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例1 某便利店为优化零食类商品库存，统计了18种畅销零食的周销量(单位:件):12，15，18，20，22，23，25，27，28，30，31，33，35，36，38，40，42，45.便利店规定:周销量排在前$\frac{1}{4}$的商品因避免滞销需减少进货量，排在后$\frac{1}{4}$的商品因避免缺货需增加进货量，请你计算需减少进货量和需增加进货量的商品可能有多少种.
答案
$\frac{18}{4}=4.5$,故$m_{25}=22$,而周销量低于 22 的有 12,15,18,20,共 4 种,$\therefore$需减少进货量的商品有 4 种;$\frac{18×3}{4}=13.5$,故$m_{75}=36$,而周销量高于 36 的有 38,40,42,45,共 4 种,$\therefore$需增加进货量的商品有 4 种
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确题目要求：销量最低的前$\frac{1}{4}$商品易滞销要减少进货，销量最高的后$\frac{1}{4}$商品易缺货要增加进货，本质是通过计算第25百分位数和第75百分位数划分对应区间。第一步先确认已知条件：18个周销量数据已经按从小到大（销量从低到高）排序，无需额外排序。第二步回忆百分位数计算规则：求n个数据的第p百分位数，先计算位置$i=n× p\%$，若i不是整数，向上取整后对应位置的数据就是该百分位数。第三步找到第25百分位数，统计低于该数值的数据数量就是需减少进货的商品数；找到第75百分位数，统计高于该数值的数据数量就是需增加进货的商品数。
【解析】
解：已知18种零食的周销量已按从小到大顺序排列。
1. 计算需减少进货的商品数量：
前$\frac{1}{4}$对应第25百分位数，位置为$18×25\%=4.5$，因位置为小数，向上取整为5，即第25百分位数是排序后第5个数据22。
周销量低于22的商品有：12，15，18，20，共4种，即需减少进货量的商品有4种。
2. 计算需增加进货的商品数量：
后$\frac{1}{4}$对应第75百分位数，位置为$18×75\%=13.5$，向上取整为14，即第75百分位数是排序后第14个数据36。
周销量高于36的商品有：38，40，42，45，共4种，即需增加进货量的商品有4种。
【答案】
需减少进货量的商品有4种，需增加进货量的商品有4种。
【知识点】
百分位数的计算、统计的实际应用
【点评】
本题结合生活中的库存优化场景考查百分位数的应用，解题的关键是正确掌握百分位数的计算规则，结合题目要求划分区间统计符合条件的数据即可，注意题干已经给出排序后的数据，可直接使用无需重新排序。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确题目要求：销量最低的前$\frac{1}{4}$商品易滞销要减少进货，销量最高的后$\frac{1}{4}$商品易缺货要增加进货，本质是通过计算第25百分位数和第75百分位数划分对应区间。第一步先确认已知条件：18个周销量数据已经按从小到大（销量从低到高）排序，无需额外排序。第二步回忆百分位数计算规则：求n个数据的第p百分位数，先计算位置$i=n× p\%$，若i不是整数，向上取整后对应位置的数据就是该百分位数。第三步找到第25百分位数，统计低于该数值的数据数量就是需减少进货的商品数；找到第75百分位数，统计高于该数值的数据数量就是需增加进货的商品数。
【解析】
解：已知18种零食的周销量已按从小到大顺序排列。
1. 计算需减少进货的商品数量：
前$\frac{1}{4}$对应第25百分位数，位置为$18×25\%=4.5$，因位置为小数，向上取整为5，即第25百分位数是排序后第5个数据22。
周销量低于22的商品有：12，15，18，20，共4种，即需减少进货量的商品有4种。
2. 计算需增加进货的商品数量：
后$\frac{1}{4}$对应第75百分位数，位置为$18×75\%=13.5$，向上取整为14，即第75百分位数是排序后第14个数据36。
周销量高于36的商品有：38，40，42，45，共4种，即需增加进货量的商品有4种。
【答案】
需减少进货量的商品有4种，需增加进货量的商品有4种。
【知识点】
百分位数的计算、统计的实际应用
【点评】
本题结合生活中的库存优化场景考查百分位数的应用，解题的关键是正确掌握百分位数的计算规则，结合题目要求划分区间统计符合条件的数据即可，注意题干已经给出排序后的数据，可直接使用无需重新排序。
【难度系数】
0.7
例2 某旅游平台对甲、乙两个景区开展游客服务质量调研，各收集30份有效打分（满分10分，分数越高表示服务质量越好），将分数按从低到高的顺序排列后，部分打分如下（单位：分）：
| 序号 | ⑦ | ⑧ | ⑮ | ⑯ | ㉓ | ㉔ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 6.4 | 6.5 |
| 7.5 | 8.1 | 8.3 |
| 乙 | 6.3 | 7.0 | 7.8 | 8.0 | 8.5 | 8.7 |
请分别求出游客打分的四分位数，并评价这两个景区的服务质量。
| 序号 | ⑦ | ⑧ | ⑮ | ⑯ | ㉓ | ㉔ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 6.4 | 6.5 |
| 7.5 | 8.1 | 8.3 || 乙 | 6.3 | 7.0 | 7.8 | 8.0 | 8.5 | 8.7 |
请分别求出游客打分的四分位数，并评价这两个景区的服务质量。
答案
两组数据的样本容量$n=30$.第一四分位数:$m_{甲25}=6.5,m_{乙25}=7.0$.第二四分位数:$m_{甲50}=7.4,m_{乙50}=7.9$.第三四分位数:$m_{甲75}=8.1,m_{乙75}=8.5$.由于景区乙的三个四分位数均大于景区甲,故可以认为景区乙的服务质量整体好于景区甲
解析
【分析】
要计算两组数据的四分位数，首先明确样本容量$n=30$，根据百分位数的计算规则：先计算第$p$百分位数的位置$i=n× p\%$，若$i$不是整数，取大于$i$的相邻整数位置的数作为百分位数；若$i$是整数，取第$i$项和第$i+1$项数据的平均数作为百分位数。分别计算25%（第一四分位数）、50%（第二四分位数即中位数）、75%（第三四分位数）对应的位置，再结合表格给出的对应序号的数据计算数值，最后对比两个景区的四分位数评价服务质量即可。
【解析】
已知两组数据的样本容量均为$n=30$：
1. 计算第一四分位数（25%分位数）：
位置$i=30×25\%=7.5$，不是整数，取第8项数据为四分位数：
甲的第8项得分为6.5，故$m_{甲25}=6.5$；
乙的第8项得分为7.0，故$m_{乙25}=7.0$。
2. 计算第二四分位数（50%分位数，即中位数）：
位置$i=30×50\%=15$，是整数，取第15项和第16项数据的平均数为四分位数：
甲的第15、16项得分分别为7.3、7.5，故$m_{甲50}=\frac{7.3+7.5}{2}=7.4$；
乙的第15、16项得分分别为7.8、8.0，故$m_{乙50}=\frac{7.8+8.0}{2}=7.9$。
3. 计算第三四分位数（75%分位数）：
位置$i=30×75\%=22.5$，不是整数，取第23项数据为四分位数：
甲的第23项得分为8.1，故$m_{甲75}=8.1$；
乙的第23项得分为8.5，故$m_{乙75}=8.5$。
对比两个景区的四分位数，景区乙的三个四分位数均大于景区甲，说明乙景区的游客打分整体更高。
【答案】
第一四分位数：$m_{甲25}=6.5$，$m_{乙25}=7.0$；第二四分位数：$m_{甲50}=7.4$，$m_{乙50}=7.9$；第三四分位数：$m_{甲75}=8.1$，$m_{乙75}=8.5$。景区乙的服务质量整体好于景区甲。
【知识点】
四分位数计算、中位数计算、统计数据分析
【点评】
本题考查四分位数的计算方法及实际应用，解题的关键是掌握百分位数位置的判定规则，区分整数位置和非整数位置对应的取值方法，能够结合计算得到的统计量对实际问题进行分析判断。
【难度系数】
0.7
要计算两组数据的四分位数，首先明确样本容量$n=30$，根据百分位数的计算规则：先计算第$p$百分位数的位置$i=n× p\%$，若$i$不是整数，取大于$i$的相邻整数位置的数作为百分位数；若$i$是整数，取第$i$项和第$i+1$项数据的平均数作为百分位数。分别计算25%（第一四分位数）、50%（第二四分位数即中位数）、75%（第三四分位数）对应的位置，再结合表格给出的对应序号的数据计算数值，最后对比两个景区的四分位数评价服务质量即可。
【解析】
已知两组数据的样本容量均为$n=30$：
1. 计算第一四分位数（25%分位数）：
位置$i=30×25\%=7.5$，不是整数，取第8项数据为四分位数：
甲的第8项得分为6.5，故$m_{甲25}=6.5$；
乙的第8项得分为7.0，故$m_{乙25}=7.0$。
2. 计算第二四分位数（50%分位数，即中位数）：
位置$i=30×50\%=15$，是整数，取第15项和第16项数据的平均数为四分位数：
甲的第15、16项得分分别为7.3、7.5，故$m_{甲50}=\frac{7.3+7.5}{2}=7.4$；
乙的第15、16项得分分别为7.8、8.0，故$m_{乙50}=\frac{7.8+8.0}{2}=7.9$。
3. 计算第三四分位数（75%分位数）：
位置$i=30×75\%=22.5$，不是整数，取第23项数据为四分位数：
甲的第23项得分为8.1，故$m_{甲75}=8.1$；
乙的第23项得分为8.5，故$m_{乙75}=8.5$。
对比两个景区的四分位数，景区乙的三个四分位数均大于景区甲，说明乙景区的游客打分整体更高。
【答案】
第一四分位数：$m_{甲25}=6.5$，$m_{乙25}=7.0$；第二四分位数：$m_{甲50}=7.4$，$m_{乙50}=7.9$；第三四分位数：$m_{甲75}=8.1$，$m_{乙75}=8.5$。景区乙的服务质量整体好于景区甲。
【知识点】
四分位数计算、中位数计算、统计数据分析
【点评】
本题考查四分位数的计算方法及实际应用，解题的关键是掌握百分位数位置的判定规则，区分整数位置和非整数位置对应的取值方法，能够结合计算得到的统计量对实际问题进行分析判断。
【难度系数】
0.7
1. 某电商平台12个店铺的月度销售额(单位:万元):18,22,25,28,30,33,35,38,42,45,48,52,则这组数据的第三四分位数为 （
A.42
B.43.5
C.45
D.46.5
B
）A.42
B.43.5
C.45
D.46.5
答案
1. B
解析
【分析】
要计算一组数据的第三四分位数，步骤如下：①先将数据按从小到大的顺序排列，本题给出的销售额数据已经是升序排列，无需重新排序；②计算第三四分位数的位置：第三四分位数对应75%分位数，位置计算公式为i = 数据总个数n × 75%；③根据i的取值确定分位数：若i为整数，则第三四分位数是第i个和第i+1个数据的平均值；若i不是整数，将i向上取整，对应位置的数就是第三四分位数。本题中n=12，代入公式计算即可得出结果。
【解析】
解：已知12个店铺的月度销售额已按从小到大排序为：18,22,25,28,30,33,35,38,42,45,48,52，数据总个数n=12。
第一步，计算第三四分位数的位置：
$i = 12 × 75\% = 9$，i为整数。
第二步，取排序后第9个和第10个数据求平均值：
第9个数据是42，第10个数据是45，因此第三四分位数为$\frac{42+45}{2}=43.5$。
【答案】
B
【知识点】
第三四分位数计算；百分位数计算
【点评】
本题属于统计部分的基础题型，核心考查第三四分位数的计算规则，解题时需注意当计算得到的分位位置为整数时，不能直接取对应位置的数值，要取该位置和后一位置两个数值的平均数，避免因记错规则选错答案。
【难度系数】
0.7
要计算一组数据的第三四分位数，步骤如下：①先将数据按从小到大的顺序排列，本题给出的销售额数据已经是升序排列，无需重新排序；②计算第三四分位数的位置：第三四分位数对应75%分位数，位置计算公式为i = 数据总个数n × 75%；③根据i的取值确定分位数：若i为整数，则第三四分位数是第i个和第i+1个数据的平均值；若i不是整数，将i向上取整，对应位置的数就是第三四分位数。本题中n=12，代入公式计算即可得出结果。
【解析】
解：已知12个店铺的月度销售额已按从小到大排序为：18,22,25,28,30,33,35,38,42,45,48,52，数据总个数n=12。
第一步，计算第三四分位数的位置：
$i = 12 × 75\% = 9$，i为整数。
第二步，取排序后第9个和第10个数据求平均值：
第9个数据是42，第10个数据是45，因此第三四分位数为$\frac{42+45}{2}=43.5$。
【答案】
B
【知识点】
第三四分位数计算；百分位数计算
【点评】
本题属于统计部分的基础题型，核心考查第三四分位数的计算规则，解题时需注意当计算得到的分位位置为整数时，不能直接取对应位置的数值，要取该位置和后一位置两个数值的平均数，避免因记错规则选错答案。
【难度系数】
0.7
2. 下列说法，错误的是（
A.一组数据的第一四分位数，又称为第25百分位数
B.计算一组数据的四分位数时，应先将数据按从小到大排序
C.一组样本容量为14的数据按从小到大排序后，第4个数据就是$m_{25}$
D.一组样本容量为16的数据按从小到大排序后，第8个数据就是$m_{50}$
D
）A.一组数据的第一四分位数，又称为第25百分位数
B.计算一组数据的四分位数时，应先将数据按从小到大排序
C.一组样本容量为14的数据按从小到大排序后，第4个数据就是$m_{25}$
D.一组样本容量为16的数据按从小到大排序后，第8个数据就是$m_{50}$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查百分位数（含四分位数）的概念与计算规则，解题时先明确百分位数的相关定义和计算步骤，再逐一验证每个选项的正误，最终选出错误选项。核心解题逻辑：首先牢记第25百分位数即第一四分位数、第50百分位数即中位数；其次计算百分位数前必须先将数据从小到大排序；最后通过“i=样本容量×对应百分位”计算位置，若i为整数，对应百分位数是第i和第i+1个数据的平均值，若i为小数，向上取整后对应位置的数就是该百分位数。
【解析】
我们逐一判断各选项：
A. 根据定义，第一四分位数就是第25百分位数，该说法正确，不符合题意；
B. 计算一组数据的四分位数时，第一步就是将数据按从小到大排序，该说法正确，不符合题意；
C. 样本容量为14时，第25百分位数的位置i=14×25%=3.5，i是小数，向上取整为4，因此第4个数据就是$m_{25}$，该说法正确，不符合题意；
D. 样本容量为16时，第50百分位数的位置i=16×50%=8，i是整数，此时$m_{50}$是第8个和第9个数据的平均值，并非仅第8个数据，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
百分位数的定义，百分位数的计算
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对百分位数计算规则的细节掌握，易错点是忽略“计算得到的位置为整数时，百分位数是相邻两个位置数据的平均数”这个规则，学习时要牢记计算步骤，避免遗漏细节。
【难度系数】
0.7
本题考查百分位数（含四分位数）的概念与计算规则，解题时先明确百分位数的相关定义和计算步骤，再逐一验证每个选项的正误，最终选出错误选项。核心解题逻辑：首先牢记第25百分位数即第一四分位数、第50百分位数即中位数；其次计算百分位数前必须先将数据从小到大排序；最后通过“i=样本容量×对应百分位”计算位置，若i为整数，对应百分位数是第i和第i+1个数据的平均值，若i为小数，向上取整后对应位置的数就是该百分位数。
【解析】
我们逐一判断各选项：
A. 根据定义，第一四分位数就是第25百分位数，该说法正确，不符合题意；
B. 计算一组数据的四分位数时，第一步就是将数据按从小到大排序，该说法正确，不符合题意；
C. 样本容量为14时，第25百分位数的位置i=14×25%=3.5，i是小数，向上取整为4，因此第4个数据就是$m_{25}$，该说法正确，不符合题意；
D. 样本容量为16时，第50百分位数的位置i=16×50%=8，i是整数，此时$m_{50}$是第8个和第9个数据的平均值，并非仅第8个数据，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
百分位数的定义，百分位数的计算
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对百分位数计算规则的细节掌握，易错点是忽略“计算得到的位置为整数时，百分位数是相邻两个位置数据的平均数”这个规则，学习时要牢记计算步骤，避免遗漏细节。
【难度系数】
0.7
