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6.某桥的桥拱横截面可以近似的看作是抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为 $y=-\dfrac{4}{9}x^2$。当水面离桥拱顶的高度DO为4 m时，水面宽度AB为
6
m.答案
6.6
解析
【分析】首先明确桥拱对应的抛物线顶点在原点，对称轴为y轴。水面离拱顶高度为4m，说明水面所在位置的点的纵坐标为-4，解题时先将y=-4代入抛物线解析式，求出对应的x的值，再利用抛物线的对称性，水面宽度AB就是两个x值的差的绝对值，即可求出结果。
【解析】解：由题意可知，当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面上各点的纵坐标为$y=-4$。
将$y=-4$代入解析式$y=-\dfrac{4}{9}x^2$，得：
$-4=-\dfrac{4}{9}x^2$
两边同时除以$-\dfrac{4}{9}$，解得：
$x^2=9$，即$x=\pm3$
所以点A的坐标为$(-3,-4)$，点B的坐标为$(3,-4)$
因此水面宽度$AB=3-(-3)=6\ \mathrm{m}$
【答案】6
【知识点】二次函数的实际应用；二次函数图像上点的坐标特征；抛物线的对称性
【点评】本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是根据题意确定对应点的纵坐标，代入解析式求出横坐标，再结合抛物线的对称性计算宽度，属于基础的二次函数应用题型。
【难度系数】0.8
【解析】解：由题意可知，当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面上各点的纵坐标为$y=-4$。
将$y=-4$代入解析式$y=-\dfrac{4}{9}x^2$，得：
$-4=-\dfrac{4}{9}x^2$
两边同时除以$-\dfrac{4}{9}$，解得：
$x^2=9$，即$x=\pm3$
所以点A的坐标为$(-3,-4)$，点B的坐标为$(3,-4)$
因此水面宽度$AB=3-(-3)=6\ \mathrm{m}$
【答案】6
【知识点】二次函数的实际应用；二次函数图像上点的坐标特征；抛物线的对称性
【点评】本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是根据题意确定对应点的纵坐标，代入解析式求出横坐标，再结合抛物线的对称性计算宽度，属于基础的二次函数应用题型。
【难度系数】0.8
7.校运会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状，如图所示.数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离$AB=8\ \mathrm{m}$，再用两根长度为$2\ \mathrm{m}$的标杆$CE$，$DF$垂直于地面且让标杆端点$C$，$D$在拱门上，最后测量出两标杆间的距离$EF=6\ \mathrm{m}$，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为
$\frac{32}{7}\ \mathrm{m}$
.答案
7.$\frac{32}{7}\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
本题是抛物线的实际应用问题，解题核心是将实际问题转化为二次函数问题求解：首先利用抛物线的轴对称性，合理建立平面直角坐标系简化计算；其次根据已知线段长度确定抛物线上点的坐标，用待定系数法求出二次函数解析式；最后抛物线顶点的纵坐标即为拱门的高度。
【解析】
解：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系。
∵AB=8 m，
∴A点坐标为(-4,0)，B点坐标为(4,0)。
抛物线对称轴为y轴，设抛物线解析式为$y=a(x+4)(x-4)=ax^2-16a\ (a≠0)$。
∵EF=6 m，CE=DF=2 m，E、F关于y轴对称，
∴点C的坐标为(-3,2)。
将C(-3,2)代入解析式得：
$2=a×(-3)^2-16a$
$2=-7a$
解得$a=-\frac{2}{7}$
∴抛物线解析式为$y=-\frac{2}{7}x^2+\frac{32}{7}$
当$x=0$时，$y=\frac{32}{7}$，即拱门高度为$\frac{32}{7}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{32}{7}\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数对称性
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是合理建立坐标系，利用抛物线对称性减少计算量，通过建模思想将实际问题转化为函数问题求解，能有效考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是抛物线的实际应用问题，解题核心是将实际问题转化为二次函数问题求解：首先利用抛物线的轴对称性，合理建立平面直角坐标系简化计算；其次根据已知线段长度确定抛物线上点的坐标，用待定系数法求出二次函数解析式；最后抛物线顶点的纵坐标即为拱门的高度。
【解析】
解：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系。
∵AB=8 m，
∴A点坐标为(-4,0)，B点坐标为(4,0)。
抛物线对称轴为y轴，设抛物线解析式为$y=a(x+4)(x-4)=ax^2-16a\ (a≠0)$。
∵EF=6 m，CE=DF=2 m，E、F关于y轴对称，
∴点C的坐标为(-3,2)。
将C(-3,2)代入解析式得：
$2=a×(-3)^2-16a$
$2=-7a$
解得$a=-\frac{2}{7}$
∴抛物线解析式为$y=-\frac{2}{7}x^2+\frac{32}{7}$
当$x=0$时，$y=\frac{32}{7}$，即拱门高度为$\frac{32}{7}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{32}{7}\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数对称性
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是合理建立坐标系，利用抛物线对称性减少计算量，通过建模思想将实际问题转化为函数问题求解，能有效考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
8.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，若水面再下降0.5 m，则水面宽度为
$2\sqrt{5}$
m.答案
8.$2\sqrt{5}$
解析
【分析】
我们可以通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题求解：第一步以拱顶为原点、对称轴为y轴建立坐标系，可简化抛物线解析式的形式；第二步利用已知的拱顶离水面2m时水面宽4m的条件，得到抛物线上的点坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；第三步水面下降0.5m对应纵坐标下降0.5，代入解析式求出对应的横坐标，两个横坐标的差值就是水面的宽度。
【解析】
1. 以抛物线拱顶为原点，过原点的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，设该抛物线的解析式为$y=ax^2(a ≠ 0)$。
2. 已知当拱顶离水面2m时，水面宽4m，可得此时水面上的点$(2,-2)$在抛物线上，将点代入解析式：
$-2 = a × 2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
3. 水面再下降0.5m时，水面对应的纵坐标为$y=-2-0.5=-2.5$，将$y=-2.5$代入解析式：
$-2.5 = -\frac{1}{2}x^2$，整理得$x^2=5$，解得$x=\pm\sqrt{5}$。
4. 此时水面宽度为$\sqrt{5} - (-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$（m）。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的常见应用题型，解题的核心是建立合理的平面直角坐标系，将实际几何条件转化为函数中的点坐标信息，求出函数解析式后再结合问题代入计算即可，重点考查坐标系的建立和二次函数的基本应用能力。
【难度系数】
0.7
我们可以通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题求解：第一步以拱顶为原点、对称轴为y轴建立坐标系，可简化抛物线解析式的形式；第二步利用已知的拱顶离水面2m时水面宽4m的条件，得到抛物线上的点坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；第三步水面下降0.5m对应纵坐标下降0.5，代入解析式求出对应的横坐标，两个横坐标的差值就是水面的宽度。
【解析】
1. 以抛物线拱顶为原点，过原点的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，设该抛物线的解析式为$y=ax^2(a ≠ 0)$。
2. 已知当拱顶离水面2m时，水面宽4m，可得此时水面上的点$(2,-2)$在抛物线上，将点代入解析式：
$-2 = a × 2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
3. 水面再下降0.5m时，水面对应的纵坐标为$y=-2-0.5=-2.5$，将$y=-2.5$代入解析式：
$-2.5 = -\frac{1}{2}x^2$，整理得$x^2=5$，解得$x=\pm\sqrt{5}$。
4. 此时水面宽度为$\sqrt{5} - (-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$（m）。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的常见应用题型，解题的核心是建立合理的平面直角坐标系，将实际几何条件转化为函数中的点坐标信息，求出函数解析式后再结合问题代入计算即可，重点考查坐标系的建立和二次函数的基本应用能力。
【难度系数】
0.7
9.如图,一辆宽为2 m的货车要通过跨度为10 m,拱高为5 m的单行抛物线形隧道(从正中通过),抛物线满足解析式$y=-\frac{1}{5}x^2 +5$,为了保证安全,车顶离隧道的顶部至少要有0.8 m的距离,则货车的限高应是
4
m.答案
9.4
解析
【分析】
解题思路：首先明确货车从隧道正中通过，宽度为2m，因此货车两侧对应的横坐标为±1；接下来将x=1代入抛物线解析式，求出该位置对应的隧道竖直高度；最后用该高度减去车顶需要预留的0.8m安全距离，即可得到货车的限高。
【解析】
解：
∵货车宽为2m，从隧道正中通过，
∴货车侧边对应的横坐标为$x=\pm1$，
将$x=1$代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{5}x^2 +5$，得：
$y=-\frac{1}{5}×1^2 +5 = 4.8$
∵车顶离隧道顶部至少要有0.8m的距离，
∴货车限高为$4.8 - 0.8 = 4(m)$
【答案】
4
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题的关键是结合货车宽度确定对应横坐标，再代入解析式计算相关高度，考查了学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确货车从隧道正中通过，宽度为2m，因此货车两侧对应的横坐标为±1；接下来将x=1代入抛物线解析式，求出该位置对应的隧道竖直高度；最后用该高度减去车顶需要预留的0.8m安全距离，即可得到货车的限高。
【解析】
解：
∵货车宽为2m，从隧道正中通过，
∴货车侧边对应的横坐标为$x=\pm1$，
将$x=1$代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{5}x^2 +5$，得：
$y=-\frac{1}{5}×1^2 +5 = 4.8$
∵车顶离隧道顶部至少要有0.8m的距离，
∴货车限高为$4.8 - 0.8 = 4(m)$
【答案】
4
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题的关键是结合货车宽度确定对应横坐标，再代入解析式计算相关高度，考查了学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
10.如图,一桥拱呈抛物线形,桥的最大高度 OC 是 8 m,跨度 AB 是 16 m,在线段 AB 上距离B 处 6 m 的地方,桥的高度是
$\frac{15}{2}$
m.答案
10.$\frac{15}{2}$
解析
【分析】
本题是二次函数在实际场景中的应用问题，解题思路如下：①建立合适的平面直角坐标系简化计算，可选择O为原点，AB为x轴、OC为y轴建立坐标系；②利用抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；③找到距离B点6m处对应的横坐标，代入解析式计算得到纵坐标，即为该处桥的高度。
【解析】
以点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知，跨度AB=16m，最大高度OC=8m，因此A点坐标为$(-8,0)$，B点坐标为$(8,0)$，顶点C坐标为$(0,8)$。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+c$，将顶点$C(0,8)$代入得$c=8$，因此解析式可写为$y=ax^2+8$。
将$B(8,0)$代入解析式：
$0=a×8^2+8$
$64a=-8$
解得$a=-\frac{1}{8}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{8}x^2+8$。
距离B点6m的点的横坐标为$8-6=2$，将$x=2$代入解析式：
$y=-\frac{1}{8}×2^2+8=-\frac{4}{8}+8=-\frac{1}{2}+8=\frac{15}{2}$
即该处桥的高度为$\frac{15}{2}$m。
【答案】
$\frac{15}{2}$
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数的图像性质
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，核心是通过建立合适的坐标系将实际问题转化为函数问题，掌握待定系数法求函数解析式以及函数图像上点的坐标满足函数解析式的规律即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际场景中的应用问题，解题思路如下：①建立合适的平面直角坐标系简化计算，可选择O为原点，AB为x轴、OC为y轴建立坐标系；②利用抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；③找到距离B点6m处对应的横坐标，代入解析式计算得到纵坐标，即为该处桥的高度。
【解析】
以点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知，跨度AB=16m，最大高度OC=8m，因此A点坐标为$(-8,0)$，B点坐标为$(8,0)$，顶点C坐标为$(0,8)$。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+c$，将顶点$C(0,8)$代入得$c=8$，因此解析式可写为$y=ax^2+8$。
将$B(8,0)$代入解析式：
$0=a×8^2+8$
$64a=-8$
解得$a=-\frac{1}{8}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{8}x^2+8$。
距离B点6m的点的横坐标为$8-6=2$，将$x=2$代入解析式：
$y=-\frac{1}{8}×2^2+8=-\frac{4}{8}+8=-\frac{1}{2}+8=\frac{15}{2}$
即该处桥的高度为$\frac{15}{2}$m。
【答案】
$\frac{15}{2}$
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数的图像性质
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，核心是通过建立合适的坐标系将实际问题转化为函数问题，掌握待定系数法求函数解析式以及函数图像上点的坐标满足函数解析式的规律即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
11.如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6 m，底部宽度为12 m.现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
(1)直接写出点M及抛物线的顶点P的坐标；
(2)求出这条抛物线的解析式，并指出其中x的取值范围.
(1)直接写出点M及抛物线的顶点P的坐标；
(2)求出这条抛物线的解析式，并指出其中x的取值范围.
答案
11.【解】(1)$M(12,0),P(6,6)$.
(2)根据题意,设抛物线的解析式为 $y=a(x-6)^2+6$.
∵点$(0,3)$在抛物线上，
∴$3=a(0-6)^2+6$. 解得 $a=-\frac{1}{12}$.
∴抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+6$，
即 $y=-\frac{1}{12}x^2+x+3$.
其中 $x$ 的取值范围为 $0≤ x≤12$.
(2)根据题意,设抛物线的解析式为 $y=a(x-6)^2+6$.
∵点$(0,3)$在抛物线上，
∴$3=a(0-6)^2+6$. 解得 $a=-\frac{1}{12}$.
∴抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+6$，
即 $y=-\frac{1}{12}x^2+x+3$.
其中 $x$ 的取值范围为 $0≤ x≤12$.
解析
【分析】
(1) 求点坐标：已知底部宽度OM为12m，原点为O，OM在x轴上，因此M点横坐标为12、纵坐标为0；抛物线为轴对称图形，对称轴是OM的垂直平分线即直线x=6，隧道最大高度为6m，因此顶点P的横坐标为6、纵坐标为6，即可得到两点坐标。
(2) 求抛物线解析式：已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，再将抛物线上已知点(0,3)代入解析式求出未知系数a，整理即可得到最终解析式；结合隧道的横向宽度，x的取值范围为0到12。
【解析】
(1) 由底部宽度为12m，O为坐标原点，OM在x轴上，可得$M(12,0)$；
抛物线关于直线x=6对称，隧道最大高度为6m，因此抛物线顶点$P(6,6)$。
(2) 设抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，将顶点$P(6,6)$代入得：$y=a(x-6)^2+6$。
已知点$(0,3)$在抛物线上，将$x=0,y=3$代入上式：
$3=a(0-6)^2+6$
解得$a=-\frac{1}{12}$。
因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+6$，展开整理为一般式得$y=-\frac{1}{12}x^2+x+3$。
结合隧道横截面的横向范围，x的取值范围为$0≤ x≤12$。
【答案】
(1) $M(12,0)$，$P(6,6)$；
(2) 抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{12}x^2+x+3$（或$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+6$），x的取值范围是$0≤ x≤12$。
【知识点】
二次函数顶点式，待定系数法求解析式，二次函数实际应用
【点评】
本题考查二次函数在几何实际问题中的应用，解题关键是结合图形特征确定抛物线上的关键点坐标，选择合适的解析式形式简化计算，掌握二次函数的基本性质是解题的基础。
【难度系数】
0.8
(1) 求点坐标：已知底部宽度OM为12m，原点为O，OM在x轴上，因此M点横坐标为12、纵坐标为0；抛物线为轴对称图形，对称轴是OM的垂直平分线即直线x=6，隧道最大高度为6m，因此顶点P的横坐标为6、纵坐标为6，即可得到两点坐标。
(2) 求抛物线解析式：已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，再将抛物线上已知点(0,3)代入解析式求出未知系数a，整理即可得到最终解析式；结合隧道的横向宽度，x的取值范围为0到12。
【解析】
(1) 由底部宽度为12m，O为坐标原点，OM在x轴上，可得$M(12,0)$；
抛物线关于直线x=6对称，隧道最大高度为6m，因此抛物线顶点$P(6,6)$。
(2) 设抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，将顶点$P(6,6)$代入得：$y=a(x-6)^2+6$。
已知点$(0,3)$在抛物线上，将$x=0,y=3$代入上式：
$3=a(0-6)^2+6$
解得$a=-\frac{1}{12}$。
因此抛物线解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+6$，展开整理为一般式得$y=-\frac{1}{12}x^2+x+3$。
结合隧道横截面的横向范围，x的取值范围为$0≤ x≤12$。
【答案】
(1) $M(12,0)$，$P(6,6)$；
(2) 抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{12}x^2+x+3$（或$y=-\frac{1}{12}(x-6)^2+6$），x的取值范围是$0≤ x≤12$。
【知识点】
二次函数顶点式，待定系数法求解析式，二次函数实际应用
【点评】
本题考查二次函数在几何实际问题中的应用，解题关键是结合图形特征确定抛物线上的关键点坐标，选择合适的解析式形式简化计算，掌握二次函数的基本性质是解题的基础。
【难度系数】
0.8
