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3. 某共享单车企业15个站点的日骑行量(单位:次):210,230,250,270,290,310,330,350,370,390,410,430,450,470,490.该数据的$m_{25}=$
270
;若剔除最高的2个数据,新数据的$m_{75}=$390
.答案
3. 270,390
解析
【分析】
要计算百分位数，首先明确计算步骤：①先确认数据已按从小到大的顺序排列；②计算$i=n× p\%$（$n$为数据总个数，$p$为对应百分位）；③若$i$不是整数，将$i$向上取整，对应位置的数就是第$p$百分位数；若$i$是整数，第$p$百分位数为第$i$个和第$i+1$个数据的平均值。本题数据已排序，先算原数据的25%分位数，再剔除最高2个数据后算新数据的75%分位数即可。
【解析】
已知给出的15个日骑行量数据已经按从小到大的顺序排列：
1. 计算原数据的$m_{25}$（25%分位数）：
数据总个数$n=15$，计算$i=15×25\%=3.75$，$i$不是整数，向上取整为4，因此$m_{25}$是排序后第4个数据，即270。
2. 剔除最高的2个数据（470、490）后，剩余13个数据仍保持从小到大排列，计算新数据的$m_{75}$（75%分位数）：
新数据总个数$n=13$，计算$i=13×75\%=9.75$，$i$不是整数，向上取整为10，因此新数据的$m_{75}$是新排序后第10个数据，即390。
【答案】
270；390
【知识点】
百分位数的计算；统计数据整理
【点评】
本题考查百分位数的基础计算，解题核心是熟练掌握百分位数的计算规则，注意先确认数据的有序性，再根据$i$的取值确定对应百分位数，难度不大。
【难度系数】
0.7
要计算百分位数，首先明确计算步骤：①先确认数据已按从小到大的顺序排列；②计算$i=n× p\%$（$n$为数据总个数，$p$为对应百分位）；③若$i$不是整数，将$i$向上取整，对应位置的数就是第$p$百分位数；若$i$是整数，第$p$百分位数为第$i$个和第$i+1$个数据的平均值。本题数据已排序，先算原数据的25%分位数，再剔除最高2个数据后算新数据的75%分位数即可。
【解析】
已知给出的15个日骑行量数据已经按从小到大的顺序排列：
1. 计算原数据的$m_{25}$（25%分位数）：
数据总个数$n=15$，计算$i=15×25\%=3.75$，$i$不是整数，向上取整为4，因此$m_{25}$是排序后第4个数据，即270。
2. 剔除最高的2个数据（470、490）后，剩余13个数据仍保持从小到大排列，计算新数据的$m_{75}$（75%分位数）：
新数据总个数$n=13$，计算$i=13×75\%=9.75$，$i$不是整数，向上取整为10，因此新数据的$m_{75}$是新排序后第10个数据，即390。
【答案】
270；390
【知识点】
百分位数的计算；统计数据整理
【点评】
本题考查百分位数的基础计算，解题核心是熟练掌握百分位数的计算规则，注意先确认数据的有序性，再根据$i$的取值确定对应百分位数，难度不大。
【难度系数】
0.7
4. 若一组数据1,2,3,4,m的$m_{25}=m$，则m的取值范围为
$1≤ m≤ 2$
。答案
4. $1≤ m≤ 2$
解析
【分析】
解题时先回忆25%分位数的计算逻辑：第一步需将所有数据从小到大排序，第二步计算分位数位置$i=n× p$（$n$为数据总个数，$p$为对应百分位），若$i$不是整数，向上取整后对应位置的数就是该分位数；若$i$是整数，则分位数为第$i$个和第$i+1$个数据的平均值。本题先算出分位数位置为$5×25\%=1.25$，向上取整得2，即排序后第2个数据是25%分位数，要使分位数为$m$，只需保证$m$在排序后处于第2位，据此推导$m$的范围即可。
【解析】
这组数据总共有5个，即$n=5$，先计算25%分位数的位置：
$i=5×25\%=1.25$
根据百分位数定义，$i$不是整数，向上取整为2，因此将数据从小到大排序后，第2个数据就是这组数据的25%分位数。
已知该分位数为$m$，分情况讨论：
1. 当$m＜1$时，排序后数据为$m,1,2,3,4$，第2个数据是$1≠ m$，不符合要求；
2. 当$1≤ m≤2$时，排序后数据为$1,m,2,3,4$（$m=2$时排序为$1,2,2,3,4$），第2个数据为$m$，符合要求；
3. 当$m＞2$时，排序后前两位为$1,2$，第2个数据是$2≠ m$，不符合要求。
综上，$m$的取值范围是$1≤ m≤2$。
【答案】
$1≤ m≤ 2$
【知识点】
百分位数的计算、数据排序
【点评】
本题考查百分位数的定义与应用，解题核心是先确定分位数对应的排序位置，再根据位置要求推导未知参数的取值范围，注意不要遗漏端点的验证。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆25%分位数的计算逻辑：第一步需将所有数据从小到大排序，第二步计算分位数位置$i=n× p$（$n$为数据总个数，$p$为对应百分位），若$i$不是整数，向上取整后对应位置的数就是该分位数；若$i$是整数，则分位数为第$i$个和第$i+1$个数据的平均值。本题先算出分位数位置为$5×25\%=1.25$，向上取整得2，即排序后第2个数据是25%分位数，要使分位数为$m$，只需保证$m$在排序后处于第2位，据此推导$m$的范围即可。
【解析】
这组数据总共有5个，即$n=5$，先计算25%分位数的位置：
$i=5×25\%=1.25$
根据百分位数定义，$i$不是整数，向上取整为2，因此将数据从小到大排序后，第2个数据就是这组数据的25%分位数。
已知该分位数为$m$，分情况讨论：
1. 当$m＜1$时，排序后数据为$m,1,2,3,4$，第2个数据是$1≠ m$，不符合要求；
2. 当$1≤ m≤2$时，排序后数据为$1,m,2,3,4$（$m=2$时排序为$1,2,2,3,4$），第2个数据为$m$，符合要求；
3. 当$m＞2$时，排序后前两位为$1,2$，第2个数据是$2≠ m$，不符合要求。
综上，$m$的取值范围是$1≤ m≤2$。
【答案】
$1≤ m≤ 2$
【知识点】
百分位数的计算、数据排序
【点评】
本题考查百分位数的定义与应用，解题核心是先确定分位数对应的排序位置，再根据位置要求推导未知参数的取值范围，注意不要遗漏端点的验证。
【难度系数】
0.6
5. 某互联网公司16名程序员的月度代码产出量(单位:千行):8.5,9.2,9.8,10.3,10.5,11.1,11.5,12.0,12.4,12.8,13.2,13.5,14.0,14.5,15.1,15.8.公司计划将16名程序员按月度代码产出量分三个等级,代码产出量排在前$\frac{1}{4}$的员工为待改进等级,需参加技能培训;代码产出量排在后$\frac{1}{4}$的员工为优秀等级,给予奖金奖励,其余为合格等级.请你利用四分位数划分该分公司程序员的等级线.
答案
5. $\frac{16}{4}=4$,故第 4 个和第 5 个数据的平均数为$m_{25}=10.4$,月度代码产出量低于 10.4 千行的划为待改进等级;$\frac{16×3}{4}=12$,故第 12 个和第 13 个数据的平均数为$m_{75}=13.75$,月度代码产出量高于 13.75 千行的划为优秀等级;其余划为合格等级
解析
【分析】
解题时首先明确题目要求：需通过25%分位数和75%分位数划分三个等级。首先观察给出的16个代码产出量数据，已经按从小到大的顺序排列，无需重新排序。接下来回忆百分位数的计算规则：当n×p为整数时，p分位数为第n×p个和第n×p+1个数据的平均数。本题中p分别取25%、75%，算出两个分位数后，结合题目给定的等级规则划分即可。
【解析】
步骤1：确认数据排序：给出的16个月度代码产出量已按从小到大顺序排列，样本量$n=16$。
步骤2：计算25%分位数：
$16×\frac{1}{4}=4$，为整数，因此25%分位数为第4个和第5个数据的平均数，
第4个数据是10.3，第5个数据是10.5，故$m_{25}=\frac{10.3+10.5}{2}=10.4$（千行）。
步骤3：计算75%分位数：
$16×\frac{3}{4}=12$，为整数，因此75%分位数为第12个和第13个数据的平均数，
第12个数据是13.5，第13个数据是14.0，故$m_{75}=\frac{13.5+14.0}{2}=13.75$（千行）。
步骤4：划分等级：
根据题目规则，产出量排在前$\frac{1}{4}$（即产出量最低的$\frac{1}{4}$）为待改进，故月度代码产出量低于10.4千行的划为待改进等级；
产出量排在后$\frac{1}{4}$（即产出量最高的$\frac{1}{4}$）为优秀，故月度代码产出量高于13.75千行的划为优秀等级；
其余为合格等级。
【答案】
$\frac{16}{4}=4$,故第 4 个和第 5 个数据的平均数为$m_{25}=10.4$,月度代码产出量低于 10.4 千行的划为待改进等级;$\frac{16×3}{4}=12$,故第 12 个和第 13 个数据的平均数为$m_{75}=13.75$,月度代码产出量高于 13.75 千行的划为优秀等级;其余划为合格等级
【知识点】
1. 四分位数计算
2. 统计等级划分
3. 百分位数应用
【点评】
本题结合实际工作场景考查四分位数的应用，解题的关键是先确认数据是否有序，再准确计算分位数位置，按照百分位数的计算规则求出分位数后对应划分等级即可，解题逻辑清晰，注重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目要求：需通过25%分位数和75%分位数划分三个等级。首先观察给出的16个代码产出量数据，已经按从小到大的顺序排列，无需重新排序。接下来回忆百分位数的计算规则：当n×p为整数时，p分位数为第n×p个和第n×p+1个数据的平均数。本题中p分别取25%、75%，算出两个分位数后，结合题目给定的等级规则划分即可。
【解析】
步骤1：确认数据排序：给出的16个月度代码产出量已按从小到大顺序排列，样本量$n=16$。
步骤2：计算25%分位数：
$16×\frac{1}{4}=4$，为整数，因此25%分位数为第4个和第5个数据的平均数，
第4个数据是10.3，第5个数据是10.5，故$m_{25}=\frac{10.3+10.5}{2}=10.4$（千行）。
步骤3：计算75%分位数：
$16×\frac{3}{4}=12$，为整数，因此75%分位数为第12个和第13个数据的平均数，
第12个数据是13.5，第13个数据是14.0，故$m_{75}=\frac{13.5+14.0}{2}=13.75$（千行）。
步骤4：划分等级：
根据题目规则，产出量排在前$\frac{1}{4}$（即产出量最低的$\frac{1}{4}$）为待改进，故月度代码产出量低于10.4千行的划为待改进等级；
产出量排在后$\frac{1}{4}$（即产出量最高的$\frac{1}{4}$）为优秀，故月度代码产出量高于13.75千行的划为优秀等级；
其余为合格等级。
【答案】
$\frac{16}{4}=4$,故第 4 个和第 5 个数据的平均数为$m_{25}=10.4$,月度代码产出量低于 10.4 千行的划为待改进等级;$\frac{16×3}{4}=12$,故第 12 个和第 13 个数据的平均数为$m_{75}=13.75$,月度代码产出量高于 13.75 千行的划为优秀等级;其余划为合格等级
【知识点】
1. 四分位数计算
2. 统计等级划分
3. 百分位数应用
【点评】
本题结合实际工作场景考查四分位数的应用，解题的关键是先确认数据是否有序，再准确计算分位数位置，按照百分位数的计算规则求出分位数后对应划分等级即可，解题逻辑清晰，注重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.7
6. 某校九年级(1)班和(2)班各10名学生的跳绳比赛成绩(单位:次),经排序后如下:
九年级(1)班:180,185,186,188,190,192,193,195,196,198.
九年级(2)班:175,180,182,185,188,190,192,195,198,200.
分别计算两班成绩的四分位数,对比哪个班的成绩更“集中”,哪个班的成绩差异更大?
九年级(1)班:180,185,186,188,190,192,193,195,196,198.
九年级(2)班:175,180,182,185,188,190,192,195,198,200.
分别计算两班成绩的四分位数,对比哪个班的成绩更“集中”,哪个班的成绩差异更大?
答案
6. 九年级(1)班第一四分位数为 186,第二四分位数为 191,第三四分位数为 195;九年级(2)班第一四分位数为 182,第二四分位数为 189,第三四分位数为 195.九年级(2)班的四分位数间距更大,表明其成绩差异更大
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确四分位数的计算规则，题目已给出两个班按从小到大排序后的成绩，每组共10个数据。第一步分别计算第一四分位数（25%分位）、第二四分位数（中位数，50%分位）、第三四分位数（75%分位）的位置：若分位位置为小数，向上取整对应的数据即为该分位数；若分位位置为整数，则取该位置和下一个位置数据的平均数作为分位数。第二步计算两个班的四分位数间距（第三四分位数减第一四分位数），间距越小说明中间50%的成绩越集中，反之则成绩差异越大。
【解析】
已知两个班各10名学生的成绩均已按从小到大排序，计算过程如下：
1. 计算九年级(1)班的四分位数：
① 第一四分位数$Q_1$位置：$10×25\%=2.5$，向上取整为3，对应第3个数据，即$Q_1=186$；
② 第二四分位数$Q_2$（中位数）位置：$10×50\%=5$，取第5、6个数据的平均数，即$Q_2=\frac{190+192}{2}=191$；
③ 第三四分位数$Q_3$位置：$10×75\%=7.5$，向上取整为8，对应第8个数据，即$Q_3=195$；
四分位数间距为$195-186=9$。
2. 计算九年级(2)班的四分位数：
① 第一四分位数$Q_1$位置：$10×25\%=2.5$，向上取整为3，对应第3个数据，即$Q_1=182$；
② 第二四分位数$Q_2$位置：$10×50\%=5$，取第5、6个数据的平均数，即$Q_2=\frac{188+190}{2}=189$；
③ 第三四分位数$Q_3$位置：$10×75\%=7.5$，向上取整为8，对应第8个数据，即$Q_3=195$；
四分位数间距为$195-182=13$。
对比可得：九年级(1)班四分位数间距更小，成绩更集中；九年级(2)班四分位数间距更大，成绩差异更大。
【答案】
九年级(1)班第一四分位数为 186,第二四分位数为 191,第三四分位数为 195;九年级(2)班第一四分位数为 182,第二四分位数为 189,第三四分位数为 195.九年级(2)班的四分位数间距更大,表明其成绩差异更大
【知识点】
1. 四分位数计算
2. 四分位数间距
3. 数据离散程度判断
【点评】
本题考查四分位数的计算与实际应用，核心是掌握四分位数的位置确定方法，理解四分位数间距可反映中间50%数据的波动情况，属于统计部分的基础题型，解题时注意数据已经提前排序，无需再自行排序。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确四分位数的计算规则，题目已给出两个班按从小到大排序后的成绩，每组共10个数据。第一步分别计算第一四分位数（25%分位）、第二四分位数（中位数，50%分位）、第三四分位数（75%分位）的位置：若分位位置为小数，向上取整对应的数据即为该分位数；若分位位置为整数，则取该位置和下一个位置数据的平均数作为分位数。第二步计算两个班的四分位数间距（第三四分位数减第一四分位数），间距越小说明中间50%的成绩越集中，反之则成绩差异越大。
【解析】
已知两个班各10名学生的成绩均已按从小到大排序，计算过程如下：
1. 计算九年级(1)班的四分位数：
① 第一四分位数$Q_1$位置：$10×25\%=2.5$，向上取整为3，对应第3个数据，即$Q_1=186$；
② 第二四分位数$Q_2$（中位数）位置：$10×50\%=5$，取第5、6个数据的平均数，即$Q_2=\frac{190+192}{2}=191$；
③ 第三四分位数$Q_3$位置：$10×75\%=7.5$，向上取整为8，对应第8个数据，即$Q_3=195$；
四分位数间距为$195-186=9$。
2. 计算九年级(2)班的四分位数：
① 第一四分位数$Q_1$位置：$10×25\%=2.5$，向上取整为3，对应第3个数据，即$Q_1=182$；
② 第二四分位数$Q_2$位置：$10×50\%=5$，取第5、6个数据的平均数，即$Q_2=\frac{188+190}{2}=189$；
③ 第三四分位数$Q_3$位置：$10×75\%=7.5$，向上取整为8，对应第8个数据，即$Q_3=195$；
四分位数间距为$195-182=13$。
对比可得：九年级(1)班四分位数间距更小，成绩更集中；九年级(2)班四分位数间距更大，成绩差异更大。
【答案】
九年级(1)班第一四分位数为 186,第二四分位数为 191,第三四分位数为 195;九年级(2)班第一四分位数为 182,第二四分位数为 189,第三四分位数为 195.九年级(2)班的四分位数间距更大,表明其成绩差异更大
【知识点】
1. 四分位数计算
2. 四分位数间距
3. 数据离散程度判断
【点评】
本题考查四分位数的计算与实际应用，核心是掌握四分位数的位置确定方法，理解四分位数间距可反映中间50%数据的波动情况，属于统计部分的基础题型，解题时注意数据已经提前排序，无需再自行排序。
【难度系数】
0.7
7. 某连锁餐饮企业为提高市场竞争力，将根据业绩进行差异化管理.企业计划:季度净利润位于前25%的分店属低利润区，将削减运营投入；季度净利润位于后25%的分店属高利润区，将增加运营投入用于升级门店环境；其余分店属中利润区，则维持现状，重点优化菜品和服务质量.现抽取全国32个城市分店进行调查，统计各城市分店的季度净利润(单位:万元):5.2，6.1,6.8,7.3,7.9,8.2,8.5,8.8,9.1,9.4,9.7,10.0,10.3,10.6,10.8,11.1,11.4,11.7,12.0,12.3,12.6,12.9,13.2,13.5,13.8,14.1,14.5,14.8,15.2,15.7,15.8,16.
(1) 请预设三种利润区的资格区分线；
(2) 甲、乙两城市分店季度净利润分别为8.4万元和13.7万元，它们属于哪一种利润区？
(1) 请预设三种利润区的资格区分线；
(2) 甲、乙两城市分店季度净利润分别为8.4万元和13.7万元，它们属于哪一种利润区？
答案
7. (1) 第一四分位数为8.95,第二四分位数为11.25,第三四分位数为13.65,故季度净利润低于 8.95 万元的属低利润区,季度净利润高于 13.65 万元的属高利润区,其余的属中利润区
(2) 甲城市分店季度净利润低于 8.95万元,属低利润区,将关闭或减少促销投入;乙城市分店季度净利润高于 13.65 万元,属高利润区,将增加促销投入用于升级门店环境
(2) 甲城市分店季度净利润低于 8.95万元,属低利润区,将关闭或减少促销投入;乙城市分店季度净利润高于 13.65 万元,属高利润区,将增加促销投入用于升级门店环境
解析
【分析】
本题考查四分位数的计算及实际应用，解题思路如下：1. 首先明确已知的32个分店净利润数据已经按从小到大顺序排列；2. 按照四分位数的计算规则，分别计算25%、50%、75%对应的分位数值：当数据总数n与分位点占比的乘积为整数时，对应分位数为该整数位置和下一个位置数据的平均数；3. 结合题目中三类利润区的定义，确定各利润区的区分线；4. 第二问将甲、乙两店的净利润分别和区分线比较，即可判断所属利润区。
【解析】
(1) 已知共有32个从小到大排列的净利润数据：
① 计算第一四分位数（25%分位数）：分位点位置为$32×25\%=8$，因此取第8个和第9个数据的平均数，第8个数据为8.8，第9个数据为9.1，故第一四分位数为$\frac{8.8+9.1}{2}=8.95$；
② 计算第二四分位数（中位数，50%分位数）：分位点位置为$32×50\%=16$，因此取第16个和第17个数据的平均数，第16个数据为11.1，第17个数据为11.4，故第二四分位数为$\frac{11.1+11.4}{2}=11.25$；
③ 计算第三四分位数（75%分位数）：分位点位置为$32×75\%=24$，因此取第24个和第25个数据的平均数，第24个数据为13.5，第25个数据为13.8，故第三四分位数为$\frac{13.5+13.8}{2}=13.65$。
结合题意可得利润区区分规则。
(2) 将甲、乙两店的净利润分别和区分线对比：$8.4＜8.95$，$13.7＞13.65$，即可判断两店所属利润区。
【答案】
(1) 第一四分位数为8.95,第二四分位数为11.25,第三四分位数为13.65,故季度净利润低于 8.95 万元的属低利润区,季度净利润高于 13.65 万元的属高利润区,其余的属中利润区
(2) 甲城市分店季度净利润低于 8.95万元,属低利润区,将关闭或减少促销投入;乙城市分店季度净利润高于 13.65 万元,属高利润区,将增加促销投入用于升级门店环境
【知识点】
1. 四分位数的计算
2. 统计数据的应用
3. 中位数的计算
【点评】
本题结合企业管理的实际场景考查四分位数相关知识，注重对基础计算能力和应用能力的考查，解题的核心是准确掌握四分位数的计算方法，能结合规则对数据进行分类判断。
【难度系数】
0.7
本题考查四分位数的计算及实际应用，解题思路如下：1. 首先明确已知的32个分店净利润数据已经按从小到大顺序排列；2. 按照四分位数的计算规则，分别计算25%、50%、75%对应的分位数值：当数据总数n与分位点占比的乘积为整数时，对应分位数为该整数位置和下一个位置数据的平均数；3. 结合题目中三类利润区的定义，确定各利润区的区分线；4. 第二问将甲、乙两店的净利润分别和区分线比较，即可判断所属利润区。
【解析】
(1) 已知共有32个从小到大排列的净利润数据：
① 计算第一四分位数（25%分位数）：分位点位置为$32×25\%=8$，因此取第8个和第9个数据的平均数，第8个数据为8.8，第9个数据为9.1，故第一四分位数为$\frac{8.8+9.1}{2}=8.95$；
② 计算第二四分位数（中位数，50%分位数）：分位点位置为$32×50\%=16$，因此取第16个和第17个数据的平均数，第16个数据为11.1，第17个数据为11.4，故第二四分位数为$\frac{11.1+11.4}{2}=11.25$；
③ 计算第三四分位数（75%分位数）：分位点位置为$32×75\%=24$，因此取第24个和第25个数据的平均数，第24个数据为13.5，第25个数据为13.8，故第三四分位数为$\frac{13.5+13.8}{2}=13.65$。
结合题意可得利润区区分规则。
(2) 将甲、乙两店的净利润分别和区分线对比：$8.4＜8.95$，$13.7＞13.65$，即可判断两店所属利润区。
【答案】
(1) 第一四分位数为8.95,第二四分位数为11.25,第三四分位数为13.65,故季度净利润低于 8.95 万元的属低利润区,季度净利润高于 13.65 万元的属高利润区,其余的属中利润区
(2) 甲城市分店季度净利润低于 8.95万元,属低利润区,将关闭或减少促销投入;乙城市分店季度净利润高于 13.65 万元,属高利润区,将增加促销投入用于升级门店环境
【知识点】
1. 四分位数的计算
2. 统计数据的应用
3. 中位数的计算
【点评】
本题结合企业管理的实际场景考查四分位数相关知识，注重对基础计算能力和应用能力的考查，解题的核心是准确掌握四分位数的计算方法，能结合规则对数据进行分类判断。
【难度系数】
0.7
