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3.在我国河北省赵县有一座闻名遐迩的古桥——赵州桥，它是世界上现存年代最久远、保存最完整的巨大石拱桥之一，被誉为“中国第一古桥”.赵州桥是中国古代桥梁建筑的杰出典范，尤其是那道横断面呈抛物线形的大拱，仿佛在穿越时空向世人诉说着古老东方的智慧与辉煌.站在赵州桥上，我们观测到桥下的水面宽度AB恰好为20 m，拱桥最高点C离水面的距离CO为4 m，则当水位上升1 m时，水面的宽度为
$10\sqrt{3}$
m.答案
3.$10\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题属于抛物线型实际应用问题，解题思路是将实际问题转化为二次函数问题求解：首先合理建立平面直角坐标系，本题选择AB中点O为原点，AB为x轴、CO为y轴建系最简便；其次根据题意写出A、B、C三点的坐标，结合抛物线对称轴为y轴、顶点为C的特点，设顶点式的二次函数解析式，代入已知点坐标求出解析式；最后水位上升1m即水面纵坐标为1，代入解析式求出对应x的取值，两个x值的差就是此时水面的宽度。
【解析】
解：以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：AB=20m，CO=4m，因此A点坐标为(-10,0)，B点坐标为(10,0)，C点坐标为(0,4)。
∵抛物线顶点为C(0,4)，对称轴为y轴，
∴设抛物线解析式为$y=ax^2+4$。
将A(-10,0)代入解析式得：
$0=a×(-10)^2 +4$
$100a=-4$
解得$a=-\frac{1}{25}$
∴抛物线解析式为$y=-\frac{1}{25}x^2 +4$。
当水位上升1m时，水面纵坐标$y=1$，代入解析式得：
$1=-\frac{1}{25}x^2 +4$
整理得$x^2=75$，解得$x=\pm5\sqrt{3}$
此时水面宽度为$5\sqrt{3}-(-5\sqrt{3})=10\sqrt{3}$（m）
【答案】
$10\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数的实际应用、待定系数法求二次函数解析式、平面直角坐标系建立
【点评】
本题以赵州桥的石拱桥为背景，考查二次函数在实际生活中的应用，核心是通过建立坐标系将实际几何问题转化为二次函数问题，考查了学生的数学建模能力和基础计算能力，解题时注意坐标与实际长度的对应关系即可。
【难度系数】
0.7
本题属于抛物线型实际应用问题，解题思路是将实际问题转化为二次函数问题求解：首先合理建立平面直角坐标系，本题选择AB中点O为原点，AB为x轴、CO为y轴建系最简便；其次根据题意写出A、B、C三点的坐标，结合抛物线对称轴为y轴、顶点为C的特点，设顶点式的二次函数解析式，代入已知点坐标求出解析式；最后水位上升1m即水面纵坐标为1，代入解析式求出对应x的取值，两个x值的差就是此时水面的宽度。
【解析】
解：以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：AB=20m，CO=4m，因此A点坐标为(-10,0)，B点坐标为(10,0)，C点坐标为(0,4)。
∵抛物线顶点为C(0,4)，对称轴为y轴，
∴设抛物线解析式为$y=ax^2+4$。
将A(-10,0)代入解析式得：
$0=a×(-10)^2 +4$
$100a=-4$
解得$a=-\frac{1}{25}$
∴抛物线解析式为$y=-\frac{1}{25}x^2 +4$。
当水位上升1m时，水面纵坐标$y=1$，代入解析式得：
$1=-\frac{1}{25}x^2 +4$
整理得$x^2=75$，解得$x=\pm5\sqrt{3}$
此时水面宽度为$5\sqrt{3}-(-5\sqrt{3})=10\sqrt{3}$（m）
【答案】
$10\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数的实际应用、待定系数法求二次函数解析式、平面直角坐标系建立
【点评】
本题以赵州桥的石拱桥为背景，考查二次函数在实际生活中的应用，核心是通过建立坐标系将实际几何问题转化为二次函数问题，考查了学生的数学建模能力和基础计算能力，解题时注意坐标与实际长度的对应关系即可。
【难度系数】
0.7
4.如图,有一个横截面边缘为抛物线形的隧道入口,隧道入口处的底面宽度为8 m,两侧距底面4 m处各有一盏灯,两灯间的水平距离为6 m,则这个隧道入口的最大高度约为
9.1
m(结果精确到0.1 m).答案
4.9.1
解析
【分析】
解决这类抛物线形的实际问题，首先要合理建立平面直角坐标系简化计算：我们可以以隧道入口底面的中点为原点，底面所在直线为x轴建立坐标系，此时抛物线的对称轴为y轴，可设抛物线解析式为$y=ax²+c$（$a≠0$）。接下来根据已知条件找到抛物线上的点坐标：底面宽度8m，可得抛物线与x轴交点为$(4,0)$；距底面4m处两灯水平距离6m，可得抛物线上点$(3,4)$。将两个点代入解析式即可求出a、c的值，其中c就是抛物线顶点的纵坐标，也就是隧道入口的最大高度，最后按要求保留精度即可。
【解析】
解：以隧道入口底面的中点为原点，底面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。
由题意可知抛物线的对称轴为y轴，设抛物线的解析式为$y=ax^2+c$（$a≠0$）。
根据已知条件，抛物线过点$(4,0)$和$(3,4)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases}16a + c = 0 \\9a + c = 4\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：$7a=-4$，解得$a=-\frac{4}{7}$。
将$a=-\frac{4}{7}$代入$16a + c = 0$，得：$16×(-\frac{4}{7}) + c = 0$，解得$c=\frac{64}{7}\approx9.1$。
抛物线的顶点坐标为$(0,c)$，即隧道入口的最大高度为c的值。
【答案】
9.1
【知识点】
二次函数实际应用、待定系数法求解析式、二次函数性质
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的常见题型，核心是通过建立合适的平面直角坐标系，将实际条件转化为抛物线上的点坐标，进而求出解析式得到对应最值，解题时要注意坐标系的建立尽量简化计算，同时按要求保留结果精度。
【难度系数】
0.7
解决这类抛物线形的实际问题，首先要合理建立平面直角坐标系简化计算：我们可以以隧道入口底面的中点为原点，底面所在直线为x轴建立坐标系，此时抛物线的对称轴为y轴，可设抛物线解析式为$y=ax²+c$（$a≠0$）。接下来根据已知条件找到抛物线上的点坐标：底面宽度8m，可得抛物线与x轴交点为$(4,0)$；距底面4m处两灯水平距离6m，可得抛物线上点$(3,4)$。将两个点代入解析式即可求出a、c的值，其中c就是抛物线顶点的纵坐标，也就是隧道入口的最大高度，最后按要求保留精度即可。
【解析】
解：以隧道入口底面的中点为原点，底面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。
由题意可知抛物线的对称轴为y轴，设抛物线的解析式为$y=ax^2+c$（$a≠0$）。
根据已知条件，抛物线过点$(4,0)$和$(3,4)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases}16a + c = 0 \\9a + c = 4\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：$7a=-4$，解得$a=-\frac{4}{7}$。
将$a=-\frac{4}{7}$代入$16a + c = 0$，得：$16×(-\frac{4}{7}) + c = 0$，解得$c=\frac{64}{7}\approx9.1$。
抛物线的顶点坐标为$(0,c)$，即隧道入口的最大高度为c的值。
【答案】
9.1
【知识点】
二次函数实际应用、待定系数法求解析式、二次函数性质
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的常见题型，核心是通过建立合适的平面直角坐标系，将实际条件转化为抛物线上的点坐标，进而求出解析式得到对应最值，解题时要注意坐标系的建立尽量简化计算，同时按要求保留结果精度。
【难度系数】
0.7
5.某校将新建实验楼的正门设计为一个抛物线形拱门，现将设计方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示，拱门的跨度$OM=10\ \mathrm{m}$，拱高$EF=4\ \mathrm{m}$，点$M$在$x$轴上，$EF⊥ OM$，$OF=FM$.要在拱门中设置高为$3\ \mathrm{m}(AB=3\ \mathrm{m})$的矩形框架$ABCD$，点$A$，$D$在抛物线上，边$BC$在$OM$上.请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)求矩形框架$ABCD$的周长.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求矩形框架$ABCD$的周长.
答案
5.【解】(1)
∵拱门的跨度 $OM=10\ \mathrm{m},OF=FM$，
∴点 $M(10,0),OF=FM=5\ \mathrm{m}$.
∵拱高 $EF=4\ \mathrm{m},EF⊥ OM$,
∴顶点 $E(5,4)$.
设抛物线的解析式为 $y=a(x-5)^2+4$，
把 $M(10,0)$ 代入 $y=a(x-5)^2+4$,得 $0=a(10-5)^2+4$.
解得 $a=-\frac{4}{25}$.
∴抛物线的解析式为 $y=-\frac{4}{25}(x-5)^2+4$.
(2)当 $y=3$ 时,$3=-\frac{4}{25}(x-5)^2+4$，
解得 $x_1=7.5,x_2=2.5$.
∴点 $A(2.5,3),D(7.5,3). \therefore AD=7.5-2.5=5(\mathrm{m})$.
∴矩形框架 $ABCD$ 的周长 $=2(AD+AB)=2×(5+3)=16(\mathrm{m})$.
∴矩形框架 $ABCD$ 的周长为 $16\ \mathrm{m}$.
∵拱门的跨度 $OM=10\ \mathrm{m},OF=FM$，
∴点 $M(10,0),OF=FM=5\ \mathrm{m}$.
∵拱高 $EF=4\ \mathrm{m},EF⊥ OM$,
∴顶点 $E(5,4)$.
设抛物线的解析式为 $y=a(x-5)^2+4$，
把 $M(10,0)$ 代入 $y=a(x-5)^2+4$,得 $0=a(10-5)^2+4$.
解得 $a=-\frac{4}{25}$.
∴抛物线的解析式为 $y=-\frac{4}{25}(x-5)^2+4$.
(2)当 $y=3$ 时,$3=-\frac{4}{25}(x-5)^2+4$，
解得 $x_1=7.5,x_2=2.5$.
∴点 $A(2.5,3),D(7.5,3). \therefore AD=7.5-2.5=5(\mathrm{m})$.
∴矩形框架 $ABCD$ 的周长 $=2(AD+AB)=2×(5+3)=16(\mathrm{m})$.
∴矩形框架 $ABCD$ 的周长为 $16\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，首先根据已知的拱门跨度、对称关系和拱高，确定抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，由于已知顶点，选择顶点式设解析式更简便，代入已知点即可求出未知参数，得到解析式。
(2) 求矩形周长时，矩形的高AB=3m即点A、D的纵坐标为3，将y=3代入已求出的抛物线解析式，可得到两个对应横坐标，横坐标的差就是矩形的长AD，再结合矩形周长公式即可计算出结果。
【解析】
(1)
∵拱门的跨度 $OM=10\ \mathrm{m},OF=FM$，
∴点 $M(10,0),OF=FM=5\ \mathrm{m}$。
∵拱高 $EF=4\ \mathrm{m},EF⊥ OM$,
∴顶点 $E(5,4)$。
设抛物线的解析式为 $y=a(x-5)^2+4$，
把 $M(10,0)$ 代入 $y=a(x-5)^2+4$,得 $0=a(10-5)^2+4$。
解得 $a=-\frac{4}{25}$。
∴抛物线的解析式为 $y=-\frac{4}{25}(x-5)^2+4$。
(2) 当 $y=3$ 时,$3=-\frac{4}{25}(x-5)^2+4$，
解得 $x_1=7.5,x_2=2.5$。
∴点 $A(2.5,3),D(7.5,3)$，则 $AD=7.5-2.5=5(\mathrm{m})$。
∴矩形框架 $ABCD$ 的周长 $=2(AD+AB)=2×(5+3)=16(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $y=-\frac{4}{25}(x-5)^2+4$
(2) $16\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数实际应用，矩形周长计算
【点评】
本题是二次函数结合几何的基础应用题，解题核心是将实际条件转化为坐标系内的点坐标特征，合理选择函数解析式形式，再结合几何性质求解，能很好地考查函数知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 求抛物线解析式时，首先根据已知的拱门跨度、对称关系和拱高，确定抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，由于已知顶点，选择顶点式设解析式更简便，代入已知点即可求出未知参数，得到解析式。
(2) 求矩形周长时，矩形的高AB=3m即点A、D的纵坐标为3，将y=3代入已求出的抛物线解析式，可得到两个对应横坐标，横坐标的差就是矩形的长AD，再结合矩形周长公式即可计算出结果。
【解析】
(1)
∵拱门的跨度 $OM=10\ \mathrm{m},OF=FM$，
∴点 $M(10,0),OF=FM=5\ \mathrm{m}$。
∵拱高 $EF=4\ \mathrm{m},EF⊥ OM$,
∴顶点 $E(5,4)$。
设抛物线的解析式为 $y=a(x-5)^2+4$，
把 $M(10,0)$ 代入 $y=a(x-5)^2+4$,得 $0=a(10-5)^2+4$。
解得 $a=-\frac{4}{25}$。
∴抛物线的解析式为 $y=-\frac{4}{25}(x-5)^2+4$。
(2) 当 $y=3$ 时,$3=-\frac{4}{25}(x-5)^2+4$，
解得 $x_1=7.5,x_2=2.5$。
∴点 $A(2.5,3),D(7.5,3)$，则 $AD=7.5-2.5=5(\mathrm{m})$。
∴矩形框架 $ABCD$ 的周长 $=2(AD+AB)=2×(5+3)=16(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $y=-\frac{4}{25}(x-5)^2+4$
(2) $16\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数实际应用，矩形周长计算
【点评】
本题是二次函数结合几何的基础应用题，解题核心是将实际条件转化为坐标系内的点坐标特征，合理选择函数解析式形式，再结合几何性质求解，能很好地考查函数知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
