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例1 某班级20名学生的体能测试成绩(单位:分)如下：
62,75,83,91,78,88,95,69,72,85,
81,79,90,86,70,82,89,93,76,84.
（1）计算该组数据的四分位数；
（2）在图4.3.1中绘制箱线图并简要分析成绩分布特征.
62,75,83,91,78,88,95,69,72,85,
81,79,90,86,70,82,89,93,76,84.
（1）计算该组数据的四分位数；
（2）在图4.3.1中绘制箱线图并简要分析成绩分布特征.
答案
(1) 先将数据从小到大排序:62,69,70,72,75,76,78,79,81,82,83,84,85,86,88,89,90,91,93,95.$m_{25}=75.5,m_{50}=82.5,m_{75}=88.5$
(2) 最小值为62,最大值为95,箱线图如图
所示,从箱线图看:中位数(82.5)位于箱体中部,箱体上下沿距离相近,说明成绩分布较为对称,整体成绩集中在 75～89 分区间,整体水平良好解析
【分析】
（1）求解四分位数首先要对数据从小到大排序，再根据数据总个数计算各四分位数对应的位置：若计算得到的位置为整数，则对应四分位数为该位置和下一个位置数据的平均数；若位置为非整数，向上取整后对应位置的数据就是四分位数。本题共20个数据，分别计算25%、50%、75%对应的位置，即可求得三个四分位数。
（2）绘制箱线图需要先确定五个关键值：最小值、下四分位数（第25百分位数）、中位数（第50百分位数）、上四分位数（第75百分位数）、最大值，按纵轴刻度标注这五个值，画出箱体和须线即可；分析分布特征可从中位数位置、箱体上下沿距离、上下须长度判断数据的集中趋势和对称性。
【解析】
（1）第一步：将20个体能测试成绩从小到大排序：
62，69，70，72，75，76，78，79，81，82，83，84，85，86，88，89，90，91，93，95。
第二步：计算各四分位数的位置并求解：
① $i_1=20×25\%=5$，为整数，因此第25百分位数$m_{25}$是第5个和第6个数据的平均数，即$m_{25}=\frac{75+76}{2}=75.5$；
② $i_2=20×50\%=10$，为整数，因此第50百分位数（中位数）$m_{50}$是第10个和第11个数据的平均数，即$m_{50}=\frac{82+83}{2}=82.5$；
③ $i_3=20×75\%=15$，为整数，因此第75百分位数$m_{75}$是第15个和第16个数据的平均数，即$m_{75}=\frac{88+89}{2}=88.5$。
（2）第一步：确定箱线图的五个关键值：最小值为62，最大值为95，三个四分位数依次为75.5、82.5、88.5。
第二步：以成绩为纵轴，依次标注五个关键值的位置，绘制箱体（连接75.5和88.5，箱体内部标注中位数82.5），再绘制上下须分别连接箱体到最小值62和最大值95，得到对应箱线图。
分布特征分析：中位数82.5位于箱体中部，箱体上下沿到中位数的距离相近，说明成绩分布较为对称，大部分学生成绩集中在75~89分区间，整体成绩水平良好。
【答案】
(1) 先将数据从小到大排序:62,69,70,72,75,76,78,79,81,82,83,84,85,86,88,89,90,91,93,95.$m_{25}=75.5,m_{50}=82.5,m_{75}=88.5$
(2) 最小值为62,最大值为95,箱线图如图所示,从箱线图看:中位数(82.5)位于箱体中部,箱体上下沿距离相近,说明成绩分布较为对称,整体成绩集中在 75～89 分区间,整体水平良好
【知识点】
1. 四分位数计算
2. 箱线图绘制
3. 数据分布分析
【点评】
本题是统计部分的基础应用题型，核心考查四分位数的计算方法和箱线图的实际应用，解题时需要注意排序的准确性，以及整数位置下百分位数的计算规则，能够通过箱线图的结构快速判断数据的分布特点。
【难度系数】
0.7
（1）求解四分位数首先要对数据从小到大排序，再根据数据总个数计算各四分位数对应的位置：若计算得到的位置为整数，则对应四分位数为该位置和下一个位置数据的平均数；若位置为非整数，向上取整后对应位置的数据就是四分位数。本题共20个数据，分别计算25%、50%、75%对应的位置，即可求得三个四分位数。
（2）绘制箱线图需要先确定五个关键值：最小值、下四分位数（第25百分位数）、中位数（第50百分位数）、上四分位数（第75百分位数）、最大值，按纵轴刻度标注这五个值，画出箱体和须线即可；分析分布特征可从中位数位置、箱体上下沿距离、上下须长度判断数据的集中趋势和对称性。
【解析】
（1）第一步：将20个体能测试成绩从小到大排序：
62，69，70，72，75，76，78，79，81，82，83，84，85，86，88，89，90，91，93，95。
第二步：计算各四分位数的位置并求解：
① $i_1=20×25\%=5$，为整数，因此第25百分位数$m_{25}$是第5个和第6个数据的平均数，即$m_{25}=\frac{75+76}{2}=75.5$；
② $i_2=20×50\%=10$，为整数，因此第50百分位数（中位数）$m_{50}$是第10个和第11个数据的平均数，即$m_{50}=\frac{82+83}{2}=82.5$；
③ $i_3=20×75\%=15$，为整数，因此第75百分位数$m_{75}$是第15个和第16个数据的平均数，即$m_{75}=\frac{88+89}{2}=88.5$。
（2）第一步：确定箱线图的五个关键值：最小值为62，最大值为95，三个四分位数依次为75.5、82.5、88.5。
第二步：以成绩为纵轴，依次标注五个关键值的位置，绘制箱体（连接75.5和88.5，箱体内部标注中位数82.5），再绘制上下须分别连接箱体到最小值62和最大值95，得到对应箱线图。
分布特征分析：中位数82.5位于箱体中部，箱体上下沿到中位数的距离相近，说明成绩分布较为对称，大部分学生成绩集中在75~89分区间，整体成绩水平良好。
【答案】
(1) 先将数据从小到大排序:62,69,70,72,75,76,78,79,81,82,83,84,85,86,88,89,90,91,93,95.$m_{25}=75.5,m_{50}=82.5,m_{75}=88.5$
(2) 最小值为62,最大值为95,箱线图如图
所示,从箱线图看:中位数(82.5)位于箱体中部,箱体上下沿距离相近,说明成绩分布较为对称,整体成绩集中在 75～89 分区间,整体水平良好【知识点】
1. 四分位数计算
2. 箱线图绘制
3. 数据分布分析
【点评】
本题是统计部分的基础应用题型，核心考查四分位数的计算方法和箱线图的实际应用，解题时需要注意排序的准确性，以及整数位置下百分位数的计算规则，能够通过箱线图的结构快速判断数据的分布特点。
【难度系数】
0.7
例2 为对比A,B两种品牌手机的续航时间(单位:h),分别测试15台手机,得到统计数据如下：
（1）由上表对比两种品牌手机的顶尖续航能力；
（2）在图4.3.2中绘制两种品牌的对比箱线图,结合箱线图的特征,综合评价两种品牌的续航表现.
（1）由上表对比两种品牌手机的顶尖续航能力；
（2）在图4.3.2中绘制两种品牌的对比箱线图,结合箱线图的特征,综合评价两种品牌的续航表现.
答案
(1) $m_{A75}=12.1,m_{B75}=10.5,m_{A75}＞m_{B75}$,故品牌 A 的顶尖续航能力更强
(2) A,B两种品牌的对比箱线图如
所示:因品牌 A 的中位数高于品牌 B,故从平均水平看品牌 A 整体续航时间更长;因品牌 A 的第三四分位数高于品牌 B,故从顶尖能力看品牌 A 的顶尖续航时间更突出;而从箱体部分看品牌 B 的数据比较集中.所以,总体上可以认为品牌 B 手机的续航时间表现比较稳定,但没有突出表现;而品牌 A 手机的续航时间虽然波动较大,但顶尖续航时间表现较好解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确箱线图各组成部分的统计意义：箱线图从下到上依次对应最小值、下四分位数（25%分位数）、中位数（50%分位数，反映数据平均水平）、上四分位数（75%分位数，仅25%的数据大于该值，可反映顶尖水平）、最大值，箱体宽度反映中间50%数据的离散程度，越窄数据越稳定。
第（1）问对比顶尖续航能力，只需对比两种品牌的上四分位数即可，上四分位数越高，顶尖续航越强。
第（2）问综合评价续航表现，分别从中位数（整体平均水平）、上四分位数（顶尖水平）、箱体宽度（稳定性）三个维度分析即可。
【解析】
（1）顶尖续航能力对应样本的上四分位数（75%分位数），该统计量表示仅有25%的样本续航时间高于该值，数值越高说明顶尖续航能力越强。
读取箱线图数据可得：A品牌上四分位数$m_{A75}=12.1$，B品牌上四分位数$m_{B75}=10.5$，$m_{A75}＞m_{B75}$，因此品牌A的顶尖续航能力更强。
（2）结合箱线图特征分析：
① 中位数：品牌A的中位数高于品牌B，说明A整体平均续航时间更长；
② 上四分位数：品牌A的上四分位数更高，说明A的顶尖续航表现更突出；
③ 箱体宽度：品牌B的箱体更窄，说明B中间50%的续航数据更集中，表现更稳定，A的箱体更宽，续航波动更大。
综合以上特征即可得出两种品牌的续航表现评价。
【答案】
(1) $m_{A75}=12.1,m_{B75}=10.5,m_{A75}＞m_{B75}$,故品牌 A 的顶尖续航能力更强
(2) A,B两种品牌的对比箱线图如所示:因品牌 A 的中位数高于品牌 B,故从平均水平看品牌 A 整体续航时间更长;因品牌 A 的第三四分位数高于品牌 B,故从顶尖能力看品牌 A 的顶尖续航时间更突出;而从箱体部分看品牌 B 的数据比较集中.所以,总体上可以认为品牌 B 手机的续航时间表现比较稳定,但没有突出表现;而品牌 A 手机的续航时间虽然波动较大,但顶尖续航时间表现较好
【知识点】
四分位数应用，箱线图解读，统计数据分析
【点评】
本题结合生活实际场景，考查统计图表信息的提取和分析能力，需要熟练掌握箱线图各部分对应的统计意义，能结合不同统计量的含义对数据特征进行综合评价，是统计部分的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确箱线图各组成部分的统计意义：箱线图从下到上依次对应最小值、下四分位数（25%分位数）、中位数（50%分位数，反映数据平均水平）、上四分位数（75%分位数，仅25%的数据大于该值，可反映顶尖水平）、最大值，箱体宽度反映中间50%数据的离散程度，越窄数据越稳定。
第（1）问对比顶尖续航能力，只需对比两种品牌的上四分位数即可，上四分位数越高，顶尖续航越强。
第（2）问综合评价续航表现，分别从中位数（整体平均水平）、上四分位数（顶尖水平）、箱体宽度（稳定性）三个维度分析即可。
【解析】
（1）顶尖续航能力对应样本的上四分位数（75%分位数），该统计量表示仅有25%的样本续航时间高于该值，数值越高说明顶尖续航能力越强。
读取箱线图数据可得：A品牌上四分位数$m_{A75}=12.1$，B品牌上四分位数$m_{B75}=10.5$，$m_{A75}＞m_{B75}$，因此品牌A的顶尖续航能力更强。
（2）结合箱线图特征分析：
① 中位数：品牌A的中位数高于品牌B，说明A整体平均续航时间更长；
② 上四分位数：品牌A的上四分位数更高，说明A的顶尖续航表现更突出；
③ 箱体宽度：品牌B的箱体更窄，说明B中间50%的续航数据更集中，表现更稳定，A的箱体更宽，续航波动更大。
综合以上特征即可得出两种品牌的续航表现评价。
【答案】
(1) $m_{A75}=12.1,m_{B75}=10.5,m_{A75}＞m_{B75}$,故品牌 A 的顶尖续航能力更强
(2) A,B两种品牌的对比箱线图如
所示:因品牌 A 的中位数高于品牌 B,故从平均水平看品牌 A 整体续航时间更长;因品牌 A 的第三四分位数高于品牌 B,故从顶尖能力看品牌 A 的顶尖续航时间更突出;而从箱体部分看品牌 B 的数据比较集中.所以,总体上可以认为品牌 B 手机的续航时间表现比较稳定,但没有突出表现;而品牌 A 手机的续航时间虽然波动较大,但顶尖续航时间表现较好【知识点】
四分位数应用，箱线图解读，统计数据分析
【点评】
本题结合生活实际场景，考查统计图表信息的提取和分析能力，需要熟练掌握箱线图各部分对应的统计意义，能结合不同统计量的含义对数据特征进行综合评价，是统计部分的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
1. 下列图表中，可以直观的反映一组数据的分布情况的是 （
A.折线统计图
B.箱线图
C.条形统计图
D.扇形统计图
B
）A.折线统计图
B.箱线图
C.条形统计图
D.扇形统计图
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先明确题干要求为选出可直观反映一组数据分布情况的统计图，只需逐一回忆四种统计图的核心功能，再和题干要求匹配即可得出答案。首先理清各类统计图的定位：折线统计图侧重展示数据变化趋势，条形统计图侧重对比不同类别数据的数量，扇形统计图侧重展示部分占总体的比例，箱线图则通过多个特征值体现数据的分布特征，符合题干要求。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 折线统计图的主要作用是反映数据的变化趋势，无法直观体现数据的分布情况，故A不符合要求；
B. 箱线图会展示一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值这5个特征值，可清晰体现数据的离散程度、分布范围等分布情况，故B符合要求；
C. 条形统计图的主要作用是直观呈现不同类别数据的数量，便于类别间的数量对比，不能反映数据分布情况，故C不符合要求；
D. 扇形统计图的主要作用是体现各部分数量占总体的百分比，展示部分与整体的关系，无法反映数据分布情况，故D不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
统计图的特征；箱线图的作用
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考查不同类型统计图功能的区分，熟记各类统计图的适用场景即可快速作答。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题干要求为选出可直观反映一组数据分布情况的统计图，只需逐一回忆四种统计图的核心功能，再和题干要求匹配即可得出答案。首先理清各类统计图的定位：折线统计图侧重展示数据变化趋势，条形统计图侧重对比不同类别数据的数量，扇形统计图侧重展示部分占总体的比例，箱线图则通过多个特征值体现数据的分布特征，符合题干要求。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 折线统计图的主要作用是反映数据的变化趋势，无法直观体现数据的分布情况，故A不符合要求；
B. 箱线图会展示一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值这5个特征值，可清晰体现数据的离散程度、分布范围等分布情况，故B符合要求；
C. 条形统计图的主要作用是直观呈现不同类别数据的数量，便于类别间的数量对比，不能反映数据分布情况，故C不符合要求；
D. 扇形统计图的主要作用是体现各部分数量占总体的百分比，展示部分与整体的关系，无法反映数据分布情况，故D不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
统计图的特征；箱线图的作用
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考查不同类型统计图功能的区分，熟记各类统计图的适用场景即可快速作答。
【难度系数】
0.7
2. 某组数据的箱线图显示:最小值为5，$m_1=8$，$m_2=12$，$m_3=15$，最大值为20.下列关于该组数据分布的描述，错误的是（
A.数据的中位数为12
B.中间50%的数据集中在$m_1$与$m_3$之间
C.极差为15
D.由$12-8≠15-12$，故所画的箱线图是错误的
B
）A.数据的中位数为12
B.中间50%的数据集中在$m_1$与$m_3$之间
C.极差为15
D.由$12-8≠15-12$，故所画的箱线图是错误的
答案
2. B
