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9.超市销售的某商品进价为10元/件.在销售过程中发现,该商品每天的销售量$y$(单位:件)与售价$x$(单位:元/件)之间满足函数解析式$y=-5x+150$,该商品售价定为
20
元/件时,每天销售该商品获利最大.答案
9.20
解析
【分析】
要解决获利最大的问题，首先明确销售利润的基本等量关系：总利润=单件利润×销售量。第一步先根据已知条件表示出单件利润，再结合给出的销售量与售价的函数关系，列出总利润关于售价的函数解析式；第二步观察得到的函数是二次函数，且二次项系数为负，开口向下，函数在顶点处取得最大值，利用二次函数顶点横坐标公式计算即可得到对应售价，最后验证售价是否符合实际意义。
【解析】
设每天销售该商品获得的利润为$w$元。
单件商品的利润为$(x-10)$元，已知销售量$y=-5x+150$，根据总利润公式可得：
$\begin{aligned}w&=(x-10)y\\&=(x-10)(-5x+150)\\&=-5x^2+150x+50x-1500\\&=-5x^2+200x-1500\end{aligned}$
这是关于$x$的二次函数，其中$a=-5＜0$，因此抛物线开口向下，$w$存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-5$，$b=200$得：
$x=-\frac{200}{2×(-5)}=20$
验证取值范围：售价需满足$x＞10$，且销售量$y=-5x+150≥0$即$x≤30$，$20$在$10＜x≤30$范围内，符合实际意义。
【答案】
20
【知识点】
销售利润计算，二次函数的性质，二次函数的实际应用
【点评】
本题是典型的销售类二次函数最值问题，解题核心是正确梳理利润相关的数量关系，列出函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意验证自变量的取值是否符合实际销售场景的要求。
【难度系数】
0.7
要解决获利最大的问题，首先明确销售利润的基本等量关系：总利润=单件利润×销售量。第一步先根据已知条件表示出单件利润，再结合给出的销售量与售价的函数关系，列出总利润关于售价的函数解析式；第二步观察得到的函数是二次函数，且二次项系数为负，开口向下，函数在顶点处取得最大值，利用二次函数顶点横坐标公式计算即可得到对应售价，最后验证售价是否符合实际意义。
【解析】
设每天销售该商品获得的利润为$w$元。
单件商品的利润为$(x-10)$元，已知销售量$y=-5x+150$，根据总利润公式可得：
$\begin{aligned}w&=(x-10)y\\&=(x-10)(-5x+150)\\&=-5x^2+150x+50x-1500\\&=-5x^2+200x-1500\end{aligned}$
这是关于$x$的二次函数，其中$a=-5＜0$，因此抛物线开口向下，$w$存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-5$，$b=200$得：
$x=-\frac{200}{2×(-5)}=20$
验证取值范围：售价需满足$x＞10$，且销售量$y=-5x+150≥0$即$x≤30$，$20$在$10＜x≤30$范围内，符合实际意义。
【答案】
20
【知识点】
销售利润计算，二次函数的性质，二次函数的实际应用
【点评】
本题是典型的销售类二次函数最值问题，解题核心是正确梳理利润相关的数量关系，列出函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意验证自变量的取值是否符合实际销售场景的要求。
【难度系数】
0.7
10.进价为80元的某衬衣定价为100元时，每月可卖出2 000件.若单价(单价为整数)每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(单位:件)与衬衣售价x(单位:元)之间的函数解析式为
$y=2 000-5(x-100)$
，每月利润w(单位:元)与衬衣售价x(单位:元)之间的函数解析式为$w=[2 000-5(x-100)](x-80)$
.(以上解析式只列式不化简).答案
10.$y=2 000-5(x-100)$,$w=[2 000-5(x-100)](x-80)$
解析
【分析】
要列写两个函数解析式，首先梳理对应量的关系：①先找总销售量y和售价x的关系：已知售价为100元时销量是2000件，售价每涨1元销量减少5件，先算出售价比100元上涨的金额，就能得到减少的销量，用原销量减去减少的销量即可得到y的表达式；②再找总利润w和售价x的关系：总利润=单件利润×销售总件数，单件利润为售价减进价，结合上一步得到的销量y，就能写出w的表达式，注意题目要求只列式不化简。
【解析】
1. 列写y与x的函数解析式：
当衬衣售价为x元时，相比原定价100元，单价上涨了$(x-100)$元；
已知单价每上涨1元销售量减少5件，因此总共减少的销售量为$5(x-100)$件；
原销售量为2000件，因此每月售出总件数：$y=2000-5(x-100)$。
2. 列写w与x的函数解析式：
每件衬衣的进价为80元，因此单件利润为$(x-80)$元；
总利润=单件利润×总销售量，因此每月利润：$w=[2000-5(x-100)](x-80)$。
【答案】
$y=2000-5(x-100)$，$w=[2000-5(x-100)](x-80)$
【知识点】
一次函数实际应用，二次函数实际应用，销售利润计算
【点评】
本题是销售类函数应用的基础题型，解题核心是准确把握销量随售价的变化规律，牢记总利润的计算公式，做题时注意题干“只列式不化简”的要求，避免不必要的运算失误。
【难度系数】
0.8
要列写两个函数解析式，首先梳理对应量的关系：①先找总销售量y和售价x的关系：已知售价为100元时销量是2000件，售价每涨1元销量减少5件，先算出售价比100元上涨的金额，就能得到减少的销量，用原销量减去减少的销量即可得到y的表达式；②再找总利润w和售价x的关系：总利润=单件利润×销售总件数，单件利润为售价减进价，结合上一步得到的销量y，就能写出w的表达式，注意题目要求只列式不化简。
【解析】
1. 列写y与x的函数解析式：
当衬衣售价为x元时，相比原定价100元，单价上涨了$(x-100)$元；
已知单价每上涨1元销售量减少5件，因此总共减少的销售量为$5(x-100)$件；
原销售量为2000件，因此每月售出总件数：$y=2000-5(x-100)$。
2. 列写w与x的函数解析式：
每件衬衣的进价为80元，因此单件利润为$(x-80)$元；
总利润=单件利润×总销售量，因此每月利润：$w=[2000-5(x-100)](x-80)$。
【答案】
$y=2000-5(x-100)$，$w=[2000-5(x-100)](x-80)$
【知识点】
一次函数实际应用，二次函数实际应用，销售利润计算
【点评】
本题是销售类函数应用的基础题型，解题核心是准确把握销量随售价的变化规律，牢记总利润的计算公式，做题时注意题干“只列式不化简”的要求，避免不必要的运算失误。
【难度系数】
0.8
11.某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元.市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个.设每个双肩包涨价$ x $元($ x $为正整数)，每月的销售量为$ y $个.
(1)直接写出$ y $与$ x $的函数解析式；
(2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？
(1)直接写出$ y $与$ x $的函数解析式；
(2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？
答案
11.【解】(1)$y=-5x+300(1≤x≤60,x$为正整数).
(2)根据题意,商店每月的利润$w=(100+x-60)(300-5x)$.
$∴w=-5(x-10)^2+12 500$.
$∴$当$x=10$时,商店每月的利润$w$取得最大值,最大值为12 500.
$∴$当售价定为110元时,商店每月获得利润最大,最大利润是12 500元.
(2)根据题意,商店每月的利润$w=(100+x-60)(300-5x)$.
$∴w=-5(x-10)^2+12 500$.
$∴$当$x=10$时,商店每月的利润$w$取得最大值,最大值为12 500.
$∴$当售价定为110元时,商店每月获得利润最大,最大利润是12 500元.
解析
【分析】
（1）要推导y与x的函数关系，先分析销量变化规律：原月销量为300个，每涨价1元销量减少5个，涨价x元时销量共减少5x个，用原销量减去减少的销量即可得到函数解析式，再结合销量不能为负、x为正整数的要求确定自变量取值范围。
（2）根据“总利润=单个商品利润×月销售量”的核心等量关系，先列出利润w关于x的二次函数解析式，再将解析式整理为顶点式，结合二次函数开口方向判断顶点为最大值点，最后代入x的值计算对应售价和最大利润即可。
【解析】
(1) 由题意可知，每个双肩包涨价x元时，每月销售量减少5x个，因此月销售量：
$y=300-5x$
结合实际意义，销售量不能为负，即$300-5x≥0$，解得$x≤60$，又x为正整数，因此x的取值范围是$1≤ x≤60$且x为正整数。
即$y=-5x+300(1≤ x≤60，x为正整数)$。
(2) 设商店每月获得的利润为w元。
单个双肩包的利润为：$(100+x)-60=40+x$元，
每月销售量为$300-5x$个，因此总利润：
$w=(40+x)(300-5x)$
展开并配方得：
$w=-5x^2+100x+12000=-5(x-10)^2+12500$
$\because$二次项系数$-5＜0$，函数图象开口向下，$\therefore$当$x=10$时，w取得最大值，最大值为12500元。
此时售价为$100+10=110$元。
【答案】
(1)$y=-5x+300(1≤x≤60,x$为正整数)；
(2)当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是12500元。
【知识点】
一次函数实际应用；二次函数最值；销售利润计算
【点评】
本题属于常规的函数实际应用题，解题关键是找准数量间的等量关系列出正确的函数解析式，求解时要注意自变量的取值范围需符合实际意义，避免得出不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
（1）要推导y与x的函数关系，先分析销量变化规律：原月销量为300个，每涨价1元销量减少5个，涨价x元时销量共减少5x个，用原销量减去减少的销量即可得到函数解析式，再结合销量不能为负、x为正整数的要求确定自变量取值范围。
（2）根据“总利润=单个商品利润×月销售量”的核心等量关系，先列出利润w关于x的二次函数解析式，再将解析式整理为顶点式，结合二次函数开口方向判断顶点为最大值点，最后代入x的值计算对应售价和最大利润即可。
【解析】
(1) 由题意可知，每个双肩包涨价x元时，每月销售量减少5x个，因此月销售量：
$y=300-5x$
结合实际意义，销售量不能为负，即$300-5x≥0$，解得$x≤60$，又x为正整数，因此x的取值范围是$1≤ x≤60$且x为正整数。
即$y=-5x+300(1≤ x≤60，x为正整数)$。
(2) 设商店每月获得的利润为w元。
单个双肩包的利润为：$(100+x)-60=40+x$元，
每月销售量为$300-5x$个，因此总利润：
$w=(40+x)(300-5x)$
展开并配方得：
$w=-5x^2+100x+12000=-5(x-10)^2+12500$
$\because$二次项系数$-5＜0$，函数图象开口向下，$\therefore$当$x=10$时，w取得最大值，最大值为12500元。
此时售价为$100+10=110$元。
【答案】
(1)$y=-5x+300(1≤x≤60,x$为正整数)；
(2)当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是12500元。
【知识点】
一次函数实际应用；二次函数最值；销售利润计算
【点评】
本题属于常规的函数实际应用题，解题关键是找准数量间的等量关系列出正确的函数解析式，求解时要注意自变量的取值范围需符合实际意义，避免得出不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
12.某商场销售某种商品，当按每件 198 元销售时，每件可获利 80 元，平均每天可以售出20件.为了提高销量，商店决定降价出售.经调查发现，该商品单价(单价为整数)每降价10元，平均每天可多售出5件.
(1)该商品单件售价定为多少元时，日均销售利润可达到 1 800 元？
(2)售卖该商品的日均销售利润能超过 1 800 元吗？说明理由.
(1)该商品单件售价定为多少元时，日均销售利润可达到 1 800 元？
(2)售卖该商品的日均销售利润能超过 1 800 元吗？说明理由.
答案
12.【解】(1)设该商品单件售价定为$x$元,
根据题意,每天的销售利润$y=x(20+5×\dfrac{198-x}{10})-(198-80)(20+5×\dfrac{198-x}{10})$.
$∴y=(20+\dfrac{198-x}{2})(x-118)$.
当$y=1 800$时,$(20+\dfrac{198-x}{2})(x-118)=1 800$.
整理得,$x^2-356x+31 684=0$,解得$x_1=x_2=178$.
$∴$该商品单件售价定为178元时,日均销售利润可达到1 800元.
(2)$\because y=(20+\dfrac{198-x}{2})(x-118)=-\dfrac{1}{2}(x-178)^2+1 800$,
$∴$售卖该商品的日均销售利润不能超过1 800元.
根据题意,每天的销售利润$y=x(20+5×\dfrac{198-x}{10})-(198-80)(20+5×\dfrac{198-x}{10})$.
$∴y=(20+\dfrac{198-x}{2})(x-118)$.
当$y=1 800$时,$(20+\dfrac{198-x}{2})(x-118)=1 800$.
整理得,$x^2-356x+31 684=0$,解得$x_1=x_2=178$.
$∴$该商品单件售价定为178元时,日均销售利润可达到1 800元.
(2)$\because y=(20+\dfrac{198-x}{2})(x-118)=-\dfrac{1}{2}(x-178)^2+1 800$,
$∴$售卖该商品的日均销售利润不能超过1 800元.
解析
【分析】
解决这道销售利润问题的核心是抓住“总利润=单件利润×销售数量”这一基本等量关系。
(1) 首先计算商品成本：已知售价198元时获利80元，可得成本为198-80=118元。设单件售价为x元，先表示单件利润为(x-118)元；再表示销售数量：单价降低了(198-x)元，每降10元多售5件，因此多售出的数量为$5×\frac{198-x}{10}$，总销量为原来的20件加多售的件数。令总利润等于1800元，列一元二次方程求解即可。
(2) 要判断利润能否超过1800元，只需将总利润表达式整理为二次函数顶点式，根据二次函数开口方向确定最大值，再和1800比较即可得出结论。
【解析】
(1) 首先计算商品成本：$198-80=118$（元）
设该商品单件售价定为$x$元，日均销售利润为$y$元。
单件利润为$(x-118)$元，
日均销售量为$20+5×\frac{198-x}{10}=20+\frac{198-x}{2}$ 件，
则总利润$y=(20+\frac{198-x}{2})(x-118)$。
当$y=1800$时，代入得：
$(20+\frac{198-x}{2})(x-118)=1800$
整理得$x^2-356x+31684=0$，解得$x_1=x_2=178$。
(2) 将利润表达式整理为顶点式：
$y=(20+\frac{198-x}{2})(x-118)=-\frac{1}{2}(x-178)^2+1800$
$\because$ 二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，顶点为最大值点，即当$x=178$时，$y$取得最大值1800元。
【答案】
(1) 该商品单件售价定为178元时，日均销售利润可达到1800元；
(2) 不能超过，该商品日均销售利润的最大值为1800元。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的实际应用；销售利润问题
【点评】
本题结合销售场景考察方程与函数的实际应用，解题关键是找准单价、销量、利润之间的等量关系，正确列出方程和函数表达式，是中考高频考点题型。
【难度系数】
0.6
解决这道销售利润问题的核心是抓住“总利润=单件利润×销售数量”这一基本等量关系。
(1) 首先计算商品成本：已知售价198元时获利80元，可得成本为198-80=118元。设单件售价为x元，先表示单件利润为(x-118)元；再表示销售数量：单价降低了(198-x)元，每降10元多售5件，因此多售出的数量为$5×\frac{198-x}{10}$，总销量为原来的20件加多售的件数。令总利润等于1800元，列一元二次方程求解即可。
(2) 要判断利润能否超过1800元，只需将总利润表达式整理为二次函数顶点式，根据二次函数开口方向确定最大值，再和1800比较即可得出结论。
【解析】
(1) 首先计算商品成本：$198-80=118$（元）
设该商品单件售价定为$x$元，日均销售利润为$y$元。
单件利润为$(x-118)$元，
日均销售量为$20+5×\frac{198-x}{10}=20+\frac{198-x}{2}$ 件，
则总利润$y=(20+\frac{198-x}{2})(x-118)$。
当$y=1800$时，代入得：
$(20+\frac{198-x}{2})(x-118)=1800$
整理得$x^2-356x+31684=0$，解得$x_1=x_2=178$。
(2) 将利润表达式整理为顶点式：
$y=(20+\frac{198-x}{2})(x-118)=-\frac{1}{2}(x-178)^2+1800$
$\because$ 二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，顶点为最大值点，即当$x=178$时，$y$取得最大值1800元。
【答案】
(1) 该商品单件售价定为178元时，日均销售利润可达到1800元；
(2) 不能超过，该商品日均销售利润的最大值为1800元。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的实际应用；销售利润问题
【点评】
本题结合销售场景考察方程与函数的实际应用，解题关键是找准单价、销量、利润之间的等量关系，正确列出方程和函数表达式，是中考高频考点题型。
【难度系数】
0.6
1.某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本。有下列结论：
①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个；
②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12 000元；
③宾馆每天的最大利润为12 250元。
其中，结论错误的是(
A.①
B.①②
C.②③
D.①②③
①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个；
②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12 000元；
③宾馆每天的最大利润为12 250元。
其中，结论错误的是(
C
)。A.①
B.①②
C.②③
D.①②③
答案
1.C
解析
【分析】
本题属于二次函数在利润问题中的实际应用，解题思路如下：第一步，先明确各个量的数量关系：居住房间数=总房间数-空闲房间数，空闲房间数=（定价-220）÷10，总利润=（每间房价-每间成本）×居住房间数；第二步，结合题目给出的“每间房价不得高于360元”的限制条件，对三个结论逐一验证，判断正误。
【解析】
我们逐个分析三个结论：
1. 验证结论①：
若每个房间定价增加30元，则空闲房间数为$30÷10=3$间，每天居住的房间数为$50-3=47$个，故①正确。
2. 验证结论②：
设每间房定价为$m$元（$m≤360$），则居住房间数为$50-\frac{m-220}{10}$，总利润$W=(m-20)(50-\frac{m-220}{10})$。
令$W=12000$，代入化简：
$\begin{aligned}(m-20)(72-0.1m)&=12000\\-0.1m^2+74m-1440&=12000\\m^2-740m+134400&=0\end{aligned}$
解得$m_1=320$，$m_2=420$，因为$m≤360$，故舍去$m_2=420$，仅1个定价满足利润为12000元，故②错误。
3. 验证结论③：
利润函数$W=-0.1m^2+74m-1440$是开口向下的二次函数，对称轴为$m=\frac{-74}{2×(-0.1)}=370$。
因为$m≤360＜370$，在对称轴左侧函数随$m$增大而增大，故最大值在$m=360$时取得：
$W_{最大}=(360-20)×(50-\frac{360-220}{10})=340×36=12240$元，并非12250元，故③错误。
综上，错误的结论是②③。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用，一元二次方程的应用，利润问题计算
【点评】
本题解题的关键是理清利润、定价、居住房间数之间的数量关系，尤其要注意题目中定价不超过360元的限制条件，不能直接套用二次函数顶点求最值，需结合自变量的取值范围判断，避免因忽略限制条件导致解题错误。
【难度系数】
0.6
本题属于二次函数在利润问题中的实际应用，解题思路如下：第一步，先明确各个量的数量关系：居住房间数=总房间数-空闲房间数，空闲房间数=（定价-220）÷10，总利润=（每间房价-每间成本）×居住房间数；第二步，结合题目给出的“每间房价不得高于360元”的限制条件，对三个结论逐一验证，判断正误。
【解析】
我们逐个分析三个结论：
1. 验证结论①：
若每个房间定价增加30元，则空闲房间数为$30÷10=3$间，每天居住的房间数为$50-3=47$个，故①正确。
2. 验证结论②：
设每间房定价为$m$元（$m≤360$），则居住房间数为$50-\frac{m-220}{10}$，总利润$W=(m-20)(50-\frac{m-220}{10})$。
令$W=12000$，代入化简：
$\begin{aligned}(m-20)(72-0.1m)&=12000\\-0.1m^2+74m-1440&=12000\\m^2-740m+134400&=0\end{aligned}$
解得$m_1=320$，$m_2=420$，因为$m≤360$，故舍去$m_2=420$，仅1个定价满足利润为12000元，故②错误。
3. 验证结论③：
利润函数$W=-0.1m^2+74m-1440$是开口向下的二次函数，对称轴为$m=\frac{-74}{2×(-0.1)}=370$。
因为$m≤360＜370$，在对称轴左侧函数随$m$增大而增大，故最大值在$m=360$时取得：
$W_{最大}=(360-20)×(50-\frac{360-220}{10})=340×36=12240$元，并非12250元，故③错误。
综上，错误的结论是②③。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用，一元二次方程的应用，利润问题计算
【点评】
本题解题的关键是理清利润、定价、居住房间数之间的数量关系，尤其要注意题目中定价不超过360元的限制条件，不能直接套用二次函数顶点求最值，需结合自变量的取值范围判断，避免因忽略限制条件导致解题错误。
【难度系数】
0.6
