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1. 如果点 C 是线段 AB 延长线上的一点，且AC：BC=5：2，那么 AB：BC 等于（
A.5：2
B.1：2
C.3：2
D.2：3
C
）A.5：2
B.1：2
C.3：2
D.2：3
答案
1.C 解析:根据题意可画出下图：
∵ AC: BC = 5 : 2, 设 BC = 2k, 则 AC = 5k,
∴ AB = AC - BC = 5k-2k=3k,
∴ AB: BC=3k:2k=3:2.故选 C.
解析
【分析】
首先明确点C的位置是线段AB的延长线，因此对应线段和差关系为AC=AB+BC，可推导得到AB=AC-BC。对于给出的线段比例AC:BC=5:2，可采用比例问题常用的设参数法，设BC=2k，AC=5k，代入和差关系求出AB的参数表示，再计算AB与BC的比值即可。
【解析】
根据题意可画出下图：
∵ AC: BC = 5 : 2，设BC = 2k（k≠0），则AC = 5k，
又
∵点C在线段AB的延长线上，
∴ AB = AC - BC = 5k - 2k = 3k，
∴ AB: BC = 3k : 2k = 3:2。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段和差运算，成比例线段，设参求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是准确判断延长线上的线段和差关系，熟练运用设参数的方法处理比例问题，即可快速得出结果，注意参数k不为0，约分时可直接消去。
【难度系数】
0.8
首先明确点C的位置是线段AB的延长线，因此对应线段和差关系为AC=AB+BC，可推导得到AB=AC-BC。对于给出的线段比例AC:BC=5:2，可采用比例问题常用的设参数法，设BC=2k，AC=5k，代入和差关系求出AB的参数表示，再计算AB与BC的比值即可。
【解析】
根据题意可画出下图：
∵ AC: BC = 5 : 2，设BC = 2k（k≠0），则AC = 5k，
又
∵点C在线段AB的延长线上，
∴ AB = AC - BC = 5k - 2k = 3k，
∴ AB: BC = 3k : 2k = 3:2。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段和差运算，成比例线段，设参求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是准确判断延长线上的线段和差关系，熟练运用设参数的方法处理比例问题，即可快速得出结果，注意参数k不为0，约分时可直接消去。
【难度系数】
0.8
2. (2026·亳州期末)在三条线段a,b,c中,a的一半等于b的四分之一长,也等于c的六分之一长,那么这三条线段的和与b的比等于 (
A.1:6
B.6:1
C.1:3
D.3:1
D
)A.1:6
B.6:1
C.1:3
D.3:1
答案
2.D 解析:由题意得$\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}$,
设$\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}=k$,则有$a=2k,b=4k,c=6k$,
所以$\frac{a+b+c}{b}=\frac{2k+4k+6k}{4k}=3:1$,故选 D.
设$\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}=k$,则有$a=2k,b=4k,c=6k$,
所以$\frac{a+b+c}{b}=\frac{2k+4k+6k}{4k}=3:1$,故选 D.
解析
【分析】
遇到题目中给出多个比值相等的条件时，可引入公共参数将所有相关量用同一个参数表示，后续计算比值时参数会自动消去，从而快速得到结果。本题先根据题意写出a、b、c对应的等比关系，设公共参数为k，分别用k表示a、b、c的长度，再代入三条线段的和与b的比中计算即可。
【解析】
由题意得$\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}$，
设$\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}=k$（$k≠0$，线段长度为正数），则$a=2k$，$b=4k$，$c=6k$，
所以$\frac{a+b+c}{b}=\frac{2k+4k+6k}{4k}=\frac{12k}{4k}=3$，即三条线段的和与b的比为3:1，故选D。
【答案】
D
【知识点】
比例的性质，参数法求比值
【点评】
本题属于比例计算的基础题，重点考查等比条件的处理方法，设公共参数的技巧在比例类计算中应用非常广泛，熟练掌握可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
遇到题目中给出多个比值相等的条件时，可引入公共参数将所有相关量用同一个参数表示，后续计算比值时参数会自动消去，从而快速得到结果。本题先根据题意写出a、b、c对应的等比关系，设公共参数为k，分别用k表示a、b、c的长度，再代入三条线段的和与b的比中计算即可。
【解析】
由题意得$\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}$，
设$\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}=k$（$k≠0$，线段长度为正数），则$a=2k$，$b=4k$，$c=6k$，
所以$\frac{a+b+c}{b}=\frac{2k+4k+6k}{4k}=\frac{12k}{4k}=3$，即三条线段的和与b的比为3:1，故选D。
【答案】
D
【知识点】
比例的性质，参数法求比值
【点评】
本题属于比例计算的基础题，重点考查等比条件的处理方法，设公共参数的技巧在比例类计算中应用非常广泛，熟练掌握可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
3. ★★ 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（
A.$a=1,b=2,c=3,d=4$
B.$a=1,b=\sqrt{2},c=\sqrt{3},d=\sqrt{6}$
C.$a=5,b=6,c=7,d=8$
D.$a=4,b=6,c=6,d=8$
B
）A.$a=1,b=2,c=3,d=4$
B.$a=1,b=\sqrt{2},c=\sqrt{3},d=\sqrt{6}$
C.$a=5,b=6,c=7,d=8$
D.$a=4,b=6,c=6,d=8$
答案
3.B 解析:A. $\because 1×4≠2×3,\therefore ad≠bc,\therefore$ 四条线段不成比例,故本选项不符合题意;B. $\because 1×\sqrt{6}=\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6},\therefore ad=bc$,$\therefore$ 四条线段成比例,故本选项符合题意;C. $\because 5×8≠6×7,\therefore ad≠bc,\therefore$ 四条线段不成比例,故本选项不符合题意;D. $\because 4×8≠6×6,\therefore ad≠bc,\therefore$ 四条线段不成比例,故本选项不符合题意.故选 B.
解析
【分析】
要判断四条线段是否为成比例线段，首先明确判定方法：先将四条线段的长度按从小到大的顺序排列，若最小长度与最大长度的乘积等于中间两个长度的乘积，则这四条线段是成比例线段。接下来按照该方法逐一验证每个选项即可。
【解析】
判断成比例线段可通过“外项积等于内项积”的规律验证，即排序后最小×最大=中间两数乘积：
A. 四条线段排序为1,2,3,4，$\because 1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，$\therefore$ 四条线段不成比例，不符合题意；
B. 四条线段排序为$1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$，$\because 1×\sqrt{6}=\sqrt{6}$，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，乘积相等，$\therefore$ 四条线段成比例，符合题意；
C. 四条线段排序为5,6,7,8，$\because 5×8=40$，$6×7=42$，$40≠42$，$\therefore$ 四条线段不成比例，不符合题意；
D. 四条线段排序为4,6,6,8，$\because 4×8=32$，$6×6=36$，$32≠36$，$\therefore$ 四条线段不成比例，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
成比例线段的判定；二次根式的乘法运算
【点评】
本题是成比例线段判定的基础题型，采用乘积法验证比直接计算比值更加简便，解题时注意先将线段长度排序再验证，可避免因顺序问题判断失误。
【难度系数】
0.8
要判断四条线段是否为成比例线段，首先明确判定方法：先将四条线段的长度按从小到大的顺序排列，若最小长度与最大长度的乘积等于中间两个长度的乘积，则这四条线段是成比例线段。接下来按照该方法逐一验证每个选项即可。
【解析】
判断成比例线段可通过“外项积等于内项积”的规律验证，即排序后最小×最大=中间两数乘积：
A. 四条线段排序为1,2,3,4，$\because 1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，$\therefore$ 四条线段不成比例，不符合题意；
B. 四条线段排序为$1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$，$\because 1×\sqrt{6}=\sqrt{6}$，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，乘积相等，$\therefore$ 四条线段成比例，符合题意；
C. 四条线段排序为5,6,7,8，$\because 5×8=40$，$6×7=42$，$40≠42$，$\therefore$ 四条线段不成比例，不符合题意；
D. 四条线段排序为4,6,6,8，$\because 4×8=32$，$6×6=36$，$32≠36$，$\therefore$ 四条线段不成比例，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
成比例线段的判定；二次根式的乘法运算
【点评】
本题是成比例线段判定的基础题型，采用乘积法验证比直接计算比值更加简便，解题时注意先将线段长度排序再验证，可避免因顺序问题判断失误。
【难度系数】
0.8
4. 已知四条线段的长度分别为$x,2,6,x+1$,且它们是成比例线段,则$x$的值为
3
.答案
4.3 解析:根据题意得$x:2=6:(x+1)$,即$x(x+1)=2×6$,解得$x_1=3,x_2=-4$(负值舍去).故答案为3.
解析
【分析】
首先回忆成比例线段的定义：四条线段按顺序排列后，若前两条线段的比等于后两条线段的比，则这四条线段是成比例线段。据此可列出对应比例式，再利用比例的基本性质将比例式转化为一元二次方程求解；最后结合线段长度为正数的隐含条件，舍去不符合题意的负根，即可得到x的取值。
【解析】
∵四条长度为$x,2,6,x+1$的线段是成比例线段
∴$\frac{x}{2}=\frac{6}{x+1}$
根据比例的基本性质，交叉相乘得：
$x(x+1)=2×6$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2+x-12=0$
因式分解得：$(x+4)(x-3)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-4$
∵线段长度为正数，即$x＞0$
∴$x=-4$不符合题意，舍去
故$x=3$
【答案】
3
【知识点】
成比例线段定义，一元二次方程求解，线段的非负性
【点评】
本题考查成比例线段的应用，属于基础题型，解题的易错点有两个：一是列比例式时弄错线段的顺序，二是忽略线段长度为正的条件，忘记舍去负根，解题时需注意规避这两类错误。
【难度系数】
0.7
首先回忆成比例线段的定义：四条线段按顺序排列后，若前两条线段的比等于后两条线段的比，则这四条线段是成比例线段。据此可列出对应比例式，再利用比例的基本性质将比例式转化为一元二次方程求解；最后结合线段长度为正数的隐含条件，舍去不符合题意的负根，即可得到x的取值。
【解析】
∵四条长度为$x,2,6,x+1$的线段是成比例线段
∴$\frac{x}{2}=\frac{6}{x+1}$
根据比例的基本性质，交叉相乘得：
$x(x+1)=2×6$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2+x-12=0$
因式分解得：$(x+4)(x-3)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-4$
∵线段长度为正数，即$x＞0$
∴$x=-4$不符合题意，舍去
故$x=3$
【答案】
3
【知识点】
成比例线段定义，一元二次方程求解，线段的非负性
【点评】
本题考查成比例线段的应用，属于基础题型，解题的易错点有两个：一是列比例式时弄错线段的顺序，二是忽略线段长度为正的条件，忘记舍去负根，解题时需注意规避这两类错误。
【难度系数】
0.7
5. |分类讨论思想 已知三条线段的长为2 cm，4 cm，8 cm，若添加一条线段能使这四条线段成比例，则添加的线段可以是
16 cm 或 4 cm 或 1 cm
。答案
5. 16 cm 或 4 cm 或 1 cm 解析:根据题意得,当$2:4=8:d$时,解得$d=16$;当$4:8=2:d$时,解得$d=4$;当$8:2=4:d$时,解得$d=1$.故答案为 16 cm 或 4 cm 或 1 cm.
解析
【分析】
本题考查成比例线段的相关计算，解题需结合分类讨论思想。首先设添加的线段长度为$x\ \mathrm{cm}$，由于题目未明确四条线段成比例的顺序，因此需要分不同的比例对应情况讨论，再根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”列方程求解，最终验证结果为正数即可。
【解析】
设添加的线段长度为$x\ \mathrm{cm}$，分以下三种情况讨论：
1. 当$2:4=8:x$时，根据比例的基本性质可得$2x=4×8$，解得$x=16$；
2. 当$2:4=x:8$时，根据比例的基本性质可得$4x=2×8$，解得$x=4$；
3. 当$2:x=8:4$时，根据比例的基本性质可得$8x=2×4$，解得$x=1$。
以上三个结果均为正数，符合线段长度的取值要求，均成立。
【答案】
$1\ \mathrm{cm}$或$4\ \mathrm{cm}$或$16\ \mathrm{cm}$
【知识点】
成比例线段，比例的基本性质，分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略成比例的多种顺序，导致漏解。解题时要注意，若题目未指定四条线段成比例的顺序，需全面梳理不同的比例对应关系，再结合比例性质计算，最终结果要符合线段长度为正的要求。
【难度系数】
0.7
本题考查成比例线段的相关计算，解题需结合分类讨论思想。首先设添加的线段长度为$x\ \mathrm{cm}$，由于题目未明确四条线段成比例的顺序，因此需要分不同的比例对应情况讨论，再根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”列方程求解，最终验证结果为正数即可。
【解析】
设添加的线段长度为$x\ \mathrm{cm}$，分以下三种情况讨论：
1. 当$2:4=8:x$时，根据比例的基本性质可得$2x=4×8$，解得$x=16$；
2. 当$2:4=x:8$时，根据比例的基本性质可得$4x=2×8$，解得$x=4$；
3. 当$2:x=8:4$时，根据比例的基本性质可得$8x=2×4$，解得$x=1$。
以上三个结果均为正数，符合线段长度的取值要求，均成立。
【答案】
$1\ \mathrm{cm}$或$4\ \mathrm{cm}$或$16\ \mathrm{cm}$
【知识点】
成比例线段，比例的基本性质，分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略成比例的多种顺序，导致漏解。解题时要注意，若题目未指定四条线段成比例的顺序，需全面梳理不同的比例对应关系，再结合比例性质计算，最终结果要符合线段长度为正的要求。
【难度系数】
0.7
6. 如图所示,有矩形$ABCD$和矩形$A'B'C'D'$,
$AB=8\ \mathrm{cm},BC=12\ \mathrm{cm},A'B'=4\ \mathrm{cm},B'C'=6\ \mathrm{cm}.$
(1)求$\frac{A'B'}{AB}$和$\frac{B'C'}{BC}.$
(2)线段$A'B',AB,B'C',BC$是成比例线段吗？
$AB=8\ \mathrm{cm},BC=12\ \mathrm{cm},A'B'=4\ \mathrm{cm},B'C'=6\ \mathrm{cm}.$
(1)求$\frac{A'B'}{AB}$和$\frac{B'C'}{BC}.$
(2)线段$A'B',AB,B'C',BC$是成比例线段吗？
答案
6. (1) $\because AB=8\ \mathrm{cm},BC=12\ \mathrm{cm},A'B'=4\ \mathrm{cm},B'C'=6\ \mathrm{cm}$,
$\therefore \frac{A'B'}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},\frac{B'C'}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
(2) 由(1)知$\frac{A'B'}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},\frac{B'C'}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2},\therefore \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$,$\therefore$ 线段$A'B',AB,B'C',BC$是成比例线段.
$\therefore \frac{A'B'}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},\frac{B'C'}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
(2) 由(1)知$\frac{A'B'}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},\frac{B'C'}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2},\therefore \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$,$\therefore$ 线段$A'B',AB,B'C',BC$是成比例线段.
解析
【分析】
(1) 计算两条线段的比值时，只需将对应线段的长度代入分式，约去公因数化简即可得到结果；(2) 判断四条线段是否为成比例线段，依据成比例线段的定义：若四条线段中两条线段的比等于另外两条线段的比，则这四条线段是成比例线段，因此只需对比第(1)问计算出的两个比值是否相等即可完成判断。
【解析】
(1) 已知$AB=8\ \mathrm{cm},BC=12\ \mathrm{cm},A'B'=4\ \mathrm{cm},B'C'=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore \frac{A'B'}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
(2) 由(1)的计算结果可得$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$，满足成比例线段的定义，
$\therefore$ 线段$A'B',AB,B'C',BC$是成比例线段。
【答案】
(1) $\frac{A'B'}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$；
(2) 线段$A'B',AB,B'C',BC$是成比例线段。
【知识点】
线段比值计算，成比例线段判定
【点评】
本题属于基础题型，主要考查线段比值的化简计算和成比例线段的判断，熟练掌握成比例线段的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
(1) 计算两条线段的比值时，只需将对应线段的长度代入分式，约去公因数化简即可得到结果；(2) 判断四条线段是否为成比例线段，依据成比例线段的定义：若四条线段中两条线段的比等于另外两条线段的比，则这四条线段是成比例线段，因此只需对比第(1)问计算出的两个比值是否相等即可完成判断。
【解析】
(1) 已知$AB=8\ \mathrm{cm},BC=12\ \mathrm{cm},A'B'=4\ \mathrm{cm},B'C'=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore \frac{A'B'}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
(2) 由(1)的计算结果可得$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$，满足成比例线段的定义，
$\therefore$ 线段$A'B',AB,B'C',BC$是成比例线段。
【答案】
(1) $\frac{A'B'}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$；
(2) 线段$A'B',AB,B'C',BC$是成比例线段。
【知识点】
线段比值计算，成比例线段判定
【点评】
本题属于基础题型，主要考查线段比值的化简计算和成比例线段的判断，熟练掌握成比例线段的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
7. 如果$a:b=10:15$，且$b$是$a$和$c$的比例中项，那么$b:c$等于（
A.$4:3$
B.$3:2$
C.$2:3$
D.$3:4$
C
）A.$4:3$
B.$3:2$
C.$2:3$
D.$3:4$
答案
7.C 解析:$\because b$是$a$和$c$的比例中项,$\therefore b^2=ac,\therefore \frac{b}{c}=\frac{a}{b}.\because a:b=10:15,\therefore \frac{b}{c}=\frac{a}{b}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$,即$b:c=2:3$.故选 C.
解析
【分析】
解题时首先抓住题干中“b是a和c的比例中项”这个关键条件，回忆比例中项的性质得到$b^2=ac$，再将该等式变形为比例式，建立$\frac{b}{c}$和$\frac{a}{b}$的等量关系，最后代入已知的$a:b$的比值化简，即可求出$b:c$的结果。
【解析】
解：$\because b$是$a$和$c$的比例中项，
$\therefore$ 根据比例中项的性质可得$b^2=ac$，
将等式变形为比例形式可得$\frac{b}{c}=\frac{a}{b}$，
已知$a:b=10:15$，即$\frac{a}{b}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$，
$\therefore \frac{b}{c}=\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，即$b:c=2:3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
比例中项，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查比例中项性质的应用，解题的关键是能正确对比例式进行变形，结合已知条件直接推导即可得出结果，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住题干中“b是a和c的比例中项”这个关键条件，回忆比例中项的性质得到$b^2=ac$，再将该等式变形为比例式，建立$\frac{b}{c}$和$\frac{a}{b}$的等量关系，最后代入已知的$a:b$的比值化简，即可求出$b:c$的结果。
【解析】
解：$\because b$是$a$和$c$的比例中项，
$\therefore$ 根据比例中项的性质可得$b^2=ac$，
将等式变形为比例形式可得$\frac{b}{c}=\frac{a}{b}$，
已知$a:b=10:15$，即$\frac{a}{b}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$，
$\therefore \frac{b}{c}=\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，即$b:c=2:3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
比例中项，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查比例中项性质的应用，解题的关键是能正确对比例式进行变形，结合已知条件直接推导即可得出结果，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
8. |分类讨论思想 如图所示，直线$y=3x+3$与x轴交于点A，与y轴交于点B.过点B作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA,OB,OP，当其中一条线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，点P的坐标为
$(\frac{1}{3},0)$或$(\sqrt{3},0)$或$(9,0)$
.答案
8. $(\frac{1}{3},0)$或$(\sqrt{3},0)$或$(9,0)$ 解析:由题意可知,直线$y=3x+3$与x轴交于点$A(-1,0)$,与y轴交于点$B(0,3)$,设$P(m,0)(m＞0)$,则$OA=1,OB=3,OP=m$.
①若以$OA$为比例中项,则$OA^2=OB· OP$,即$3m=1$,解得$m=\frac{1}{3}$,则$P_1(\frac{1}{3},0)$;
②若以$OB$为比例中项,则$OB^2=OA· OP$,即$m=9$,则$P_2(9,0)$;
③若以$OP$为比例中项,则$OP^2=OA· OB$,即$m^2=3$,解得$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$(舍去),则$P_3(\sqrt{3},0)$.故答案为$(\frac{1}{3},0)$或$(\sqrt{3},0)$或$(9,0)$.
①若以$OA$为比例中项,则$OA^2=OB· OP$,即$3m=1$,解得$m=\frac{1}{3}$,则$P_1(\frac{1}{3},0)$;
②若以$OB$为比例中项,则$OB^2=OA· OP$,即$m=9$,则$P_2(9,0)$;
③若以$OP$为比例中项,则$OP^2=OA· OB$,即$m^2=3$,解得$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$(舍去),则$P_3(\sqrt{3},0)$.故答案为$(\frac{1}{3},0)$或$(\sqrt{3},0)$或$(9,0)$.
解析
【分析】
解题第一步先根据直线解析式求出它与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；再设x轴正半轴上点P的坐标为$(m,0)$（$m＞0$），得到OP的长度为$m$。接下来根据比例中项的定义：若线段$a$是$b$、$c$的比例中项，则$a^2=b· c$，本题中三条线段都有可能作为比例中项，因此分三种情况列方程求解，最后注意$m$的取值范围是正数，舍去不符合要求的解，即可得到P点的坐标。
【解析】
首先求直线与坐标轴的交点：
对于直线$y=3x+3$，令$y=0$，得$3x+3=0$，解得$x=-1$，
∴点$A$坐标为$(-1,0)$，$OA=1$；
令$x=0$，得$y=3$，
∴点$B$坐标为$(0,3)$，$OB=3$。
设点$P$坐标为$(m,0)$，
∵$P$在$x$轴正半轴，
∴$m＞0$，$OP=m$。
分三种情况讨论：
① 若$OA$是$OB$、$OP$的比例中项，则$OA^2=OB· OP$，
代入得$1^2=3m$，解得$m=\frac{1}{3}$，此时$P$点坐标为$(\frac{1}{3},0)$；
② 若$OB$是$OA$、$OP$的比例中项，则$OB^2=OA· OP$，
代入得$3^2=1· m$，解得$m=9$，此时$P$点坐标为$(9,0)$；
③ 若$OP$是$OA$、$OB$的比例中项，则$OP^2=OA· OB$，
代入得$m^2=1×3$，解得$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$，
∵$m＞0$，
∴舍去$m=-\sqrt{3}$，此时$P$点坐标为$(\sqrt{3},0)$。
【答案】
$(\frac{1}{3},0)$或$(\sqrt{3},0)$或$(9,0)$
【知识点】
一次函数交点求解，比例中项定义，分类讨论思想
【点评】
本题是基础的代数综合题，解题的关键是明确比例中项的性质，同时要注意分类讨论所有可能的情况，结合点的位置限制舍去不合题意的解，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
解题第一步先根据直线解析式求出它与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；再设x轴正半轴上点P的坐标为$(m,0)$（$m＞0$），得到OP的长度为$m$。接下来根据比例中项的定义：若线段$a$是$b$、$c$的比例中项，则$a^2=b· c$，本题中三条线段都有可能作为比例中项，因此分三种情况列方程求解，最后注意$m$的取值范围是正数，舍去不符合要求的解，即可得到P点的坐标。
【解析】
首先求直线与坐标轴的交点：
对于直线$y=3x+3$，令$y=0$，得$3x+3=0$，解得$x=-1$，
∴点$A$坐标为$(-1,0)$，$OA=1$；
令$x=0$，得$y=3$，
∴点$B$坐标为$(0,3)$，$OB=3$。
设点$P$坐标为$(m,0)$，
∵$P$在$x$轴正半轴，
∴$m＞0$，$OP=m$。
分三种情况讨论：
① 若$OA$是$OB$、$OP$的比例中项，则$OA^2=OB· OP$，
代入得$1^2=3m$，解得$m=\frac{1}{3}$，此时$P$点坐标为$(\frac{1}{3},0)$；
② 若$OB$是$OA$、$OP$的比例中项，则$OB^2=OA· OP$，
代入得$3^2=1· m$，解得$m=9$，此时$P$点坐标为$(9,0)$；
③ 若$OP$是$OA$、$OB$的比例中项，则$OP^2=OA· OB$，
代入得$m^2=1×3$，解得$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$，
∵$m＞0$，
∴舍去$m=-\sqrt{3}$，此时$P$点坐标为$(\sqrt{3},0)$。
【答案】
$(\frac{1}{3},0)$或$(\sqrt{3},0)$或$(9,0)$
【知识点】
一次函数交点求解，比例中项定义，分类讨论思想
【点评】
本题是基础的代数综合题，解题的关键是明确比例中项的性质，同时要注意分类讨论所有可能的情况，结合点的位置限制舍去不合题意的解，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
9. |方程思想 已知线段$a,b,c$满足$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}=\frac{c}{6}$，且$a+2b+c=26$。
(1)求$a,b,c$的值；
(2)若线段$x$是线段$a,b$的比例中项，求$x$的值。
(1)求$a,b,c$的值；
(2)若线段$x$是线段$a,b$的比例中项，求$x$的值。
答案
9. (1) 设$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}=\frac{c}{6}=k(k≠0)$, 则$a=3k,b=2k,c=6k$.
$\because a+2b+c=26,\therefore 3k+2×2k+6k=26$,解得$k=2$,$\therefore a=3×2=6$,$b=2×2=4,c=6×2=12$.
(2) $\because$ 线段$x$是线段$a,b$的比例中项,$\therefore x^2=ab=6×4=24$,$\therefore x=2\sqrt{6}$(负值舍去).
$\because a+2b+c=26,\therefore 3k+2×2k+6k=26$,解得$k=2$,$\therefore a=3×2=6$,$b=2×2=4,c=6×2=12$.
(2) $\because$ 线段$x$是线段$a,b$的比例中项,$\therefore x^2=ab=6×4=24$,$\therefore x=2\sqrt{6}$(负值舍去).
解析
【分析】
(1) 遇到连等的比例式时，通常采用设参数k的方法，将a、b、c三个未知量都用含k的代数式表示，把三个未知量的问题转化为单个未知量k的问题，再代入已知的等式a+2b+c=26，即可求出k的值，进而求出a、b、c的值。
(2) 首先明确比例中项的定义：若x是a、b的比例中项，则满足$x^2=ab$，结合线段长度为正数的性质，舍去负根即可得到x的值。
【解析】
(1) 设$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}=\frac{c}{6}=k(k≠0)$，则$a=3k$，$b=2k$，$c=6k$。
将上述表达式代入$a+2b+c=26$，可得：
$3k + 2×2k + 6k = 26$
合并同类项得$13k=26$，解得$k=2$。
因此$a=3×2=6$，$b=2×2=4$，$c=6×2=12$。
(2) 因为线段x是线段a、b的比例中项，根据比例中项的定义可得：
$x^2 = ab$
将a=6，b=4代入得$x^2=6×4=24$。
由于线段长度为正数，因此舍去负根，得$x=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $a=6$，$b=4$，$c=12$；
(2) $x=2\sqrt{6}$
【知识点】
比例的性质，比例中项的定义，一元一次方程的解法
【点评】
本题是成比例线段相关的基础典型题，第一问的设参数法是解决连比类问题的常用技巧，能有效简化计算；第二问需注意线段长度的非负性，求解后要舍去不符合实际意义的负根，解题时要注意细节。
【难度系数】
0.8
(1) 遇到连等的比例式时，通常采用设参数k的方法，将a、b、c三个未知量都用含k的代数式表示，把三个未知量的问题转化为单个未知量k的问题，再代入已知的等式a+2b+c=26，即可求出k的值，进而求出a、b、c的值。
(2) 首先明确比例中项的定义：若x是a、b的比例中项，则满足$x^2=ab$，结合线段长度为正数的性质，舍去负根即可得到x的值。
【解析】
(1) 设$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}=\frac{c}{6}=k(k≠0)$，则$a=3k$，$b=2k$，$c=6k$。
将上述表达式代入$a+2b+c=26$，可得：
$3k + 2×2k + 6k = 26$
合并同类项得$13k=26$，解得$k=2$。
因此$a=3×2=6$，$b=2×2=4$，$c=6×2=12$。
(2) 因为线段x是线段a、b的比例中项，根据比例中项的定义可得：
$x^2 = ab$
将a=6，b=4代入得$x^2=6×4=24$。
由于线段长度为正数，因此舍去负根，得$x=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $a=6$，$b=4$，$c=12$；
(2) $x=2\sqrt{6}$
【知识点】
比例的性质，比例中项的定义，一元一次方程的解法
【点评】
本题是成比例线段相关的基础典型题，第一问的设参数法是解决连比类问题的常用技巧，能有效简化计算；第二问需注意线段长度的非负性，求解后要舍去不符合实际意义的负根，解题时要注意细节。
【难度系数】
0.8
