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14 对于有理数$a$,$b$,定义运算“△”如下：$a△b=\frac{1}{a} ÷ (-\frac{b}{2})(a≠0)$. 如$2△3=\frac{1}{2} ÷ (-\frac{3}{2})=-\frac{1}{3}$,则$(-2△5)△9$的值为
$-\frac{10}{9}$
.答案
$-\frac{10}{9}$
解析:$(-2△5)△9=[ -\frac{1}{2} ÷ ( -\frac{5}{2} ) ] △9= \frac{1}{5}△9=5÷( -\frac{9}{2} ) =-\frac{10}{9}.$
解析:$(-2△5)△9=[ -\frac{1}{2} ÷ ( -\frac{5}{2} ) ] △9= \frac{1}{5}△9=5÷( -\frac{9}{2} ) =-\frac{10}{9}.$
解析
【分析】
本题为新定义运算题型，解题需遵循先算括号内、再算括号外的运算顺序。首先明确新运算“△”的规则：$a△b$等于$a$的倒数除以$-\frac{b}{2}$（$a≠0$）。第一步先将$a=-2$、$b=5$代入运算规则，算出$-2△5$的结果；第二步把第一步得到的结果作为新的$a$，$9$作为$b$，再次代入运算规则计算即可，计算过程中要注意有理数除法的符号规则，避免符号出错。
【解析】
先计算括号内的$-2△5$，根据新定义$a△b=\frac{1}{a} ÷ (-\frac{b}{2})$，此时$a=-2$，$b=5$：
$\begin{aligned}-2△5&=\frac{1}{-2}÷(-\frac{5}{2})\\&=(-\frac{1}{2})×(-\frac{2}{5})\\&=\frac{1}{5}\end{aligned}$
再计算$\frac{1}{5}△9$，此时$a=\frac{1}{5}$，$b=9$：
$\begin{aligned}\frac{1}{5}△9&=\frac{1}{\frac{1}{5}}÷(-\frac{9}{2})\\&=5×(-\frac{2}{9})\\&=-\frac{10}{9}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{10}{9}$
【知识点】
新定义运算、有理数除法运算、有理数混合运算
【点评】
本题重点考查对新定义运算规则的理解，解题时要严格按照给定规则分步计算，注意运算顺序和符号处理，属于新定义与有理数运算结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
本题为新定义运算题型，解题需遵循先算括号内、再算括号外的运算顺序。首先明确新运算“△”的规则：$a△b$等于$a$的倒数除以$-\frac{b}{2}$（$a≠0$）。第一步先将$a=-2$、$b=5$代入运算规则，算出$-2△5$的结果；第二步把第一步得到的结果作为新的$a$，$9$作为$b$，再次代入运算规则计算即可，计算过程中要注意有理数除法的符号规则，避免符号出错。
【解析】
先计算括号内的$-2△5$，根据新定义$a△b=\frac{1}{a} ÷ (-\frac{b}{2})$，此时$a=-2$，$b=5$：
$\begin{aligned}-2△5&=\frac{1}{-2}÷(-\frac{5}{2})\\&=(-\frac{1}{2})×(-\frac{2}{5})\\&=\frac{1}{5}\end{aligned}$
再计算$\frac{1}{5}△9$，此时$a=\frac{1}{5}$，$b=9$：
$\begin{aligned}\frac{1}{5}△9&=\frac{1}{\frac{1}{5}}÷(-\frac{9}{2})\\&=5×(-\frac{2}{9})\\&=-\frac{10}{9}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{10}{9}$
【知识点】
新定义运算、有理数除法运算、有理数混合运算
【点评】
本题重点考查对新定义运算规则的理解，解题时要严格按照给定规则分步计算，注意运算顺序和符号处理，属于新定义与有理数运算结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
15 某冷冻厂一个冷库的室温是$-1°\mathrm{C}$，现有一批食品需在$-19°\mathrm{C}$的温度下冷藏。如果每小时降温$3°\mathrm{C}$，那么
6
h时才能降到所需的温度。答案
6
解析:因为$-19-(-1)=-18(℃),-18÷(-3)=6(\mathrm{h})$,所以6 h时才能降到所需的温度.
解析:因为$-19-(-1)=-18(℃),-18÷(-3)=6(\mathrm{h})$,所以6 h时才能降到所需的温度.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确解题的两个核心步骤：第一步先算出从当前室温降到目标温度的总温度变化量，第二步结合每小时的降温速度，用总变化量除以单位时间的降温幅度就能得到所需时间。计算时要注意有理数运算的符号规则，避免符号出错。
【解析】
解：先计算总温度变化量：
$-19 - (-1) = -19 + 1 = -18(℃)$，结果为负表示温度下降。
已知每小时降温$3℃$，即每小时温度变化为$-3℃$，则所需时间为：
$(-18)÷(-3) = 6(h)$
【答案】
6
【知识点】
1.有理数减法运算
2.有理数除法运算
3.有理数实际应用
【点评】
本题结合实际冷藏场景考查有理数的运算，解题关键是正确求出总温度变化量，计算过程中要重点关注符号的处理，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确解题的两个核心步骤：第一步先算出从当前室温降到目标温度的总温度变化量，第二步结合每小时的降温速度，用总变化量除以单位时间的降温幅度就能得到所需时间。计算时要注意有理数运算的符号规则，避免符号出错。
【解析】
解：先计算总温度变化量：
$-19 - (-1) = -19 + 1 = -18(℃)$，结果为负表示温度下降。
已知每小时降温$3℃$，即每小时温度变化为$-3℃$，则所需时间为：
$(-18)÷(-3) = 6(h)$
【答案】
6
【知识点】
1.有理数减法运算
2.有理数除法运算
3.有理数实际应用
【点评】
本题结合实际冷藏场景考查有理数的运算，解题关键是正确求出总温度变化量，计算过程中要重点关注符号的处理，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
16 小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序.
（1）若输入的数是－4，则执行程序后，输出的数是
（2）若输入的数是2，则执行程序后，输出的数是
（1）若输入的数是－4，则执行程序后，输出的数是
$-108$
；（2）若输入的数是2，则执行程序后，输出的数是
$-558$
.答案
(1) $-108$ (2) $-558$
解析:(1) 把$-4$输入,得$(-4-8)×9=-12×9=-108$.因为$|-108|＞100$,所以输出的数是$-108$.
(2) 把2输入,得$(2-8)×9=-54$.因为$|-54|＜100$,所以$-54$不输出.再次输入,得$(-54-8)×9=-558$.因为$|-558|＞100$,所以输出的数是$-558$.
解析:(1) 把$-4$输入,得$(-4-8)×9=-12×9=-108$.因为$|-108|＞100$,所以输出的数是$-108$.
(2) 把2输入,得$(2-8)×9=-54$.因为$|-54|＜100$,所以$-54$不输出.再次输入,得$(-54-8)×9=-558$.因为$|-558|＞100$,所以输出的数是$-558$.
解析
【分析】
首先明确程序的运算逻辑：输入一个数后，先执行“减8，再乘9”的运算，再判断运算结果的绝对值是否小于100：如果小于100，就将本次运算结果作为新的输入值，重复上述运算流程；如果不小于100，就直接输出这个结果。
解第(1)问时，直接将输入值-4代入流程计算，判断结果绝对值是否符合输出条件即可；解第(2)问时，先将输入值2代入计算，若第一次结果不符合输出条件，就将结果再次代入流程计算，直到结果满足输出条件为止。
【解析】
(1) 当输入的数是-4时，按流程计算：
$(-4 - 8) × 9 = -12 × 9 = -108$
判断绝对值：$|-108| = 108 ＞ 100$，符合输出条件。
(2) 当输入的数是2时，按流程计算：
第一次运算：$(2 - 8) × 9 = -6 × 9 = -54$
判断绝对值：$|-54| = 54 ＜ 100$，不符合输出条件，将-54作为新的输入值重新运算。
第二次运算：$(-54 - 8) × 9 = -62 × 9 = -558$
判断绝对值：$|-558| = 558 ＞ 100$，符合输出条件。
【答案】
(1) $-108$；(2) $-558$
【知识点】
有理数混合运算；绝对值的性质；程序框图运算
【点评】
本题需要严格按照给定的程序步骤逐步运算，关键是要注意判断每次运算的结果是否满足输出条件，若满足循环条件则需要重复计算，避免遗漏循环步骤导致出错。
【难度系数】
0.7
首先明确程序的运算逻辑：输入一个数后，先执行“减8，再乘9”的运算，再判断运算结果的绝对值是否小于100：如果小于100，就将本次运算结果作为新的输入值，重复上述运算流程；如果不小于100，就直接输出这个结果。
解第(1)问时，直接将输入值-4代入流程计算，判断结果绝对值是否符合输出条件即可；解第(2)问时，先将输入值2代入计算，若第一次结果不符合输出条件，就将结果再次代入流程计算，直到结果满足输出条件为止。
【解析】
(1) 当输入的数是-4时，按流程计算：
$(-4 - 8) × 9 = -12 × 9 = -108$
判断绝对值：$|-108| = 108 ＞ 100$，符合输出条件。
(2) 当输入的数是2时，按流程计算：
第一次运算：$(2 - 8) × 9 = -6 × 9 = -54$
判断绝对值：$|-54| = 54 ＜ 100$，不符合输出条件，将-54作为新的输入值重新运算。
第二次运算：$(-54 - 8) × 9 = -62 × 9 = -558$
判断绝对值：$|-558| = 558 ＞ 100$，符合输出条件。
【答案】
(1) $-108$；(2) $-558$
【知识点】
有理数混合运算；绝对值的性质；程序框图运算
【点评】
本题需要严格按照给定的程序步骤逐步运算，关键是要注意判断每次运算的结果是否满足输出条件，若满足循环条件则需要重复计算，避免遗漏循环步骤导致出错。
【难度系数】
0.7
17 [2026 杭州拱墅段测]计算：
(1) $\left| -2 \frac{1}{2} \right| - (-2.5) + 1 - \left| 1 - 2 \frac{1}{2} \right|$；
(2) $4 \frac{2}{13} + 8 - ( +3 \frac{2}{13} ) + ( -1 \frac{2}{5} ) + ( -2 \frac{3}{5} )$；
(3) $[ 4 \frac{5}{12} + ( -1 \frac{1}{7} ) ] + [ ( -\frac{2}{7} ) + ( +6 \frac{7}{12} ) ]$；
(4) $0 - ( -2 \frac{5}{6} ) + ( -5 \frac{2}{7} ) - ( -2 \frac{1}{6} ) - \left| -6 \frac{8}{21} \right|$；
(1) $\left| -2 \frac{1}{2} \right| - (-2.5) + 1 - \left| 1 - 2 \frac{1}{2} \right|$；
(2) $4 \frac{2}{13} + 8 - ( +3 \frac{2}{13} ) + ( -1 \frac{2}{5} ) + ( -2 \frac{3}{5} )$；
(3) $[ 4 \frac{5}{12} + ( -1 \frac{1}{7} ) ] + [ ( -\frac{2}{7} ) + ( +6 \frac{7}{12} ) ]$；
(4) $0 - ( -2 \frac{5}{6} ) + ( -5 \frac{2}{7} ) - ( -2 \frac{1}{6} ) - \left| -6 \frac{8}{21} \right|$；
答案
(1) $4.5$ (2) $5$ (3) $9\frac{4}{7}$ (4) $-6\frac{2}{3}$
解析
【分析】
这是一组有理数加减混合运算题，解题思路如下：①第一步先处理绝对值和去括号，注意符号变化规则：负负得正，正负得负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；②第二步观察数字特点，利用加法交换律和结合律，将同分母分数、能凑整的数分组结合，简化计算过程；③最后按照加减运算规则计算最终结果，能有效降低出错率。
【解析】
(1) 先化简绝对值、去括号：
$\left| -2 \frac{1}{2} \right|=2.5$，$-(-2.5)=2.5$，$\left| 1 - 2 \frac{1}{2} \right|=\left| -1.5 \right|=1.5$
原式$=2.5 + 2.5 + 1 - 1.5 = 5 + 1 - 1.5 = 4.5$
(2) 先去括号，再分组凑整：
原式$=4 \frac{2}{13} + 8 - 3 \frac{2}{13} - 1 \frac{2}{5} - 2 \frac{3}{5}$
$=(4 \frac{2}{13} - 3 \frac{2}{13}) + 8 + (-1 \frac{2}{5} - 2 \frac{3}{5})$
$=1 + 8 - 4 = 5$
(3) 先去括号，再分组合并同分母分数：
原式$=4 \frac{5}{12} - 1 \frac{1}{7} - \frac{2}{7} + 6 \frac{7}{12}$
$=(4 \frac{5}{12} + 6 \frac{7}{12}) + (-1 \frac{1}{7} - \frac{2}{7})$
$=11 - 1 \frac{3}{7} = 9 \frac{4}{7}$
(4) 先化简绝对值、去括号，再分组计算：
$|-6 \frac{8}{21}|=6 \frac{8}{21}$
原式$=0 + 2 \frac{5}{6} - 5 \frac{2}{7} + 2 \frac{1}{6} - 6 \frac{8}{21}$
$=(2 \frac{5}{6} + 2 \frac{1}{6}) + (-5 \frac{6}{21} - 6 \frac{8}{21})$
$=5 - 11 \frac{14}{21} = 5 - 11 \frac{2}{3} = -6 \frac{2}{3}$
【答案】
(1) $4.5$；(2) $5$；(3) $9\frac{4}{7}$；(4) $-6\frac{2}{3}$
【知识点】
有理数加减混合运算，绝对值化简，加法运算律应用
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，重点考察去括号、去绝对值的符号规则，以及加法运算律的灵活使用，通过合理分组凑整、合并同分母分数可大幅简化计算，降低出错概率，是需要熟练掌握的基础运算技能。
【难度系数】
0.7
这是一组有理数加减混合运算题，解题思路如下：①第一步先处理绝对值和去括号，注意符号变化规则：负负得正，正负得负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；②第二步观察数字特点，利用加法交换律和结合律，将同分母分数、能凑整的数分组结合，简化计算过程；③最后按照加减运算规则计算最终结果，能有效降低出错率。
【解析】
(1) 先化简绝对值、去括号：
$\left| -2 \frac{1}{2} \right|=2.5$，$-(-2.5)=2.5$，$\left| 1 - 2 \frac{1}{2} \right|=\left| -1.5 \right|=1.5$
原式$=2.5 + 2.5 + 1 - 1.5 = 5 + 1 - 1.5 = 4.5$
(2) 先去括号，再分组凑整：
原式$=4 \frac{2}{13} + 8 - 3 \frac{2}{13} - 1 \frac{2}{5} - 2 \frac{3}{5}$
$=(4 \frac{2}{13} - 3 \frac{2}{13}) + 8 + (-1 \frac{2}{5} - 2 \frac{3}{5})$
$=1 + 8 - 4 = 5$
(3) 先去括号，再分组合并同分母分数：
原式$=4 \frac{5}{12} - 1 \frac{1}{7} - \frac{2}{7} + 6 \frac{7}{12}$
$=(4 \frac{5}{12} + 6 \frac{7}{12}) + (-1 \frac{1}{7} - \frac{2}{7})$
$=11 - 1 \frac{3}{7} = 9 \frac{4}{7}$
(4) 先化简绝对值、去括号，再分组计算：
$|-6 \frac{8}{21}|=6 \frac{8}{21}$
原式$=0 + 2 \frac{5}{6} - 5 \frac{2}{7} + 2 \frac{1}{6} - 6 \frac{8}{21}$
$=(2 \frac{5}{6} + 2 \frac{1}{6}) + (-5 \frac{6}{21} - 6 \frac{8}{21})$
$=5 - 11 \frac{14}{21} = 5 - 11 \frac{2}{3} = -6 \frac{2}{3}$
【答案】
(1) $4.5$；(2) $5$；(3) $9\frac{4}{7}$；(4) $-6\frac{2}{3}$
【知识点】
有理数加减混合运算，绝对值化简，加法运算律应用
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，重点考察去括号、去绝对值的符号规则，以及加法运算律的灵活使用，通过合理分组凑整、合并同分母分数可大幅简化计算，降低出错概率，是需要熟练掌握的基础运算技能。
【难度系数】
0.7
18 [2026 浙江期中]计算：
(1) $( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{5}{11} ) × (-66)$；
(2) $-1^{2026} - ( 1 - \frac{1}{3} )^2 × |-9|$。
(1) $( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{5}{11} ) × (-66)$；
(2) $-1^{2026} - ( 1 - \frac{1}{3} )^2 × |-9|$。
答案
(1) $-41$ (2) $-5$
解析
【分析】
（1）观察算式发现-66是括号内各分数分母2、3、11的公倍数，因此可以利用乘法分配律展开计算，相比先算括号内的加减再乘-66，能避免通分，简化计算过程，减少出错概率。
（2）本题是有理数混合运算，需严格按照运算顺序计算：先算乘方与绝对值，再算乘法，最后算加减；有括号先算括号内的运算，同时要注意$-1^{2026}$是$1^{2026}$的相反数，不要和$(-1)^{2026}$混淆。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}×(-66) - \frac{1}{3}×(-66) + \frac{5}{11}×(-66)\\&=-33 + 22 - 30\\&=-11 -30\\&=-41\end{aligned}$
(2) 按有理数混合运算顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=-1 - (\frac{2}{3})^2 × 9\\&=-1 - \frac{4}{9} ×9\\&=-1 -4\\&=-5\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-41}$；(2) $\boldsymbol{-5}$
【知识点】
乘法分配律；有理数混合运算顺序；乘方与绝对值运算
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，核心考察运算规则的掌握和运算技巧的运用。第一题运用乘法分配律可大幅简化计算，降低通分出错的可能；第二题需重点注意符号问题，区分带括号和不带括号的负数乘方的运算差异，严格遵循运算顺序即可正确求解。
【难度系数】
0.7
（1）观察算式发现-66是括号内各分数分母2、3、11的公倍数，因此可以利用乘法分配律展开计算，相比先算括号内的加减再乘-66，能避免通分，简化计算过程，减少出错概率。
（2）本题是有理数混合运算，需严格按照运算顺序计算：先算乘方与绝对值，再算乘法，最后算加减；有括号先算括号内的运算，同时要注意$-1^{2026}$是$1^{2026}$的相反数，不要和$(-1)^{2026}$混淆。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}×(-66) - \frac{1}{3}×(-66) + \frac{5}{11}×(-66)\\&=-33 + 22 - 30\\&=-11 -30\\&=-41\end{aligned}$
(2) 按有理数混合运算顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=-1 - (\frac{2}{3})^2 × 9\\&=-1 - \frac{4}{9} ×9\\&=-1 -4\\&=-5\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-41}$；(2) $\boldsymbol{-5}$
【知识点】
乘法分配律；有理数混合运算顺序；乘方与绝对值运算
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，核心考察运算规则的掌握和运算技巧的运用。第一题运用乘法分配律可大幅简化计算，降低通分出错的可能；第二题需重点注意符号问题，区分带括号和不带括号的负数乘方的运算差异，严格遵循运算顺序即可正确求解。
【难度系数】
0.7
19 [2026绍兴柯桥期中]方方与圆圆两名同学计算$-4^2÷(-2)^3×(-\frac{1}{8})$的过程如下：
（1）以上计算过程中，方方开始出错的是第
（2）写出你的计算过程。
（1）以上计算过程中，方方开始出错的是第
②
步，圆圆开始出错的是第①
步（填序号）；（2）写出你的计算过程。
答案
(1) ② ①
(2) 原式$=-16÷(-8)×( -\frac{1}{8} )=2×( -\frac{1}{8} )=-\frac{1}{4}$
(2) 原式$=-16÷(-8)×( -\frac{1}{8} )=2×( -\frac{1}{8} )=-\frac{1}{4}$
解析
【分析】
解决本题首先要明确两个核心规则：一是有理数乘方的计算规则，注意$-4^2$是$4^2$的相反数，和$(-4)^2$有本质区别；二是乘除属于同级运算，必须按照从左到右的顺序依次计算，不能随意调整运算顺序。
针对第（1）问：先逐步骤核对方方的计算，方方第①步乘方计算正确，第②步擅自给后两个运算加括号先算乘法，违反了同级运算顺序，因此错在第②步；再核对圆圆的计算，第①步乘方运算就把$-4^2$错算成$-8$、$(-2)^3$错算成$-6$，所以圆圆从第①步就出错。
针对第（2）问：按照“先算乘方，再从左到右依次算乘除”的顺序计算即可。
【解析】
（1）方方的计算中，乘除是同级运算，需从左到右依次计算，第②步违背运算顺序先计算右侧乘法，因此方方开始出错的是第②步；圆圆的计算中，第①步乘方计算错误，$-4^2=-16$、$(-2)^3=-8$，均和圆圆计算的结果不符，因此圆圆开始出错的是第①步。
（2）正确计算过程：
先计算乘方：
$\begin{split}原式&=-16÷(-8)×(-\frac{1}{8})\\&=2×(-\frac{1}{8})\\&=-\frac{1}{4}\end{split}$
【答案】
（1）$\boxed{②}$，$\boxed{①}$
（2）$\boxed{-\dfrac{1}{4}}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 有理数乘除混合运算
3. 混合运算顺序
【点评】
本题是有理数运算的基础题，易错点集中在两处：一是乘方的符号判断，二是同级运算的顺序规则，计算时不要随意跳步、调整运算顺序，按照规则逐步计算即可避免错误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确两个核心规则：一是有理数乘方的计算规则，注意$-4^2$是$4^2$的相反数，和$(-4)^2$有本质区别；二是乘除属于同级运算，必须按照从左到右的顺序依次计算，不能随意调整运算顺序。
针对第（1）问：先逐步骤核对方方的计算，方方第①步乘方计算正确，第②步擅自给后两个运算加括号先算乘法，违反了同级运算顺序，因此错在第②步；再核对圆圆的计算，第①步乘方运算就把$-4^2$错算成$-8$、$(-2)^3$错算成$-6$，所以圆圆从第①步就出错。
针对第（2）问：按照“先算乘方，再从左到右依次算乘除”的顺序计算即可。
【解析】
（1）方方的计算中，乘除是同级运算，需从左到右依次计算，第②步违背运算顺序先计算右侧乘法，因此方方开始出错的是第②步；圆圆的计算中，第①步乘方计算错误，$-4^2=-16$、$(-2)^3=-8$，均和圆圆计算的结果不符，因此圆圆开始出错的是第①步。
（2）正确计算过程：
先计算乘方：
$\begin{split}原式&=-16÷(-8)×(-\frac{1}{8})\\&=2×(-\frac{1}{8})\\&=-\frac{1}{4}\end{split}$
【答案】
（1）$\boxed{②}$，$\boxed{①}$
（2）$\boxed{-\dfrac{1}{4}}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 有理数乘除混合运算
3. 混合运算顺序
【点评】
本题是有理数运算的基础题，易错点集中在两处：一是乘方的符号判断，二是同级运算的顺序规则，计算时不要随意跳步、调整运算顺序，按照规则逐步计算即可避免错误。
【难度系数】
0.7
