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12.如图，正常水位时，抛物线形拱桥(拱桥顶记作点O)下的水面宽AB=20 m.水面上升3 m达到警戒水位时，桥下水面宽CD=10 m.
(1)把桥拱看作一个二次函数的图象，建立适当的平面直角坐标系，并求出这个函数的解析式；
(2)如果水位以0.2 m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此拱桥顶点将被淹没？
(1)把桥拱看作一个二次函数的图象，建立适当的平面直角坐标系，并求出这个函数的解析式；
(2)如果水位以0.2 m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此拱桥顶点将被淹没？
答案
12.【解】(1)如图,以抛物线形拱桥下的水面 AB 所在直线为 $x$ 轴，过拱桥顶点 $O$ 作 $AB$ 的垂线,垂足为 $H$，以点 $H$ 为坐标原点,建立平面直角坐标系。
根据题意,$AB=20\ \mathrm{m}$,水面上升3 m时 $CD=10\ \mathrm{m}$，
∴抛物线经过点 $A(-10,0),B(10,0),D(5,3)$.
设该抛物线的解析式为 $y=a(x-10)(x+10)$,点 $D$ 在抛物线上，
则可得 $3=a(5-10)(5+10)$. 解得 $a=-\frac{1}{25}$.
∴所求函数的解析式为 $y=-\frac{1}{25}x^2+4$.
(2)抛物线 $y=-\frac{1}{25}x^2+4$ 的顶点为 $O(0,4)$，
如图,记 $CD$ 与 $y$ 轴的交点为 $K$,则 $KO=1\ \mathrm{m}$.
如果水位以 $0.2\ \mathrm{m/h}$ 的速度持续上涨，
那么达到警戒水位后,达到拱桥顶点的时间为 $\frac{1}{0.2}=5(\mathrm{h})$.
故再过 5 h 此拱桥顶点将被淹没.
解析
【分析】
(1) 解决抛物线类实际问题时，可利用抛物线的对称性建立平面直角坐标系简化计算：选择水面AB为x轴，拱桥对称轴（过O且垂直AB的直线）为y轴，两轴交点为原点，可得A(-10,0)、B(10,0)、D(5,3)三个点的坐标。已知抛物线与x轴的两个交点，设交点式二次函数解析式，代入D点坐标即可求出参数，得到函数解析式。
(2) 先求出抛物线顶点O的纵坐标，得到顶点到AB的高度，结合警戒水位比AB高3m，求出警戒水位到顶点的高度差，除以水位上涨速度即可得到所需时间。
【解析】
(1) 如图，以抛物线形拱桥下的水面AB所在直线为$x$轴，过拱桥顶点$O$作$AB$的垂线,垂足为$H$，以点$H$为坐标原点,建立平面直角坐标系。
根据题意，$AB=20\ \mathrm{m}$，水面上升3 m时$CD=10\ \mathrm{m}$，因此抛物线经过点$A(-10,0)、B(10,0)、D(5,3)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-10)(x+10)$（$a≠0$），将$D(5,3)$代入解析式得：
$3=a(5-10)(5+10)$
解得$a=-\frac{1}{25}$，因此函数解析式为$y=-\frac{1}{25}(x^2-100)=-\frac{1}{25}x^2+4$。
(2) 抛物线$y=-\frac{1}{25}x^2+4$的顶点为$O(0,4)$，即顶点到水面AB的高度为4m。
警戒水位比AB高3m，因此警戒水位到顶点O的高度差为$4-3=1\ \mathrm{m}$。
已知水位上涨速度为$0.2\ \mathrm{m/h}$，因此达到警戒水位后到顶点被淹没的时间为$\frac{1}{0.2}=5(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 平面直角坐标系建立如图，函数解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{25}x^2+4}$；
(2) 再过$\boldsymbol{5\ \mathrm{h}}$此拱桥顶点将被淹没。
【知识点】
二次函数的应用、待定系数法求解析式、二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是利用抛物线对称性建立合适的坐标系简化计算，结合待定系数法求解析式、二次函数顶点性质即可解决问题，能够考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解决抛物线类实际问题时，可利用抛物线的对称性建立平面直角坐标系简化计算：选择水面AB为x轴，拱桥对称轴（过O且垂直AB的直线）为y轴，两轴交点为原点，可得A(-10,0)、B(10,0)、D(5,3)三个点的坐标。已知抛物线与x轴的两个交点，设交点式二次函数解析式，代入D点坐标即可求出参数，得到函数解析式。
(2) 先求出抛物线顶点O的纵坐标，得到顶点到AB的高度，结合警戒水位比AB高3m，求出警戒水位到顶点的高度差，除以水位上涨速度即可得到所需时间。
【解析】
(1) 如图，以抛物线形拱桥下的水面AB所在直线为$x$轴，过拱桥顶点$O$作$AB$的垂线,垂足为$H$，以点$H$为坐标原点,建立平面直角坐标系。
根据题意，$AB=20\ \mathrm{m}$，水面上升3 m时$CD=10\ \mathrm{m}$，因此抛物线经过点$A(-10,0)、B(10,0)、D(5,3)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-10)(x+10)$（$a≠0$），将$D(5,3)$代入解析式得：
$3=a(5-10)(5+10)$
解得$a=-\frac{1}{25}$，因此函数解析式为$y=-\frac{1}{25}(x^2-100)=-\frac{1}{25}x^2+4$。
(2) 抛物线$y=-\frac{1}{25}x^2+4$的顶点为$O(0,4)$，即顶点到水面AB的高度为4m。
警戒水位比AB高3m，因此警戒水位到顶点O的高度差为$4-3=1\ \mathrm{m}$。
已知水位上涨速度为$0.2\ \mathrm{m/h}$，因此达到警戒水位后到顶点被淹没的时间为$\frac{1}{0.2}=5(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 平面直角坐标系建立如图
，函数解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{25}x^2+4}$；(2) 再过$\boldsymbol{5\ \mathrm{h}}$此拱桥顶点将被淹没。
【知识点】
二次函数的应用、待定系数法求解析式、二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是利用抛物线对称性建立合适的坐标系简化计算，结合待定系数法求解析式、二次函数顶点性质即可解决问题，能够考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
1.图①是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将优秀传统文化与现代建筑融为一体，传承了中国的历史文化.“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图②，已知其底部宽度AB为80 m，高度为200 m，则离地面150 m处的水平宽度(即CD的长)为(
A.40 m
B.45 m
C.50 m
D.55 m
(第1题) (第2题)
A
).A.40 m
B.45 m
C.50 m
D.55 m
(第1题) (第2题)
答案
1.A
解析
【分析】
本题是抛物线的实际应用问题，解题思路为：首先利用抛物线的轴对称性，建立合适的平面直角坐标系简化计算，选择以AB所在直线为x轴、AB的垂直平分线为y轴建系，即可直接得到抛物线顶点坐标和A、B两点坐标；再用待定系数法求出抛物线的解析式；最后将y=150代入解析式，求出对应的横坐标，两个横坐标的差就是CD的长度。
【解析】
解：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：抛物线顶点坐标为$(0,200)$，点B的坐标为$(40,0)$。
设抛物线的解析式为$ y = ax^2 + 200 \ (a ≠ 0) $，
将$(40, 0)$代入解析式得：
$ 0 = a × 40^2 + 200 $
解得$ a = -\frac{1}{8} $，
即抛物线解析式为$ y = -\frac{1}{8}x^2 + 200 $。
当$ y = 150 $时，代入得：
$ 150 = -\frac{1}{8}x^2 + 200 $
解得$ x = \pm 20 $，
则CD的长度为$ 20 - (-20) = 40 \ \mathrm{m} $。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，抛物线性质
【点评】
本题结合建筑场景考查二次函数的实际应用，解题核心是通过建立合适的平面直角坐标系降低计算难度，要求学生掌握二次函数顶点式的用法，能根据函数值求解对应自变量的值，是二次函数应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
本题是抛物线的实际应用问题，解题思路为：首先利用抛物线的轴对称性，建立合适的平面直角坐标系简化计算，选择以AB所在直线为x轴、AB的垂直平分线为y轴建系，即可直接得到抛物线顶点坐标和A、B两点坐标；再用待定系数法求出抛物线的解析式；最后将y=150代入解析式，求出对应的横坐标，两个横坐标的差就是CD的长度。
【解析】
解：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：抛物线顶点坐标为$(0,200)$，点B的坐标为$(40,0)$。
设抛物线的解析式为$ y = ax^2 + 200 \ (a ≠ 0) $，
将$(40, 0)$代入解析式得：
$ 0 = a × 40^2 + 200 $
解得$ a = -\frac{1}{8} $，
即抛物线解析式为$ y = -\frac{1}{8}x^2 + 200 $。
当$ y = 150 $时，代入得：
$ 150 = -\frac{1}{8}x^2 + 200 $
解得$ x = \pm 20 $，
则CD的长度为$ 20 - (-20) = 40 \ \mathrm{m} $。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，抛物线性质
【点评】
本题结合建筑场景考查二次函数的实际应用，解题核心是通过建立合适的平面直角坐标系降低计算难度，要求学生掌握二次函数顶点式的用法，能根据函数值求解对应自变量的值，是二次函数应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
2.如图,一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分,当水面宽4 m时,拱顶离水面2 m.有下列结论:
①该抛物线的解析式为$y=-2.45x^2$；
②当水面宽度为5 m时,水面下降了1.125 m；
③当水面下降2 m时,水面宽度增加了$(4\sqrt{2}-4)\mathrm{m}$.
其中,正确结论的个数为(
A.0
B.1
C.2
D.3
①该抛物线的解析式为$y=-2.45x^2$；
②当水面宽度为5 m时,水面下降了1.125 m；
③当水面下降2 m时,水面宽度增加了$(4\sqrt{2}-4)\mathrm{m}$.
其中,正确结论的个数为(
C
).A.0
B.1
C.2
D.3
答案
2.C
解析
【分析】
首先观察坐标系可知抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，因此可设抛物线解析式为$y=ax^2(a＜0)$。再利用已知“水面宽4m时拱顶离水面2m”的条件，得到抛物线上的点坐标代入求出a的值，确定解析式后，再逐个验证三个结论是否正确即可。
【解析】
解：由坐标系特征设抛物线解析式为$y=ax^2(a＜0)$。
当水面宽4m、拱顶离水面2m时，水面对应点坐标为$(2,-2)$，代入解析式得：
$-2=a×2^2$，解得$a=-0.5$，即抛物线解析式为$y=-0.5x^2$。
逐一验证结论：
① 解析式为$y=-2.45x^2$，与求得的$y=-0.5x^2$不符，故①错误；
② 当水面宽度为5m时，$x=\pm2.5$，代入解析式得$y=-0.5×(2.5)^2=-3.125$，
水面下降高度为$|-3.125 - (-2)|=1.125\ \mathrm{m}$，故②正确；
③ 当水面下降2m时，水面纵坐标为$-2-2=-4$，代入解析式得：
$-4=-0.5x^2$，解得$x=\pm2\sqrt{2}$，此时水面宽度为$4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，
宽度增加量为$4\sqrt{2}-4\ \mathrm{m}$，故③正确。
综上，②③共2个结论正确。
【答案】C
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数在实际问题中的典型应用，解题的关键是结合坐标系特征正确设出函数解析式，计算时要注意坐标的正负对应的实际高度意义，避免出错。
【难度系数】
0.7
首先观察坐标系可知抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，因此可设抛物线解析式为$y=ax^2(a＜0)$。再利用已知“水面宽4m时拱顶离水面2m”的条件，得到抛物线上的点坐标代入求出a的值，确定解析式后，再逐个验证三个结论是否正确即可。
【解析】
解：由坐标系特征设抛物线解析式为$y=ax^2(a＜0)$。
当水面宽4m、拱顶离水面2m时，水面对应点坐标为$(2,-2)$，代入解析式得：
$-2=a×2^2$，解得$a=-0.5$，即抛物线解析式为$y=-0.5x^2$。
逐一验证结论：
① 解析式为$y=-2.45x^2$，与求得的$y=-0.5x^2$不符，故①错误；
② 当水面宽度为5m时，$x=\pm2.5$，代入解析式得$y=-0.5×(2.5)^2=-3.125$，
水面下降高度为$|-3.125 - (-2)|=1.125\ \mathrm{m}$，故②正确；
③ 当水面下降2m时，水面纵坐标为$-2-2=-4$，代入解析式得：
$-4=-0.5x^2$，解得$x=\pm2\sqrt{2}$，此时水面宽度为$4\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，
宽度增加量为$4\sqrt{2}-4\ \mathrm{m}$，故③正确。
综上，②③共2个结论正确。
【答案】C
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数在实际问题中的典型应用，解题的关键是结合坐标系特征正确设出函数解析式，计算时要注意坐标的正负对应的实际高度意义，避免出错。
【难度系数】
0.7
