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1. 已知$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}(x≠0)$，则下面结论成立的是（
A.$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$
B.$y:x=3:2$
C.$2x=3y$
D.$\frac{x}{2}=\frac{3}{y}$
C
）A.$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$
B.$y:x=3:2$
C.$2x=3y$
D.$\frac{x}{2}=\frac{3}{y}$
答案
∵ $\frac{x}{3}=\frac{y}{2}(x≠0),\therefore \frac{x}{y}=\frac{3}{2}$,故 A 错误;$y:x=2:3$,故 B 错误;$2x=3y$,故 C 正确;$\frac{x}{2}=\frac{3y}{4}$,故 D 错误.故选 C.
解析
【分析】
本题考查比例性质的应用，解题可采用两种思路：一是利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，对已知比例式和各选项的比例式变形，逐一比对判断正误；二是用设参数法，设$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}=k$，用含k的式子表示x、y后代入选项验证，优先使用交叉相乘的方法计算更快捷。
【解析】
已知$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}(x≠0)$，根据比例的基本性质交叉相乘可得：$2x=3y$，据此逐一判断选项：
A. 由$2x=3y$，两边同时除以$2y$（y≠0，若y=0则x=0，与题设矛盾），得$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$，故A错误；
B. 由$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$可得$y:x=2:3$，故B错误；
C. 由比例基本性质交叉相乘直接得到$2x=3y$，故C正确；
D. 由$2x=3y$可得$x=\frac{3y}{2}$，两边同时除以2得$\frac{x}{2}=\frac{3y}{4}$，与$\frac{x}{2}=\frac{3}{y}$不相等，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质，比例式变形
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，核心考查对比例基本性质的理解和灵活变形能力，掌握“两内项之积等于两外项之积”是解决这类问题的核心技巧，变形时注意分母不为0的隐含条件即可。
【难度系数】
0.85
本题考查比例性质的应用，解题可采用两种思路：一是利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，对已知比例式和各选项的比例式变形，逐一比对判断正误；二是用设参数法，设$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}=k$，用含k的式子表示x、y后代入选项验证，优先使用交叉相乘的方法计算更快捷。
【解析】
已知$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}(x≠0)$，根据比例的基本性质交叉相乘可得：$2x=3y$，据此逐一判断选项：
A. 由$2x=3y$，两边同时除以$2y$（y≠0，若y=0则x=0，与题设矛盾），得$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$，故A错误；
B. 由$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$可得$y:x=2:3$，故B错误；
C. 由比例基本性质交叉相乘直接得到$2x=3y$，故C正确；
D. 由$2x=3y$可得$x=\frac{3y}{2}$，两边同时除以2得$\frac{x}{2}=\frac{3y}{4}$，与$\frac{x}{2}=\frac{3}{y}$不相等，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质，比例式变形
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，核心考查对比例基本性质的理解和灵活变形能力，掌握“两内项之积等于两外项之积”是解决这类问题的核心技巧，变形时注意分母不为0的隐含条件即可。
【难度系数】
0.85
2. 若$\frac{x}{2}=\frac{y}{5}$，则$\frac{2x+y}{x}=$（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{12}{5}$
C.$\frac{9}{5}$
D.$\frac{9}{2}$
D
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{12}{5}$
C.$\frac{9}{5}$
D.$\frac{9}{2}$
答案
∵ $\frac{x}{2}=\frac{y}{5},\therefore \frac{y}{x}=\frac{5}{2},\therefore \frac{2x+y}{x}=2+\frac{y}{x}=2+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}$.故选 D.
解析
【分析】
本题已知x与y的比例关系，求分式的值，可按以下思路求解：首先利用比例的基本性质，由已知的$\frac{x}{2}=\frac{y}{5}$推导出$\frac{y}{x}$的比值；再将待求的分式$\frac{2x+y}{x}$拆分为常数项与$\frac{y}{x}$的和，最后代入比值计算即可。也可以采用参数法，设x=2k、y=5k（k≠0），直接代入待求分式消去参数得到结果，两种方法核心都是通过比例关系实现消元。
【解析】
解：
∵ $\frac{x}{2}=\frac{y}{5}$，根据比例的基本性质交叉相乘可得$5x=2y$，
∴ $\frac{y}{x}=\frac{5}{2}$，
对待求式拆分化简：$\frac{2x+y}{x}=\frac{2x}{x}+\frac{y}{x}=2+\frac{y}{x}$，
将$\frac{y}{x}=\frac{5}{2}$代入上式得：原式$=2+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质，分式化简求值
【点评】
本题是比例章节的常规基础题，解题关键是灵活转化已知比例式，得到两个未知量的比值，或者用参数法代入消元求解，掌握比例的基本性质就能轻松作答。
【难度系数】
0.8
本题已知x与y的比例关系，求分式的值，可按以下思路求解：首先利用比例的基本性质，由已知的$\frac{x}{2}=\frac{y}{5}$推导出$\frac{y}{x}$的比值；再将待求的分式$\frac{2x+y}{x}$拆分为常数项与$\frac{y}{x}$的和，最后代入比值计算即可。也可以采用参数法，设x=2k、y=5k（k≠0），直接代入待求分式消去参数得到结果，两种方法核心都是通过比例关系实现消元。
【解析】
解：
∵ $\frac{x}{2}=\frac{y}{5}$，根据比例的基本性质交叉相乘可得$5x=2y$，
∴ $\frac{y}{x}=\frac{5}{2}$，
对待求式拆分化简：$\frac{2x+y}{x}=\frac{2x}{x}+\frac{y}{x}=2+\frac{y}{x}$，
将$\frac{y}{x}=\frac{5}{2}$代入上式得：原式$=2+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质，分式化简求值
【点评】
本题是比例章节的常规基础题，解题关键是灵活转化已知比例式，得到两个未知量的比值，或者用参数法代入消元求解，掌握比例的基本性质就能轻松作答。
【难度系数】
0.8
3. ★★ (1)(甘孜中考)若$\frac{x}{y}=2$，则$\frac{x-y}{y}=$
(2)已知$\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$，则$\frac{a+b}{a-b}$的值是
1
.(2)已知$\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$，则$\frac{a+b}{a-b}$的值是
-2
.答案
(1)
∵ $\frac{x}{y}=2,\therefore \frac{x-y}{y}=\frac{x}{y}-1=2-1=1$.
(2)
∵ $\frac{a}{b}=\frac{1}{3},\therefore b=3a,\therefore \frac{a+b}{a-b}=\frac{a+3a}{a-3a}=-2$.
∵ $\frac{x}{y}=2,\therefore \frac{x-y}{y}=\frac{x}{y}-1=2-1=1$.
(2)
∵ $\frac{a}{b}=\frac{1}{3},\therefore b=3a,\therefore \frac{a+b}{a-b}=\frac{a+3a}{a-3a}=-2$.
解析
【分析】
第(1)题：已知$\frac{x}{y}=2$，可利用分式的拆分性质，将所求分式$\frac{x-y}{y}$拆分为$\frac{x}{y}-\frac{y}{y}$，也就是$\frac{x}{y}-1$，直接代入已知比值即可快速计算；也可通过设参数的方法，设$x=2k$、$y=k$（$k≠0$），代入式子化简求值。
第(2)题：已知$\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$，可先将$b$用含$a$的式子表示为$b=3a$，再代入所求分式，分子分母合并同类项后约分即可得到结果；也可设$a=k$、$b=3k$（$k≠0$），代入式子化简求解。
【解析】
(1) $\because \frac{x}{y}=2$，
$\therefore \frac{x-y}{y}=\frac{x}{y}-\frac{y}{y}=\frac{x}{y}-1=2-1=1$。
(2) $\because \frac{a}{b}=\frac{1}{3}$，
$\therefore b=3a$，
将$b=3a$代入$\frac{a+b}{a-b}$得：
$\frac{a+b}{a-b}=\frac{a+3a}{a-3a}=\frac{4a}{-2a}=-2$（$a≠0$，可约去公因式）。
【答案】
(1)$1$；(2)$-2$
【知识点】
比例的基本性质，分式化简求值
【点评】
这两道题是比例计算的基础题型，常用解题方法包括分式拆分、代入消元、设参数法，灵活选择方法即可快速求解，计算时需注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
第(1)题：已知$\frac{x}{y}=2$，可利用分式的拆分性质，将所求分式$\frac{x-y}{y}$拆分为$\frac{x}{y}-\frac{y}{y}$，也就是$\frac{x}{y}-1$，直接代入已知比值即可快速计算；也可通过设参数的方法，设$x=2k$、$y=k$（$k≠0$），代入式子化简求值。
第(2)题：已知$\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$，可先将$b$用含$a$的式子表示为$b=3a$，再代入所求分式，分子分母合并同类项后约分即可得到结果；也可设$a=k$、$b=3k$（$k≠0$），代入式子化简求解。
【解析】
(1) $\because \frac{x}{y}=2$，
$\therefore \frac{x-y}{y}=\frac{x}{y}-\frac{y}{y}=\frac{x}{y}-1=2-1=1$。
(2) $\because \frac{a}{b}=\frac{1}{3}$，
$\therefore b=3a$，
将$b=3a$代入$\frac{a+b}{a-b}$得：
$\frac{a+b}{a-b}=\frac{a+3a}{a-3a}=\frac{4a}{-2a}=-2$（$a≠0$，可约去公因式）。
【答案】
(1)$1$；(2)$-2$
【知识点】
比例的基本性质，分式化简求值
【点评】
这两道题是比例计算的基础题型，常用解题方法包括分式拆分、代入消元、设参数法，灵活选择方法即可快速求解，计算时需注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
4. (1)已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=4$，且$b+d+f≠0$，$a+c+e=8$，则$b+d+f=$
(2)如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k(b+d+f≠0)$，且$a+c+e=3(b+d+f)$，那么$k=$
2
.(2)如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k(b+d+f≠0)$，且$a+c+e=3(b+d+f)$，那么$k=$
3
.答案
(1)
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=4$,且 $a+c+e=8,\therefore b+d+f=2$.
(2)
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=k$,且 $a+c+e=3(b+d+f),\therefore k=3$.
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=4$,且 $a+c+e=8,\therefore b+d+f=2$.
(2)
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=k$,且 $a+c+e=3(b+d+f),\therefore k=3$.
解析
【分析】
这两道题均考查等比性质的应用，解题思路如下：①首先回忆等比性质：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$，且$b+d+f≠0$，则$\frac{a+c+e}{b+d+f}=k$；②第(1)题已知比值和分子的总和，将数据代入等比性质公式，即可求出分母的总和；③第(2)题已知分子总和与分母总和的数量关系，代入等比性质公式即可求出比值$k$。
【解析】
(1) 根据等比性质可得：
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=4$，
将$a+c+e=8$代入上式，得$\frac{8}{b+d+f}=4$，
解得$b+d+f=8÷4=2$。
(2) 根据等比性质可得：
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=k$，
将$a+c+e=3(b+d+f)$代入上式，得$k=\frac{3(b+d+f)}{b+d+f}$，
已知$b+d+f≠0$，约分后得$k=3$。
【答案】
(1)2；(2)3
【知识点】
等比性质
【点评】
本题属于等比性质的基础应用题型，解题的关键是牢记等比性质的适用前提是所有分母的和不为0，直接代入对应条件计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这两道题均考查等比性质的应用，解题思路如下：①首先回忆等比性质：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$，且$b+d+f≠0$，则$\frac{a+c+e}{b+d+f}=k$；②第(1)题已知比值和分子的总和，将数据代入等比性质公式，即可求出分母的总和；③第(2)题已知分子总和与分母总和的数量关系，代入等比性质公式即可求出比值$k$。
【解析】
(1) 根据等比性质可得：
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=4$，
将$a+c+e=8$代入上式，得$\frac{8}{b+d+f}=4$，
解得$b+d+f=8÷4=2$。
(2) 根据等比性质可得：
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=k$，
将$a+c+e=3(b+d+f)$代入上式，得$k=\frac{3(b+d+f)}{b+d+f}$，
已知$b+d+f≠0$，约分后得$k=3$。
【答案】
(1)2；(2)3
【知识点】
等比性质
【点评】
本题属于等比性质的基础应用题型，解题的关键是牢记等比性质的适用前提是所有分母的和不为0，直接代入对应条件计算即可得分。
【难度系数】
0.8
5. 在四边形$ABCD$和四边形$A'B'C'D'$中，
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}=\frac{2}{3}$，且这两个四边形的周长之和为70，求这两个四边形的周长分别是多少。
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}=\frac{2}{3}$，且这两个四边形的周长之和为70，求这两个四边形的周长分别是多少。
答案
∵ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}=\frac{2}{3},\therefore \frac{AB+BC+CD+DA}{A'B'+B'C'+C'D'+D'A'}=\frac{2}{3}$.设四边形 $ABCD$ 的周长为 $C$,则四边形 $A'B'C'D'$ 的周长为 $70-C$,则$\frac{C}{70-C}=\frac{2}{3}$,解得 $C=28,\therefore 70-C=70-28=42$.故四边形 $ABCD$ 的周长为 28,四边形 $A'B'C'D'$ 的周长为 42.
解析
【分析】
首先观察题目给出的条件，两个四边形的四组对应边的比值均为$\frac{2}{3}$，根据等比性质，多个相等比的前项之和与后项之和的比等于原比值，因此可推出两个四边形的周长比等于对应边的比$\frac{2}{3}$。再结合两个四边形周长之和为70的条件，设其中一个四边形的周长为未知数，根据周长比列比例方程求解即可。
【解析】
∵ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}=\frac{2}{3}$，由等比性质可得：
$\frac{AB+BC+CD+DA}{A'B'+B'C'+C'D'+D'A'}=\frac{2}{3}$，即两个四边形的周长比为$\frac{2}{3}$。
设四边形$ABCD$的周长为$C$，则四边形$A'B'C'D'$的周长为$70-C$，代入周长比得：
$\frac{C}{70-C}=\frac{2}{3}$
交叉相乘得$3C=2(70-C)$，
展开整理得$5C=140$，
解得$C=28$，
则四边形$A'B'C'D'$的周长为$70-28=42$。
【答案】
四边形$ABCD$的周长为28，四边形$A'B'C'D'$的周长为42。
【知识点】
1.等比性质 2.比例方程求解
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，解题关键是通过等比性质将边长比转化为周长比，再结合周长和的条件建立方程求解，计算难度较低，掌握等比性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
首先观察题目给出的条件，两个四边形的四组对应边的比值均为$\frac{2}{3}$，根据等比性质，多个相等比的前项之和与后项之和的比等于原比值，因此可推出两个四边形的周长比等于对应边的比$\frac{2}{3}$。再结合两个四边形周长之和为70的条件，设其中一个四边形的周长为未知数，根据周长比列比例方程求解即可。
【解析】
∵ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}=\frac{2}{3}$，由等比性质可得：
$\frac{AB+BC+CD+DA}{A'B'+B'C'+C'D'+D'A'}=\frac{2}{3}$，即两个四边形的周长比为$\frac{2}{3}$。
设四边形$ABCD$的周长为$C$，则四边形$A'B'C'D'$的周长为$70-C$，代入周长比得：
$\frac{C}{70-C}=\frac{2}{3}$
交叉相乘得$3C=2(70-C)$，
展开整理得$5C=140$，
解得$C=28$，
则四边形$A'B'C'D'$的周长为$70-28=42$。
【答案】
四边形$ABCD$的周长为28，四边形$A'B'C'D'$的周长为42。
【知识点】
1.等比性质 2.比例方程求解
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，解题关键是通过等比性质将边长比转化为周长比，再结合周长和的条件建立方程求解，计算难度较低，掌握等比性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
6. 在比例尺是1：40 000的地图上，若某条道路长约为5 cm，则它的实际长度约为（
A.0.2 km
B.2 km
C.20 km
D.200 km
B
）A.0.2 km
B.2 km
C.20 km
D.200 km
答案
$5×40\ 000=200\ 000(\mathrm{cm})=2\ \mathrm{km}$.故选 B.
解析
【分析】
解题时首先明确比例尺的含义：比例尺=图上距离:实际距离，由此可推导得出实际距离=图上距离×比例尺的后项。计算得出以厘米为单位的实际长度后，再根据长度单位的换算规则将单位转换为千米，对应选项即可得到答案。
【解析】
比例尺为1:40000的含义是：图上1cm代表实际长度40000cm。
已知图上道路长约5cm，则实际长度为：
$5×40000=200000(\mathrm{cm})$
结合长度单位换算关系$1\mathrm{km}=100000\mathrm{cm}$，可得：
$200000\mathrm{cm}=200000÷100000=2\mathrm{km}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
比例尺的应用、长度单位换算
【点评】
本题属于基础题，主要考查比例尺概念的实际运用，解题的易错点为长度单位换算错误，计算时注意单位转换的进率即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确比例尺的含义：比例尺=图上距离:实际距离，由此可推导得出实际距离=图上距离×比例尺的后项。计算得出以厘米为单位的实际长度后，再根据长度单位的换算规则将单位转换为千米，对应选项即可得到答案。
【解析】
比例尺为1:40000的含义是：图上1cm代表实际长度40000cm。
已知图上道路长约5cm，则实际长度为：
$5×40000=200000(\mathrm{cm})$
结合长度单位换算关系$1\mathrm{km}=100000\mathrm{cm}$，可得：
$200000\mathrm{cm}=200000÷100000=2\mathrm{km}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
比例尺的应用、长度单位换算
【点评】
本题属于基础题，主要考查比例尺概念的实际运用，解题的易错点为长度单位换算错误，计算时注意单位转换的进率即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
7. ★★ 两地的实际距离是1 200千米,在地图上量得这两地的距离为2厘米,则这幅地图的比例尺是
1 : 60 000 000
.答案
1 200 千米 = 120 000 000 厘米,$2:120\ 000\ 000=1:60\ 000\ 000$.
解析
【分析】
解题时首先要明确比例尺的核心计算公式：比例尺=图上距离:实际距离。由于本题中图上距离和实际距离单位不统一，不能直接计算比值，因此第一步需要先将实际距离的单位从千米换算为厘米，保证二者单位一致，再代入公式将比化简为前项是1的最简整数比，即可得到所求比例尺。
【解析】
解：先统一长度单位：
∵1千米=100000厘米，
∴1200千米=1200×100000=120000000厘米。
根据比例尺的定义列式：
比例尺=图上距离:实际距离=2:120000000，
将比的前后项同时除以2化简，得1:60000000。
【答案】
$1:60\ 000\ 000$
【知识点】
比例尺的概念、长度单位换算、比的化简
【点评】
本题是比例尺计算的基础题型，核心易错点为长度单位换算时易漏算进率导致结果错误，解题时牢记先统一单位再代入公式计算的步骤即可准确作答。
【难度系数】
0.75
解题时首先要明确比例尺的核心计算公式：比例尺=图上距离:实际距离。由于本题中图上距离和实际距离单位不统一，不能直接计算比值，因此第一步需要先将实际距离的单位从千米换算为厘米，保证二者单位一致，再代入公式将比化简为前项是1的最简整数比，即可得到所求比例尺。
【解析】
解：先统一长度单位：
∵1千米=100000厘米，
∴1200千米=1200×100000=120000000厘米。
根据比例尺的定义列式：
比例尺=图上距离:实际距离=2:120000000，
将比的前后项同时除以2化简，得1:60000000。
【答案】
$1:60\ 000\ 000$
【知识点】
比例尺的概念、长度单位换算、比的化简
【点评】
本题是比例尺计算的基础题型，核心易错点为长度单位换算时易漏算进率导致结果错误，解题时牢记先统一单位再代入公式计算的步骤即可准确作答。
【难度系数】
0.75
8. ★★ 已知 C 为线段 AB 的黄金分割点, 且 AC＜BC, 则 (
A.$AC^2 = AB · BC$
B.$AB^2 = AC · BC$
C.$BC^2 = AC · AB$
D.$AC^2 + BC^2 = AB^2$
C
)A.$AC^2 = AB · BC$
B.$AB^2 = AC · BC$
C.$BC^2 = AC · AB$
D.$AC^2 + BC^2 = AB^2$
答案
∵ $C$ 是线段 $AB$ 的黄金分割点$(AC＜BC),\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{AB}{BC}$,即 $BC^2 = AC · AB$.故选 C.
解析
【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，若较长线段与整条线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，这个点就是这条线段的黄金分割点。本题已知AC＜BC，可判断BC是较长线段，AC是较短线段，AB是线段总长，结合黄金分割的比例关系交叉相乘得到等式，再匹配选项即可。
【解析】
∵ C是线段AB的黄金分割点，且$AC＜BC$，即BC为较长线段，AC为较短线段，
根据黄金分割的定义可得：$\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{BC}$，
交叉相乘得：$BC^2 = AC · AB$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割的定义，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是先根据线段长度关系确定较长线段，再对应黄金分割的比例关系推导即可，易错点是容易混淆较长段、较短线段和总线段的比例对应关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，若较长线段与整条线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，这个点就是这条线段的黄金分割点。本题已知AC＜BC，可判断BC是较长线段，AC是较短线段，AB是线段总长，结合黄金分割的比例关系交叉相乘得到等式，再匹配选项即可。
【解析】
∵ C是线段AB的黄金分割点，且$AC＜BC$，即BC为较长线段，AC为较短线段，
根据黄金分割的定义可得：$\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{BC}$，
交叉相乘得：$BC^2 = AC · AB$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割的定义，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是先根据线段长度关系确定较长线段，再对应黄金分割的比例关系推导即可，易错点是容易混淆较长段、较短线段和总线段的比例对应关系。
【难度系数】
0.7
9. | 易错题 线段AB=2 cm,点C为线段AB的黄金分割点,则AC=
$(\sqrt{5}-1)$或$(3-\sqrt{5})$
cm.答案
注意存在两种情况,$AC＞BC$ 或 $AC＜BC$,根据黄金分割比得 $AC=(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$ 或 $AC=(3-\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，该比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。由于题目未明确AC是较长线段还是较短线段，因此需要分两种情况讨论计算，避免漏解。第一步先确定两种分类情形，第二步分别结合黄金分割比计算对应AC的长度即可。
【解析】
已知线段AB=2cm，点C是AB的黄金分割点，分两种情况讨论：
1. 当$AC＞BC$时，AC为较长线段，根据黄金分割的比例关系：
$AC = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
代入AB=2cm，得：
$AC = 2 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \sqrt{5}-1$（cm）
2. 当$AC＜BC$时，BC为较长线段，先计算BC的长度：
$BC = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \sqrt{5}-1$（cm）
再根据线段和差关系计算AC：
$AC = AB - BC = 2 - (\sqrt{5}-1) = 3-\sqrt{5}$（cm）
【答案】
$\sqrt{5}-1$或$3-\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割的定义；分类讨论思想；线段和差计算
【点评】
本题是易错题，解题时需注意当题目未指明黄金分割得到的较长线段对应哪一部分时，一定要分两种情况讨论，避免因漏算其中一种情况失分。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，该比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。由于题目未明确AC是较长线段还是较短线段，因此需要分两种情况讨论计算，避免漏解。第一步先确定两种分类情形，第二步分别结合黄金分割比计算对应AC的长度即可。
【解析】
已知线段AB=2cm，点C是AB的黄金分割点，分两种情况讨论：
1. 当$AC＞BC$时，AC为较长线段，根据黄金分割的比例关系：
$AC = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
代入AB=2cm，得：
$AC = 2 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \sqrt{5}-1$（cm）
2. 当$AC＜BC$时，BC为较长线段，先计算BC的长度：
$BC = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \sqrt{5}-1$（cm）
再根据线段和差关系计算AC：
$AC = AB - BC = 2 - (\sqrt{5}-1) = 3-\sqrt{5}$（cm）
【答案】
$\sqrt{5}-1$或$3-\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割的定义；分类讨论思想；线段和差计算
【点评】
本题是易错题，解题时需注意当题目未指明黄金分割得到的较长线段对应哪一部分时，一定要分两种情况讨论，避免因漏算其中一种情况失分。
【难度系数】
0.6
10. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例,是自然界最美的鬼斧神工.如图,P是AB的黄金分割点(AP＞BP),若线段AB的长为10 cm,则AP的长为
$(5\sqrt{5}-5)$
cm.答案
∵ $P$ 是 $AB$ 的黄金分割点$(AP＞BP),AB=10\ \mathrm{cm},\therefore \frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,即$\frac{AP}{10}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,解得 $AP=(5\sqrt{5}-5)\ \mathrm{cm}$.故答案为$(5\sqrt{5}-5)$.
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：若点P将线段AB分为AP和BP两段（AP＞BP），且AP与AB的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则P是AB的黄金分割点。本题已知AB的长度，且P是AB的黄金分割点（AP＞BP），AP为较长线段，因此只需用AB的长度乘以黄金比即可求出AP的长度。
【解析】
解：
∵$P$是$AB$的黄金分割点，且$AP＞BP$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
将$AB=10$代入得：$\frac{AP}{10}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
解得 $AP=10×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=5\sqrt{5}-5$（cm）。
【答案】
$5\sqrt{5}-5$
【知识点】
黄金分割的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对黄金分割定义的理解，解题核心是明确黄金分割中较长线段与原线段的比值为固定的黄金比，牢记黄金比的数值即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先回忆黄金分割的定义：若点P将线段AB分为AP和BP两段（AP＞BP），且AP与AB的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则P是AB的黄金分割点。本题已知AB的长度，且P是AB的黄金分割点（AP＞BP），AP为较长线段，因此只需用AB的长度乘以黄金比即可求出AP的长度。
【解析】
解：
∵$P$是$AB$的黄金分割点，且$AP＞BP$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
将$AB=10$代入得：$\frac{AP}{10}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
解得 $AP=10×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=5\sqrt{5}-5$（cm）。
【答案】
$5\sqrt{5}-5$
【知识点】
黄金分割的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对黄金分割定义的理解，解题核心是明确黄金分割中较长线段与原线段的比值为固定的黄金比，牢记黄金比的数值即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11. ★★★ 如图，C是线段AB的黄金分割点，BC＞AC，D，E分别是AC，BC的中点.
(1)若线段AB的长为10 cm，请你求出线段CE的长.
(2)C是线段DE的黄金分割点吗？请说明理由.
(1)若线段AB的长为10 cm，请你求出线段CE的长.
(2)C是线段DE的黄金分割点吗？请说明理由.
答案
(1)
∵ $BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=5(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$,且 $E$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore CE=\frac{5\sqrt{5}-5}{2}\ \mathrm{cm}$.
(2)是,理由:
∵ $C$ 是线段 $AB$ 的黄金分割点,$\therefore BC^2=AC·AB$.
∵ $D,E$ 分别是 $AC,BC$ 的中点,$\therefore CD=\frac{1}{2}AC,CE=\frac{1}{2}BC,DE=\frac{1}{2}AB,\therefore CE^2=CD·DE,\therefore C$ 是线段 $DE$ 的黄金分割点.
∵ $BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=5(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$,且 $E$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore CE=\frac{5\sqrt{5}-5}{2}\ \mathrm{cm}$.
(2)是,理由:
∵ $C$ 是线段 $AB$ 的黄金分割点,$\therefore BC^2=AC·AB$.
∵ $D,E$ 分别是 $AC,BC$ 的中点,$\therefore CD=\frac{1}{2}AC,CE=\frac{1}{2}BC,DE=\frac{1}{2}AB,\therefore CE^2=CD·DE,\therefore C$ 是线段 $DE$ 的黄金分割点.
解析
【分析】
(1) 要求CE的长，首先CE是BC的一半，因此先求BC的长度。已知C是AB的黄金分割点且BC＞AC，根据黄金分割的定义，较长线段BC的长度为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，代入AB=10cm求出BC后，再利用E是BC中点的性质，即可求出CE的长度。
(2) 要判断C是否为DE的黄金分割点，只需验证是否满足较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积。结合D、E是AC、BC中点的性质，将DE、CD、CE分别转化为AB、AC、BC对应的一半，再利用原线段AB的黄金分割关系推导，即可得到结论。
【解析】
(1) 解：
∵ C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，AB=10cm，
∴ $BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×10=5(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
又
∵ E是BC的中点，
∴ $CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×5(\sqrt{5}-1)=\frac{5\sqrt{5}-5}{2}\ \mathrm{cm}$。
(2) 解：C是线段DE的黄金分割点，理由如下：
∵ C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴ $BC^2=AC· AB$，
∵ D，E分别是AC，BC的中点，
∴ $CD=\frac{1}{2}AC$，$CE=\frac{1}{2}BC$，$DE=CD+CE=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB$，
对$BC^2=AC· AB$两边同时乘$\frac{1}{4}$，可得：
$(\frac{1}{2}BC)^2=\frac{1}{2}AC· \frac{1}{2}AB$，即$CE^2=CD· DE$，
且由BC＞AC可得CE＞CD，符合黄金分割的定义，
∴ C是线段DE的黄金分割点。
【答案】
(1) $\frac{5\sqrt{5}-5}{2}\ \mathrm{cm}$
(2) 是，理由见解析。
【知识点】
黄金分割的定义；线段中点的性质
【点评】
本题围绕黄金分割的性质与判定展开，结合线段中点的性质考查线段的计算与比例关系的推导，解题时要牢记黄金分割的线段比例特征，合理利用中点性质完成线段的等量转化即可解决问题。
【难度系数】
0.6
(1) 要求CE的长，首先CE是BC的一半，因此先求BC的长度。已知C是AB的黄金分割点且BC＞AC，根据黄金分割的定义，较长线段BC的长度为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，代入AB=10cm求出BC后，再利用E是BC中点的性质，即可求出CE的长度。
(2) 要判断C是否为DE的黄金分割点，只需验证是否满足较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积。结合D、E是AC、BC中点的性质，将DE、CD、CE分别转化为AB、AC、BC对应的一半，再利用原线段AB的黄金分割关系推导，即可得到结论。
【解析】
(1) 解：
∵ C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，AB=10cm，
∴ $BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×10=5(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
又
∵ E是BC的中点，
∴ $CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×5(\sqrt{5}-1)=\frac{5\sqrt{5}-5}{2}\ \mathrm{cm}$。
(2) 解：C是线段DE的黄金分割点，理由如下：
∵ C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴ $BC^2=AC· AB$，
∵ D，E分别是AC，BC的中点，
∴ $CD=\frac{1}{2}AC$，$CE=\frac{1}{2}BC$，$DE=CD+CE=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB$，
对$BC^2=AC· AB$两边同时乘$\frac{1}{4}$，可得：
$(\frac{1}{2}BC)^2=\frac{1}{2}AC· \frac{1}{2}AB$，即$CE^2=CD· DE$，
且由BC＞AC可得CE＞CD，符合黄金分割的定义，
∴ C是线段DE的黄金分割点。
【答案】
(1) $\frac{5\sqrt{5}-5}{2}\ \mathrm{cm}$
(2) 是，理由见解析。
【知识点】
黄金分割的定义；线段中点的性质
【点评】
本题围绕黄金分割的性质与判定展开，结合线段中点的性质考查线段的计算与比例关系的推导，解题时要牢记黄金分割的线段比例特征，合理利用中点性质完成线段的等量转化即可解决问题。
【难度系数】
0.6
