6. 如图，一个水平放置的圆锥的主视图为底边长2 cm、腰长4 cm的等腰三角形.
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求圆锥的侧面展开图的圆心角度数.

（1）$\because SA=SB=4\ \mathrm{cm},SO⊥ AB$，$\therefore OA=OB=\frac{1}{2}AB=1\ \mathrm{cm}$,即圆锥的底面半径$OA=1\ \mathrm{cm}$,母线长$SA=4\ \mathrm{cm}$.$\therefore$圆锥的侧面积$S=\frac{1}{2}× 2π ×1×4=4π\ \mathrm{cm}^2$ （2）设扇形的圆心角为$n°$,则$\frac{nπ×4}{180}=2π×1$,解得$n=90$,即圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角度数是$90°$

【分析】
要解决这道题，首先需明确圆锥主视图的各部分和圆锥参数的对应关系：主视图的底边长等于圆锥底面的直径，腰长等于圆锥的母线长。
对于第(1)问，圆锥侧面积计算需要底面半径和母线长两个参数，我们先从主视图提取对应数值，代入侧面积公式即可求解。
对于第(2)问，圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合弧长公式列方程即可求出圆心角的度数。
【解析】
（1）由题意可知，圆锥主视图的底边长为2cm、腰长为4cm，因此圆锥底面直径为2cm，母线长为4cm。
则底面半径$r=\frac{2}{2}=1\ \mathrm{cm}$，母线长$l=4\ \mathrm{cm}$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}× 底面周长× 母线长$，代入得：
$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}× 2π ×1×4=4π\ \mathrm{cm}^2$。
（2）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为$n°$，
因为侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面周长，结合弧长公式可列方程：
$\frac{nπ×4}{180}=2π×1$
约去$π$后化简得$\frac{4n}{180}=2$，解得$n=90$。
【答案】
（1）该圆锥的侧面积为$\boxed{4π\ \mathrm{cm}^2}$；
（2）圆锥侧面展开图的圆心角度数为$\boxed{90°}$

【知识点】
圆锥的性质、侧面积计算、弧长公式应用
【点评】
本题是圆锥相关的基础应用题，解题核心是掌握圆锥与其主视图、侧面展开图的对应关系，牢记侧面积公式以及“侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长”这一等量关系，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

7. 如图，已知圆锥的底面圆半径$r=10\ \mathrm{cm}$，母线长为40 cm.
（1）求它的侧面展开图的圆心角度数；
（2）若一甲虫从点A出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B，求它所走的最短路径的长.

（1）设它的侧面展开图的圆心角为$n°$,则$\frac{nπ×40}{180}=2π×10$,解得$n=90$.答:它的侧面展开图的圆心角为$90°$ （2）如图,由圆锥的侧面展开图可见,甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路线是线段AB的长,在$\mathrm{Rt}△ ASB$中,$SA=40,SB=20$,$\therefore AB=\sqrt{40^2+20^2}=20\sqrt{5}(\mathrm{cm})$.$\therefore$它所走的最短路径的长是$20\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$

【分析】
（1）求解圆锥侧面展开图的圆心角，核心等量关系是圆锥侧面展开所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，结合弧长公式列方程即可求出圆心角度数。
（2）圆锥侧面是曲面，求曲面上的最短路径需要先将侧面展开为平面图形，根据“两点之间线段最短”，可知最短路径为展开图中点A到点B的线段长；结合第一问求得的圆心角可判断△ASB为直角三角形，利用勾股定理即可求出线段长度。
【解析】
（1）设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$，
圆锥底面圆周长为$2πr$，侧面展开扇形的弧长为$\frac{nπ·SA}{180}$，根据弧长等于底面周长可得：
$\frac{nπ×40}{180}=2π×10$
两边同时约去$π$，化简得$\frac{40n}{180}=20$，解得$n=90$。
（2）将圆锥侧面展开得到扇形SAA'，根据两点之间线段最短，甲虫绕行的最短路径为线段AB的长。
由（1）知展开图的圆心角$∠ASA'=90°$，即$∠ASB=90°$，
∵B是母线SA的中点，SA=40cm，
∴$SB=\frac{1}{2}SA=20\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ASB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{SA^2+SB^2}=\sqrt{40^2+20^2}=\sqrt{2000}=20\sqrt{5}\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
（1）它的侧面展开图的圆心角为$90°$；（2）它所走的最短路径的长是$20\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆锥侧面展开性质；弧长公式；勾股定理
【点评】
本题核心是掌握圆锥侧面展开图与原圆锥的对应关系：扇形的弧长对应底面圆周长，扇形的半径对应圆锥母线长；求解曲面最短路径时要转化为平面图形的线段长度求解，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7

8. 图①中冰激凌的外包装可以视为圆锥(图②),制作这种外包装需要用如图③所示的等腰三角形材料,其中$AB=AC$,$AD⊥BC$,垂足为$D$,将扇形$EAF$围成圆锥时,$AE$,$AF$恰好重合.已知这种加工材料的顶角$∠BAC=90°$,圆锥底面圆的直径$DE$为5 cm.

(1) 求图②中圆锥的母线$AE$的长；
(2) 求加工材料剩余部分(图③中阴影部分)的面积(结果保留$π$).

（1）根据题意,得$π×5=\frac{90· π · AD}{180}$.解得$AD=10\ \mathrm{cm}$.$\therefore AE=AD=10\ \mathrm{cm}$ （2）由条件可得$BC=2AD=20\ \mathrm{cm}$,$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}EAF}=\frac{1}{2}×10×20-\frac{90×π×10^2}{360}=(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$

【分析】
（1）第一问解题核心是利用圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长这一等量关系。已知圆锥底面直径可求出底面周长，展开扇形的圆心角为90°，扇形半径等于圆锥母线AE（与AD长度相等），结合弧长公式列方程即可求解AE的长度。
（2）第二问求阴影部分面积采用割补法：阴影面积等于等腰△ABC的面积减去扇形EAF的面积。先根据等腰直角三角形的性质求出底边BC的长度，再分别计算三角形和扇形的面积，两者作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
（1）设圆锥母线AE的长为$R\ \mathrm{cm}$，由题意可知圆锥底面圆的周长等于扇形$EAF$的弧长：
圆锥底面直径$DE=5\ \mathrm{cm}$，因此底面周长为$π×5$；
扇形$EAF$的圆心角$∠BAC=90°$，半径$R=AE=AD$，根据弧长公式，扇形弧长为$\frac{90·π·R}{180}$。
列方程得：$\displaystyle π×5=\frac{90· π · R}{180}$
解得$R=10$，即$AE=10\ \mathrm{cm}$。
（2）$\because AB=AC$，$AD⊥BC$，$∠BAC=90°$，
$\therefore ∠B=∠C=45°$，可得$BD=AD=DC=10\ \mathrm{cm}$，因此$BC=BD+DC=20\ \mathrm{cm}$。
$\displaystyle S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×20×10=100\ \mathrm{cm}^2$
$\displaystyle S_{\mathrm{扇形}EAF}=\frac{90×π×10^2}{360}=25π\ \mathrm{cm}^2$
$\displaystyle S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{△ABC}-S_{\mathrm{扇形}EAF}=(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
（1）圆锥的母线$AE$的长为$10\ \mathrm{cm}$；
（2）阴影部分的面积为$(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
1.圆锥侧面展开图性质
2.弧长计算公式
3.扇形面积计算
【点评】
本题结合生活中的圆锥模型，考查立体图形展开与平面图形计算的结合应用，解题关键是抓住圆锥底面周长与展开扇形弧长相等的等量关系，熟练运用割补法计算不规则图形的面积。
【难度系数】
0.7