量的取值范围求解，是函数类应用题的常见题型。
【难度系数】
0.7
4.某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y(单位:kg)与售价x(单位:元/千克)之间满足一次函数关系，部分信息如下表，下列说法
下面有4种说法：
①用含x的式子表示y，可以写成$y=-x+300$；
②当月销售利润为7296元时，售价为72元/千克；
③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元；
④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元。
所有正确说法的序号是
下面有4种说法：
①用含x的式子表示y，可以写成$y=-x+300$；
②当月销售利润为7296元时，售价为72元/千克；
③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元；
④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元。
所有正确说法的序号是
①④
。答案
4.①④
解析
【分析】
解题时首先根据y与x是一次函数的关系，利用表格中的两组数据求出函数解析式，验证说法①；再根据“销售利润=每千克利润×销售量”建立利润关于售价x的二次函数，结合二次函数性质、一元二次方程求解、不等式限制条件，逐一验证剩下的三个说法，最终筛选出正确的序号。
【解析】
1. 验证说法①：
设一次函数解析式为$y=kx+b$，将$\begin{cases}x=50,y=250\\x=60,y=240\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}50k + b = 250 \\60k + b = 240\end{cases}$
解得$k=-1$，$b=300$，即$y=-x+300$，故①正确。
2. 建立利润函数：
设月销售利润为$W$元，每千克利润为$(x-40)$元，因此：
$W=(x-40)y=(x-40)(-x+300)$
整理配方得：$W=-(x-170)^2+16900$，该函数开口向下，顶点坐标为$(170,16900)$，无限制条件下最大利润为16900元，故④正确。
3. 验证说法②：
令$W=7296$，代入得$-(x-170)^2+16900=7296$，
解得$(x-170)^2=9604$，即$x-170=\pm98$，
得$x_1=72$，$x_2=268$，即售价为72元/千克或268元/千克时利润均为7296元，故②错误。
4. 验证说法③：
总进价不超过5000元，则月销售量$y≤\frac{5000}{40}=125\mathrm{kg}$，
代入$y=-x+300≤125$，解得$x≥175$。
利润函数$W=-(x-170)^2+16900$开口向下，在$x≥170$时$W$随$x$增大而减小，因此$x=175$时利润最大，最大利润为$-(175-170)^2+16900=16875$元，小于16900元，故③错误。
综上，正确的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数利润问题；一元二次方程求解
【点评】
本题综合考查函数在销售问题中的应用，需要熟练掌握一次函数解析式求解、二次函数最值计算的方法，分析说法时要注意限制条件对最值的影响，解方程时避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据y与x是一次函数的关系，利用表格中的两组数据求出函数解析式，验证说法①；再根据“销售利润=每千克利润×销售量”建立利润关于售价x的二次函数，结合二次函数性质、一元二次方程求解、不等式限制条件，逐一验证剩下的三个说法，最终筛选出正确的序号。
【解析】
1. 验证说法①：
设一次函数解析式为$y=kx+b$，将$\begin{cases}x=50,y=250\\x=60,y=240\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}50k + b = 250 \\60k + b = 240\end{cases}$
解得$k=-1$，$b=300$，即$y=-x+300$，故①正确。
2. 建立利润函数：
设月销售利润为$W$元，每千克利润为$(x-40)$元，因此：
$W=(x-40)y=(x-40)(-x+300)$
整理配方得：$W=-(x-170)^2+16900$，该函数开口向下，顶点坐标为$(170,16900)$，无限制条件下最大利润为16900元，故④正确。
3. 验证说法②：
令$W=7296$，代入得$-(x-170)^2+16900=7296$，
解得$(x-170)^2=9604$，即$x-170=\pm98$，
得$x_1=72$，$x_2=268$，即售价为72元/千克或268元/千克时利润均为7296元，故②错误。
4. 验证说法③：
总进价不超过5000元，则月销售量$y≤\frac{5000}{40}=125\mathrm{kg}$，
代入$y=-x+300≤125$，解得$x≥175$。
利润函数$W=-(x-170)^2+16900$开口向下，在$x≥170$时$W$随$x$增大而减小，因此$x=175$时利润最大，最大利润为$-(175-170)^2+16900=16875$元，小于16900元，故③错误。
综上，正确的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数利润问题；一元二次方程求解
【点评】
本题综合考查函数在销售问题中的应用，需要熟练掌握一次函数解析式求解、二次函数最值计算的方法，分析说法时要注意限制条件对最值的影响，解方程时避免漏解。
【难度系数】
0.7
5.某商场销售一批儿童玩具,平均每天能售出 20 件,每件盈利 40 元.经调查发现:这种玩具的售价每降低1元,平均每天能多售出2件,设每件玩具降价x元(x取整数).
(1)降价后,每件玩具利润为
(2)为了扩大销售,尽快减少库存,商场决定采取降价措施,但需要每天盈利1200元,那么每件玩具应降价多少元?
(3)求一天利润的最大值.
(1)降价后,每件玩具利润为
$(40-x)$
元,平均每天的销售量为$(20+2x)$
件.(用含x的式子表示)(2)为了扩大销售,尽快减少库存,商场决定采取降价措施,但需要每天盈利1200元,那么每件玩具应降价多少元?
(3)求一天利润的最大值.
答案
5.【解】(1)$(40-x)$,$(20+2x)$
(2)依题意,得$(40-x)(20+2x)=1 200$,
即$x^2-30x+200=0$.解得$x_1=10$,$x_2=20$.
$∵$为了扩大销售,尽快减少库存,$∴x=20$.
答:每件玩具应降价20元.
(3)设一天利润为$y$元,则$y=(40-x)(20+2x)=-2x^2+60x+800=-2(x-15)^2+1 250$.
$∵-2＜0$,$∴$抛物线开口向下,当$x=15$时,$y$取最大值,最大利润为1 250元.
故一天利润的最大值为1 250元.
(2)依题意,得$(40-x)(20+2x)=1 200$,
即$x^2-30x+200=0$.解得$x_1=10$,$x_2=20$.
$∵$为了扩大销售,尽快减少库存,$∴x=20$.
答:每件玩具应降价20元.
(3)设一天利润为$y$元,则$y=(40-x)(20+2x)=-2x^2+60x+800=-2(x-15)^2+1 250$.
$∵-2＜0$,$∴$抛物线开口向下,当$x=15$时,$y$取最大值,最大利润为1 250元.
故一天利润的最大值为1 250元.
解析
【分析】
(1) 解题思路：每件利润为原盈利减去降价金额，因此降价x元后单件利润用40减x即可；每降价1元多售出2件，降价x元则多售出2x件，总销量为原销量加上新增销量。
(2) 解题思路：总盈利的等量关系为“单件利润×日销售量=每日总盈利”，根据该关系列一元二次方程，求解后结合“扩大销售、尽快减少库存”的要求，选择降价幅度更大的解（降价越多销量越高，去库存速度越快）。
(3) 解题思路：设总利润为y，先列出y关于x的二次函数表达式，将表达式整理为顶点式后，结合二次项系数的正负判断抛物线开口方向，开口向下时顶点处的函数值即为利润最大值。
【解析】
(1) 原来每件盈利40元，降价x元后，每件利润为$\boldsymbol{(40-x)}$元；
原来平均每天售20件，每降价1元多售2件，降价x元后多售2x件，因此平均每天销售量为$\boldsymbol{(20+2x)}$件。
(2) 依题意列方程：
$(40-x)(20+2x)=1200$
整理得：$x^2-30x+200=0$
因式分解得：$(x-10)(x-20)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=20$
∵要扩大销售、尽快减少库存，降价越多销量越高，因此选择更大的降价值，即$x=20$。
(3) 设一天利润为$y$元，依题意得：
$y=(40-x)(20+2x)$
展开并配方得：$y=-2x^2+60x+800=-2(x-15)^2+1250$
∵$-2＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=15$时，$y$取最大值，最大值为1250元。
【答案】
(1) $(40-x)$，$(20+2x)$
(2) 每件玩具应降价20元
(3) 一天利润的最大值为1250元
【知识点】
一元二次方程的应用，二次函数实际应用，二次函数最值
【点评】
本题是销售类实际问题的常考题型，结合了一元二次方程和二次函数的核心考点，解题时需要注意结合实际场景对方程的根进行取舍，求最值时要熟练运用二次函数的图像性质，能够有效锻炼用代数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：每件利润为原盈利减去降价金额，因此降价x元后单件利润用40减x即可；每降价1元多售出2件，降价x元则多售出2x件，总销量为原销量加上新增销量。
(2) 解题思路：总盈利的等量关系为“单件利润×日销售量=每日总盈利”，根据该关系列一元二次方程，求解后结合“扩大销售、尽快减少库存”的要求，选择降价幅度更大的解（降价越多销量越高，去库存速度越快）。
(3) 解题思路：设总利润为y，先列出y关于x的二次函数表达式，将表达式整理为顶点式后，结合二次项系数的正负判断抛物线开口方向，开口向下时顶点处的函数值即为利润最大值。
【解析】
(1) 原来每件盈利40元，降价x元后，每件利润为$\boldsymbol{(40-x)}$元；
原来平均每天售20件，每降价1元多售2件，降价x元后多售2x件，因此平均每天销售量为$\boldsymbol{(20+2x)}$件。
(2) 依题意列方程：
$(40-x)(20+2x)=1200$
整理得：$x^2-30x+200=0$
因式分解得：$(x-10)(x-20)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=20$
∵要扩大销售、尽快减少库存，降价越多销量越高，因此选择更大的降价值，即$x=20$。
(3) 设一天利润为$y$元，依题意得：
$y=(40-x)(20+2x)$
展开并配方得：$y=-2x^2+60x+800=-2(x-15)^2+1250$
∵$-2＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=15$时，$y$取最大值，最大值为1250元。
【答案】
(1) $(40-x)$，$(20+2x)$
(2) 每件玩具应降价20元
(3) 一天利润的最大值为1250元
【知识点】
一元二次方程的应用，二次函数实际应用，二次函数最值
【点评】
本题是销售类实际问题的常考题型，结合了一元二次方程和二次函数的核心考点，解题时需要注意结合实际场景对方程的根进行取舍，求最值时要熟练运用二次函数的图像性质，能够有效锻炼用代数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
