1. 如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OC⊥ AB$，垂足为$D$，已知$\odot O$的半径为5，$CD=1$，则$AB$的长为（）

A.3
B.6
C.8
D.10
（第1题）

1.B

【分析】
遇到过圆心的直线垂直于弦的问题，首先联想到垂径定理，可知垂足平分弦，因此求弦长AB只需求出半弦长AD再乘2即可。已知圆的半径和CD的长度，可先算出弦心距OD的长度，再连接半径OA，得到由半径OA、弦心距OD、半弦长AD组成的直角三角形，利用勾股定理求出AD，最终得到AB的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵ OC是$\odot O$的半径，$\odot O$的半径为5，
∴ $OC=OA=5$，
∵ $CD=1$，
∴ $OD=OC-CD=5-1=4$，
∵ $OC⊥ AB$，
∴ 根据垂径定理可得：$AD=BD=\frac{1}{2}AB$，且$△ ODA$为直角三角形，
在$Rt△ ODA$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
∴ $AB=2AD=2×3=6$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中求弦长的典型基础题，解题核心是构造“半径、弦心距、半弦长”组成的直角三角形，结合垂径定理和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$\odot O$中，弦$AB$，$CD$相交于点$P$，$∠ D=40°$，$∠ BPC=75°$，则$∠ C=$（）

A.$15°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$75°$

2.B

【分析】
解题时首先观察图形特征，圆中同弧所对的圆周角相等，因此可以先找到与已知∠D相等的圆周角；再结合三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，建立已知角和待求∠C的等量关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，$∠ A$和$∠ D$都是弧$BC$所对的圆周角，
∴根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ A=∠ D=40°$。
又
∵$∠ BPC$是$△ APC$的外角，
∴根据三角形外角性质，$∠ BPC=∠ A+∠ C$。
已知$∠ BPC=75°$，代入得：
$∠ C=∠ BPC - ∠ A = 75° - 40° = 35°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础计算题，解题的核心是熟练掌握圆周角定理找到相等的角，再结合三角形外角性质列式求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.85

3. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AB是$\odot O$的直径，点E在$\odot O$上.若$∠ BEC=15°$，则$∠ ADC$的度数为（）

A.$120°$
B.$115°$
C.$110°$
D.$105°$

3.D(提示:连接AC,根据圆周角定理可得$∠ CAB=∠ BEC=15°$,由AB是$\odot O$的直径,$∠ ACB=90°$,由四边形ABCD内接于$\odot O$,可得$∠ ADC+∠ ABC=180°$,即可得解)

【分析】
要求∠ADC的度数，可先利用圆内接四边形对角互补的性质，将问题转化为求∠ABC的度数。首先根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠CAB=∠BEC=15°；再结合AB是圆的直径，直径所对的圆周角为90°，可在Rt△ACB中求出∠ABC的度数；最后利用圆内接四边形的对角互补关系即可计算出∠ADC的度数。
【解析】
解：连接AC，
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，∠BEC和∠CAB均为弧BC所对的圆周角，因此$∠ CAB=∠ BEC=15°$。
2. 因为AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，所以$∠ ACB=90°$。
3. 在$Rt△ ACB$中，$∠ ABC=90°-∠ CAB=90°-15°=75°$。
4. 因为四边形ABCD内接于$\odot O$，圆内接四边形对角互补，所以$∠ ADC+∠ ABC=180°$，因此$∠ ADC=180°-75°=105°$。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 直径所对圆周角为直角
3. 圆内接四边形对角互补
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，解题核心是通过同弧对等角完成角度转化，再结合直径、圆内接四边形的性质逐步推导，熟练掌握圆的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4. 如图，已知正六边形ABCDEF的边长是5，P是对角线BE上一个动点，则PA+PF的最小值是（）

A.5
B.6
C.8
D.10

4.D(提示:易知点A关于BE的对称点为点C,连接CF交BE于点$P'$,那么有$P'A=P'C$,$P'A+P'F=P'C+P'F≥ CF$,点P为BE与CF的交点时$PA+PF$最小,根据轴对称的性质结合正六边形的性质进行解答即可)

【分析】
本题属于几何最短路径问题，核心解题思路是用“将军饮马”模型求解：首先观察到动点P在定直线BE上，求PA+PF的最小值，需先通过轴对称将两条线段转化到直线BE的同侧，再利用“两点之间线段最短”找到最小值对应的线段，最后结合正六边形的性质计算线段长度即可。第一步先找A关于BE的对称点，根据正六边形的轴对称性，BE是正六边形的对称轴，可得A的对称点为C，此时PA=PC，PA+PF就转化为PC+PF，最小值即为C、F两点间的线段长度，再计算CF的长即可得到答案。
【解析】
解：
∵正六边形ABCDEF是轴对称图形，对角线BE所在直线是它的一条对称轴
∴点A关于直线BE的对称点为点C
∴对BE上任意一点P，都有PA=PC
∴PA+PF = PC+PF
根据两点之间线段最短，PC+PF的最小值为线段CF的长度，当且仅当P为CF与BE的交点时取到最小值。
由正六边形的性质可知，CF的长度等于2倍边长，已知正六边形边长为5
∴CF=2×5=10
即PA+PF的最小值为10。
【答案】
D
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 正六边形的性质
3. 最短路径计算
【点评】
本题将正六边形的性质与最短路径模型结合考查，解题关键是利用轴对称性质将待求线段和转化为两点间的线段长度，是几何最值类的典型常考题，掌握常见最短路径模型可快速找到解题方向。
【难度系数】
0.7

5. 如图，点C，D在以AB为直径的半圆O上，OD//BC，若$\overset{\frown}{AD}$的度数为$43°$，则$\overset{\frown}{BC}$的度数为°。

5. 94

【分析】
要求$\overset{\frown}{BC}$的度数，可转化为求$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角$∠ BOC$的度数，因为弧的度数等于它所对圆心角的度数。解题思路如下：第一步，根据$\overset{\frown}{AD}$的度数直接得到其对应圆心角$∠ AOD$的度数；第二步，利用平行线的同位角相等性质，得到$∠ OBC$与$∠ AOD$的等量关系；第三步，结合圆的半径相等可得$△ OBC$是等腰三角形，两个底角相等，最后用三角形内角和求出$∠ BOC$的度数，即可得到$\overset{\frown}{BC}$的度数。
【解析】
解：$\because \overset{\frown}{AD}$的度数为$43°$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}$所对的圆心角$∠ AOD=43°$，
$\because OD// BC$，$AB$为两直线的截线，
$\therefore ∠ OBC=∠ AOD=43°$（两直线平行，同位角相等），
又$\because OB$、$OC$都是半圆$O$的半径，
$\therefore OB=OC$，即$△ OBC$为等腰三角形，
$\therefore ∠ OCB=∠ OBC=43°$，
在$△ OBC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-43°-43°=94°$，
$\because$弧的度数等于它所对圆心角的度数，
$\therefore \overset{\frown}{BC}$的度数为$94°$。
【答案】
$94$
【知识点】
弧与圆心角的关系；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是将求弧的度数转化为求对应圆心角的度数，灵活结合平行线、等腰三角形的性质即可求解。
【难度系数】
$0.7$

6. 已知圆弧所在圆的半径为 3,所对的圆心角为$30°$,这条弧的长为。

6. $\frac{1}{2}π$

【分析】
要计算圆弧的长度，首先回忆角度制下的弧长计算公式：弧长与所在圆的半径、所对圆心角的度数直接相关，公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）。本题已经直接给出圆心角$n=30°$、圆的半径$r=3$，只需将已知数值代入公式，正确约分计算即可得到结果。
【解析】
根据弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$，
将$n=30$，$r=3$代入公式可得：
$l=\frac{30×π×3}{180}$
$=\frac{90π}{180}$
$=\frac{1}{2}π$
【答案】
$\frac{1}{2}π$
【知识点】
弧长计算；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查弧长公式的直接应用，解题关键是牢记弧长公式，代入数值时注意圆心角为角度制，计算时做好约分即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

7. 如果一个扇形的弧长等于它所在圆半径的2倍，我们称这样的扇形为“完美扇形”.已知一个圆锥的侧面展开图是一个“完美扇形”，该“完美扇形”的周长等于8，那么这个圆锥的侧面积是.

7. 4

【分析】
首先理解题目给出的“完美扇形”定义：扇形的弧长等于其半径的2倍。解题时先设完美扇形的半径为R，结合扇形周长=弧长+2条半径的长度，根据题干给出的周长为8的条件，先求出扇形半径R和弧长l，再利用扇形面积公式计算即可，圆锥的侧面积就等于其侧面展开图完美扇形的面积。
【解析】
设该“完美扇形”的半径为R，
根据“完美扇形”的定义，其弧长$ l=2R $，
∵ 扇形的周长=弧长+2条半径的长度，且该扇形周长为8，
∴ $ l + 2R = 8 $，
将$ l=2R $代入得：$ 2R + 2R = 8 $，
解得$ R=2 $，
∴ 弧长$ l=2R=4 $，
圆锥的侧面积即该扇形的面积，根据扇形面积公式$ S=\frac{1}{2}lR $，
代入得$ S=\frac{1}{2}×4×2=4 $。
【答案】
4
【知识点】
扇形周长计算；扇形面积计算；圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题结合新定义考查扇形的相关计算，解题核心是准确理解新定义，明确扇形周长的构成，再代入对应公式求解即可。
【难度系数】
0.7

8. 如图，E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G。下列结论：① ∠BAD=∠CAD；② 若∠BAC=60°，则∠BEC=120°；③ BD=DE；④ 若点G为BC的中点，则BG⊥GD。其中一定正确的序号是。

8. ①②③④(提示:利用三角形内心的性质得到$∠ BAD=∠ CAD$,则可对①进行判断;直接利用三角形内心的性质对②进行判断;通过证明$∠ DEB=∠ DBE$得到$DB=DE$,对③进行判断;根据垂径定理则可对④进行判断)

【分析】
解题时先明确三角形内心是三角形三个内角角平分线的交点，再结合圆周角定理、三角形外角性质、垂径定理等知识，逐一验证4个结论是否成立：
1. 验证①：根据内心在∠BAC的角平分线上，直接判断角的关系；
2. 验证②：利用内心是角平分线交点的性质，结合三角形内角和推导∠BEC与∠BAC的数量关系，代入数值计算即可判断；
3. 验证③：通过角的等量代换证明∠DBE=∠DEB，再根据等角对等边判断线段相等；
4. 验证④：先判断D是弧BC的中点，结合G是BC中点，利用垂径定理的推论判断垂直关系。
【解析】
我们逐个分析结论：
1. 对结论①：
∵E是△ABC的内心，内心是三角形三条角平分线的交点，
∴AE平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，故①正确；
2. 对结论②：
∵E是内心，
∴BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
在△BEC中，∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-60°=120°，
∴∠BEC=180°-$\frac{1}{2}$×120°=120°，故②正确；
3. 对结论③：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
又
∵同弧CD所对的圆周角相等，
∴∠DBC=∠CAD，
结合①得∠CAD=∠BAD，
∴∠DBC=∠BAD，
∵∠DEB是△ABE的外角，
∴∠DEB=∠BAD+∠ABE，
而∠DBE=∠DBC+∠CBE，
∴∠DEB=∠DBE，
∴DB=DE，故③正确；
4. 对结论④：
由①知∠BAD=∠CAD，根据相等的圆周角所对的弧相等，得弧BD=弧CD，即D是弧BC的中点，
又
∵G是BC的中点，根据垂径定理的推论：连接弧中点和其所对弦中点的线段垂直于这条弦，
∴DG⊥BC，即BG⊥GD，故④正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
三角形内心的性质、圆周角定理、垂径定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的综合题，需要熟练运用三角形内心、圆周角、垂径定理的相关性质，通过角的等量代换、定理推论逐一验证结论，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6