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9. 如图,已知AB为$\odot O$的直径,C,D为$\odot O$上两点,且BD平分$∠ ABC$,连接CD,AC,若$∠ CDB=32°$,求$∠ ACD$的度数.
答案
9. $\because AB$为$\odot O$的直径,$∠ CDB=32°,\therefore ∠ ACB=90°.\therefore ∠ A+∠ ABC=90°$.
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ A=∠ CDB=32°.\therefore ∠ ABC=90°-∠ A=90°-32°=58°.\because BD$平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=29°.\therefore ∠ ACD=∠ ABD=29°$
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ A=∠ CDB=32°.\therefore ∠ ABC=90°-∠ A=90°-32°=58°.\because BD$平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=29°.\therefore ∠ ACD=∠ ABD=29°$
解析
【分析】
解题时可按照以下思路推导：首先，看到AB是圆的直径，先联想到直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°；其次，同弧所对的圆周角相等，弧BC对应的圆周角∠A和∠CDB相等，就能求出∠A的度数，进而在Rt△ACB中算出∠ABC的度数；再结合BD是∠ABC的角平分线，可求出∠ABD的度数；最后再次利用同弧所对圆周角相等，弧AD对应的圆周角∠ACD和∠ABD相等，即可得到所求角度。
【解析】
∵ AB为$\odot O$的直径，$∠ CDB=32°$，
∴ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ A + ∠ ABC = 90°$。
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $∠ A = ∠ CDB = 32°$，
∴ $∠ ABC = 90° - ∠ A = 90° - 32° = 58°$。
∵ BD平分$∠ ABC$，
∴ $∠ ABD = \frac{1}{2}∠ ABC = 29°$。
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AD}$，
∴ $∠ ACD = ∠ ABD = 29°$。
【答案】
$29°$
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 同弧所对圆周角相等
3. 角平分线定义
【点评】
本题属于圆的基础角度计算题，解题关键是熟练掌握圆周角的相关性质，找准相等圆周角对应的同一段弧，结合角平分线的定义即可逐步推导得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时可按照以下思路推导：首先，看到AB是圆的直径，先联想到直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°；其次，同弧所对的圆周角相等，弧BC对应的圆周角∠A和∠CDB相等，就能求出∠A的度数，进而在Rt△ACB中算出∠ABC的度数；再结合BD是∠ABC的角平分线，可求出∠ABD的度数；最后再次利用同弧所对圆周角相等，弧AD对应的圆周角∠ACD和∠ABD相等，即可得到所求角度。
【解析】
∵ AB为$\odot O$的直径，$∠ CDB=32°$，
∴ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ A + ∠ ABC = 90°$。
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $∠ A = ∠ CDB = 32°$，
∴ $∠ ABC = 90° - ∠ A = 90° - 32° = 58°$。
∵ BD平分$∠ ABC$，
∴ $∠ ABD = \frac{1}{2}∠ ABC = 29°$。
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AD}$，
∴ $∠ ACD = ∠ ABD = 29°$。
【答案】
$29°$
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 同弧所对圆周角相等
3. 角平分线定义
【点评】
本题属于圆的基础角度计算题，解题关键是熟练掌握圆周角的相关性质，找准相等圆周角对应的同一段弧，结合角平分线的定义即可逐步推导得出结果。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=50°$,以$AB$为直径的$\odot O$分别交$AC$,$BC$于点$D$,$E$,过点$B$作$\odot O$的切线,交$AC$的延长线于点$F$.
(1) 求证:$BE=CE$.
(2) 求$∠ CBF$的度数.
(3) 若$AB=12$,求$\overset{\frown}{AD}$的长.
(1) 求证:$BE=CE$.
(2) 求$∠ CBF$的度数.
(3) 若$AB=12$,求$\overset{\frown}{AD}$的长.
答案
10. (1) 如图,连接$AE$.$\because AB$是$\odot O$直径,$\therefore ∠ AEB=90°$,即$AE⊥ BC$.$\because AB=AC,\therefore BE=CE$
(2) $\because ∠ BAC=50°,AB=AC,\therefore ∠ ABC=65°$.$\because BF$是$\odot O$切线,$\therefore ∠ ABF=90°.\therefore ∠ CBF=∠ ABF-∠ ABC=25°$
(3) 连接$OD$.$\because OA=OD,∠ BAC=50°,\therefore ∠ AOD=80°$.
$\because AB=12,\therefore OA=6.\therefore \overset{\frown}{AD}$的长$l=\frac{80π × 6}{180}=\frac{8}{3}π$
解析
【分析】
(1) 要证$BE=CE$，已知$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，只需证明$AE$是$BC$边上的高即可；$AB$是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，因此连接$AE$可得$∠ AEB=90°$，满足三线合一的条件，即可得证。
(2) 求$∠ CBF$的度数，先根据等腰$△ ABC$的顶角$∠ BAC=50°$，计算出底角$∠ ABC$的度数；$BF$是$\odot O$的切线，切线垂直于过切点的半径，因此$∠ ABF=90°$，用$∠ ABF$减去$∠ ABC$即可得到$∠ CBF$的度数。
(3) 求$\overset{\frown}{AD}$的长，需使用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先确定$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角$∠ AOD$的度数和$\odot O$的半径；连接$OD$，$OA=OD$，$△ OAD$是等腰三角形，结合$∠ BAC=50°$可算出圆心角$∠ AOD$的度数，由$AB=12$可得半径$OA=6$，代入公式即可求出弧长。
【解析】
(1) 证明：连接$AE$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ AEB=90°$，即$AE⊥ BC$，
又$\because AB=AC$，$AE$为等腰$△ ABC$底边$BC$上的高，
$\therefore BE=CE$。
(2) 解：$\because AB=AC$，$∠ BAC=50°$，
$\therefore ∠ ABC=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$，
$\because BF$是$\odot O$的切线，
$\therefore AB⊥ BF$，即$∠ ABF=90°$，
$\therefore ∠ CBF=∠ ABF-∠ ABC=90°-65°=25°$。
(3) 解：连接$OD$，
$\because OA=OD$，$∠ OAD=∠ BAC=50°$，
$\therefore ∠ ADO=∠ OAD=50°$，
$\therefore ∠ AOD=180°-50°-50°=80°$，
$\because AB=12$，$\therefore \odot O$的半径$OA=\frac{1}{2}AB=6$，
代入弧长公式得$\overset{\frown}{AD}$的长$l=\frac{80π×6}{180}=\frac{8}{3}π$。
【答案】
(1) 如图,连接$AE$.$\because AB$是$\odot O$直径,$\therefore ∠ AEB=90°$,即$AE⊥ BC$.$\because AB=AC,\therefore BE=CE$
(2) $\because ∠ BAC=50°,AB=AC,\therefore ∠ ABC=65°$.$\because BF$是$\odot O$切线,$\therefore ∠ ABF=90°.\therefore ∠ CBF=∠ ABF-∠ ABC=25°$
(3) 连接$OD$.$\because OA=OD,∠ BAC=50°,\therefore ∠ AOD=80°$.$\because AB=12,\therefore OA=6.\therefore \overset{\frown}{AD}$的长$l=\frac{80π × 6}{180}=\frac{8}{3}π$
【知识点】
等腰三角形性质，切线的性质，弧长计算
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础综合题，考查了常见辅助线的构造方法，解题时要注意利用直径的圆周角性质、切线性质转化角度，求弧长时准确找到对应的圆心角和半径即可顺利解决。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$BE=CE$，已知$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，只需证明$AE$是$BC$边上的高即可；$AB$是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，因此连接$AE$可得$∠ AEB=90°$，满足三线合一的条件，即可得证。
(2) 求$∠ CBF$的度数，先根据等腰$△ ABC$的顶角$∠ BAC=50°$，计算出底角$∠ ABC$的度数；$BF$是$\odot O$的切线，切线垂直于过切点的半径，因此$∠ ABF=90°$，用$∠ ABF$减去$∠ ABC$即可得到$∠ CBF$的度数。
(3) 求$\overset{\frown}{AD}$的长，需使用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先确定$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角$∠ AOD$的度数和$\odot O$的半径；连接$OD$，$OA=OD$，$△ OAD$是等腰三角形，结合$∠ BAC=50°$可算出圆心角$∠ AOD$的度数，由$AB=12$可得半径$OA=6$，代入公式即可求出弧长。
【解析】
(1) 证明：连接$AE$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ AEB=90°$，即$AE⊥ BC$，
又$\because AB=AC$，$AE$为等腰$△ ABC$底边$BC$上的高，
$\therefore BE=CE$。
(2) 解：$\because AB=AC$，$∠ BAC=50°$，
$\therefore ∠ ABC=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$，
$\because BF$是$\odot O$的切线，
$\therefore AB⊥ BF$，即$∠ ABF=90°$，
$\therefore ∠ CBF=∠ ABF-∠ ABC=90°-65°=25°$。
(3) 解：连接$OD$，
$\because OA=OD$，$∠ OAD=∠ BAC=50°$，
$\therefore ∠ ADO=∠ OAD=50°$，
$\therefore ∠ AOD=180°-50°-50°=80°$，
$\because AB=12$，$\therefore \odot O$的半径$OA=\frac{1}{2}AB=6$，
代入弧长公式得$\overset{\frown}{AD}$的长$l=\frac{80π×6}{180}=\frac{8}{3}π$。
【答案】
(1) 如图,连接$AE$.$\because AB$是$\odot O$直径,$\therefore ∠ AEB=90°$,即$AE⊥ BC$.$\because AB=AC,\therefore BE=CE$
(2) $\because ∠ BAC=50°,AB=AC,\therefore ∠ ABC=65°$.$\because BF$是$\odot O$切线,$\therefore ∠ ABF=90°.\therefore ∠ CBF=∠ ABF-∠ ABC=25°$
(3) 连接$OD$.$\because OA=OD,∠ BAC=50°,\therefore ∠ AOD=80°$.$\because AB=12,\therefore OA=6.\therefore \overset{\frown}{AD}$的长$l=\frac{80π × 6}{180}=\frac{8}{3}π$
【知识点】
等腰三角形性质，切线的性质，弧长计算
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础综合题，考查了常见辅助线的构造方法，解题时要注意利用直径的圆周角性质、切线性质转化角度，求弧长时准确找到对应的圆心角和半径即可顺利解决。
【难度系数】
0.7
11. 如图，$\odot O$的直径BC为6 cm，弦AC为3 cm，$∠ CAB$的平分线交$\odot O$于点D.
（1）求$∠ CBD$的度数；
（2）求阴影部分的面积.
（1）求$∠ CBD$的度数；
（2）求阴影部分的面积.
答案
11. (1) $\because BC$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ CAB=90°$.$\because AD$平分$∠ CAB,\therefore ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ CAB=45°.\therefore ∠ CBD=∠ CAD=45°$
(2) 如图,连接$OA$.$\because$直径$BC=6$ cm,$\therefore OA=OC=\frac{1}{2}BC=3$ cm.$\because AC=3$ cm,$\therefore OA=OC=AC=3$ cm.$\therefore △ AOC$为等边三角形.$\therefore ∠ ACB=60°,∠ AOB=2∠ ACB=120°.\therefore S_{扇形AOB}=\frac{120π × 3^2}{360}=3π$ cm².在$Rt△ ACB$中,$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$ cm.$\because OC=OB,\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}S_{△ ACB}=\frac{1}{2}× \frac{1}{2}× 3× 3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$ cm².$\therefore S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{△ AOB}=(3π-\frac{9\sqrt{3}}{4})$ cm²,即阴影部分的面积为$(3π-\frac{9\sqrt{3}}{4})$ cm²
解析
【分析】
（1）求∠CBD的度数时，首先利用“直径所对的圆周角为直角”得到∠CAB=90°，再结合角平分线的性质求出∠CAD的度数，最后根据“同弧所对的圆周角相等”即可推导得到∠CBD的度数。
（2）求阴影部分面积时，阴影为不规则弓形，可转化为“扇形AOB的面积减去△AOB的面积”计算：先连接OA，根据直径长度求出半径，结合AC的长度判定△AOC为等边三角形，进而求出扇形AOB的圆心角度数，计算扇形面积；再用勾股定理求出AB的长度，得到Rt△ACB的面积，利用O是BC中点的性质求出△AOB的面积，最后作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
（1）
∵BC是$\odot O$的直径，
∴$∠ CAB=90°$。
∵AD平分$∠ CAB$，
∴$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ CAB=45°$。
根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ CBD=∠ CAD=45°$。
（2）连接$OA$，
∵直径$BC=6$ cm，
∴$OA=OC=\frac{1}{2}BC=3$ cm。
∵$AC=3$ cm，
∴$OA=OC=AC=3$ cm，
∴$△ AOC$为等边三角形，
∴$∠ ACB=60°$，根据同弧所对圆心角为圆周角的2倍，得$∠ AOB=2∠ ACB=120°$。
扇形AOB的面积：$S_{扇形AOB}=\frac{120π × 3^2}{360}=3π$ cm²。
在$Rt△ ACB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$ cm。
∵$OC=OB$，O为BC中点，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}S_{△ ACB}=\frac{1}{2}× \frac{1}{2}× 3× 3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$ cm²。
∴$S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{△ AOB}=(3π-\frac{9\sqrt{3}}{4})$ cm²。
【答案】
(1) $∠ CBD=45°$；(2) 阴影部分的面积为$(3π-\frac{9\sqrt{3}}{4})\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，融合了圆周角性质、等边三角形判定、不规则图形面积计算等考点，解题核心是掌握割补法转化不规则图形面积的思路，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
（1）求∠CBD的度数时，首先利用“直径所对的圆周角为直角”得到∠CAB=90°，再结合角平分线的性质求出∠CAD的度数，最后根据“同弧所对的圆周角相等”即可推导得到∠CBD的度数。
（2）求阴影部分面积时，阴影为不规则弓形，可转化为“扇形AOB的面积减去△AOB的面积”计算：先连接OA，根据直径长度求出半径，结合AC的长度判定△AOC为等边三角形，进而求出扇形AOB的圆心角度数，计算扇形面积；再用勾股定理求出AB的长度，得到Rt△ACB的面积，利用O是BC中点的性质求出△AOB的面积，最后作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
（1）
∵BC是$\odot O$的直径，
∴$∠ CAB=90°$。
∵AD平分$∠ CAB$，
∴$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ CAB=45°$。
根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ CBD=∠ CAD=45°$。
（2）连接$OA$，
∵直径$BC=6$ cm，
∴$OA=OC=\frac{1}{2}BC=3$ cm。
∵$AC=3$ cm，
∴$OA=OC=AC=3$ cm，
∴$△ AOC$为等边三角形，
∴$∠ ACB=60°$，根据同弧所对圆心角为圆周角的2倍，得$∠ AOB=2∠ ACB=120°$。
扇形AOB的面积：$S_{扇形AOB}=\frac{120π × 3^2}{360}=3π$ cm²。
在$Rt△ ACB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$ cm。
∵$OC=OB$，O为BC中点，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}S_{△ ACB}=\frac{1}{2}× \frac{1}{2}× 3× 3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$ cm²。
∴$S_{阴影}=S_{扇形AOB}-S_{△ AOB}=(3π-\frac{9\sqrt{3}}{4})$ cm²。
【答案】
(1) $∠ CBD=45°$；(2) 阴影部分的面积为$(3π-\frac{9\sqrt{3}}{4})\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，融合了圆周角性质、等边三角形判定、不规则图形面积计算等考点，解题核心是掌握割补法转化不规则图形面积的思路，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
