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例1 某校举办象棋友谊赛活动，甲、乙两名同学进行决赛，比赛规则规定：两同学之间进行3局比赛，3局比赛必须全部比完，只要赢满2局的同学为获胜，假如甲、乙两同学之间每局比赛输赢的机会相同，且乙同学已经赢得了第1局比赛，那么甲同学获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
答案
画树状图如下：
由树状图可知共有4种等可能结果,其中甲获胜的由1种结果,
∴甲获胜的概率为:P(甲获胜)=$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
解题时先明确已知条件：比赛为3局2胜制，第1局乙已获胜，每局甲乙获胜的可能性相等，求甲最终获胜的概率。首先推导甲获胜的前提：甲目前胜局为0，要达到总胜局2局，必须剩余的第2、3局全部获胜；接下来用树状图列举出第2、3局所有等可能的结果，再找出甲两局全胜的结果数，最后根据等可能事件的概率公式计算即可。
【解析】
已知第1局乙已经获胜，只需分析第2、3局的所有比赛结果，画树状图如下：
由树状图可得，第2、3局的比赛共有4种等可能的结果，分别为（甲胜，甲胜）、（甲胜，乙胜）、（乙胜，甲胜）、（乙胜，乙胜）。
甲要获得最终胜利，需要总胜局为2局，因此只有第2、3局均甲胜这1种符合要求的结果。
根据概率公式计算：$\rm P(甲获胜)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{1}{4}$。
【答案】
画树状图如下：
由树状图可知共有4种等可能结果,其中甲获胜的有1种结果,
∴甲获胜的概率为:P(甲获胜)=$\frac{1}{4}$
【知识点】
树状图列举法，等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率的基础应用类题目，解题的核心是先排除结果已确定的比赛场次，仅对剩余场次的所有可能进行列举，注意不要把已经结束的比赛纳入列举范围，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时先明确已知条件：比赛为3局2胜制，第1局乙已获胜，每局甲乙获胜的可能性相等，求甲最终获胜的概率。首先推导甲获胜的前提：甲目前胜局为0，要达到总胜局2局，必须剩余的第2、3局全部获胜；接下来用树状图列举出第2、3局所有等可能的结果，再找出甲两局全胜的结果数，最后根据等可能事件的概率公式计算即可。
【解析】
已知第1局乙已经获胜，只需分析第2、3局的所有比赛结果，画树状图如下：
由树状图可得，第2、3局的比赛共有4种等可能的结果，分别为（甲胜，甲胜）、（甲胜，乙胜）、（乙胜，甲胜）、（乙胜，乙胜）。
甲要获得最终胜利，需要总胜局为2局，因此只有第2、3局均甲胜这1种符合要求的结果。
根据概率公式计算：$\rm P(甲获胜)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{1}{4}$。
【答案】
画树状图如下：
由树状图可知共有4种等可能结果,其中甲获胜的有1种结果,
∴甲获胜的概率为:P(甲获胜)=$\frac{1}{4}$
【知识点】
树状图列举法，等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率的基础应用类题目，解题的核心是先排除结果已确定的比赛场次，仅对剩余场次的所有可能进行列举，注意不要把已经结束的比赛纳入列举范围，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
例2 一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1,1,2,3.这些小球除标有的数字外都相同.
（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率.
（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为
$\frac{1}{2}$
.（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率.
答案
(1) 由题意可得,从袋中机摸出一个小球,则摸出的这个小球上标有的数字是 1 的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
(2) 树状图如下：
两数之积 1 1 2 3 1 1 2 3 2 2 4 6 3 3 6 9
由上可得,一共有 16 种等可能性,其中两数之积是偶数的可能性有 7 种,
∴摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率$\frac{7}{16}$
解析
【分析】
（1）第一问属于单步概率计算，直接利用概率公式求解即可：先明确总共有多少种等可能的摸球结果，再找到摸出数字为1的结果数，二者的比值就是所求概率。
（2）第二问是放回型的两步概率问题，通过画树状图可以完整列举出两次摸球所有的等可能结果，再从中筛选出两数之积为偶数的结果数，最后代入概率公式计算即可得到答案。
【解析】
（1）袋中一共有4个除数字外完全相同的小球，摸出任意一个小球是等可能事件，其中标有数字1的小球共有2个，
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得摸出数字是1的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
（2）由题意可知两次摸球为放回试验，第一次和第二次摸球的结果相互独立，画树状图如下：
由树状图可得，两次摸球一共有$4×4=16$种等可能的结果，
计算所有组合的两数之积分别为：1、1、2、3、1、1、2、3、2、2、4、6、3、3、6、9，
其中两数之积为偶数的结果共有7种，
因此摸出的两个小球上标有的数字之积是偶数的概率为$\frac{7}{16}$。
【答案】
（1）$\boxed{\frac{1}{2}}$
（2）树状图：，概率为$\boxed{\frac{7}{16}}$
【知识点】
概率公式，树状图法求概率，放回型概率计算
【点评】
本题是概率计算的常规基础题，第一问直接考查基础概率公式的应用，第二问考查用树状图解决两步概率问题的能力，解题时要注意区分放回和不放回试验的区别，列举结果时要做到不重不漏，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于单步概率计算，直接利用概率公式求解即可：先明确总共有多少种等可能的摸球结果，再找到摸出数字为1的结果数，二者的比值就是所求概率。
（2）第二问是放回型的两步概率问题，通过画树状图可以完整列举出两次摸球所有的等可能结果，再从中筛选出两数之积为偶数的结果数，最后代入概率公式计算即可得到答案。
【解析】
（1）袋中一共有4个除数字外完全相同的小球，摸出任意一个小球是等可能事件，其中标有数字1的小球共有2个，
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得摸出数字是1的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
（2）由题意可知两次摸球为放回试验，第一次和第二次摸球的结果相互独立，画树状图如下：
由树状图可得，两次摸球一共有$4×4=16$种等可能的结果，
计算所有组合的两数之积分别为：1、1、2、3、1、1、2、3、2、2、4、6、3、3、6、9，
其中两数之积为偶数的结果共有7种，
因此摸出的两个小球上标有的数字之积是偶数的概率为$\frac{7}{16}$。
【答案】
（1）$\boxed{\frac{1}{2}}$
（2）树状图：
，概率为$\boxed{\frac{7}{16}}$【知识点】
概率公式，树状图法求概率，放回型概率计算
【点评】
本题是概率计算的常规基础题，第一问直接考查基础概率公式的应用，第二问考查用树状图解决两步概率问题的能力，解题时要注意区分放回和不放回试验的区别，列举结果时要做到不重不漏，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
1. 一个袋子里装有一双红色、一双绿色手套，两双手套除颜色外，其他完全相同，随机地从袋中摸出两只，恰好是一双的概率（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
1. B
解析
【分析】
本题是等可能条件下的概率计算问题，解题核心是先求出摸出两只手套的所有等可能结果数，再求出恰好配成一双的结果数，最后利用概率公式计算即可。思考时可先对4只手套做标记，用列举法罗列出所有不重复的摸取结果，注意摸两只手套无需考虑顺序，避免重复计数。
【解析】
我们先给4只手套做标记：两只红色手套分别记为红₁、红₂，两只绿色手套分别记为绿₁、绿₂。
随机摸出两只手套，所有等可能的结果（不考虑摸取顺序）有：（红₁，红₂）、（红₁，绿₁）、（红₁，绿₂）、（红₂，绿₁）、（红₂，绿₂）、（绿₁，绿₂），共6种。
其中恰好是一双的结果有（红₁，红₂）、（绿₁，绿₂），共2种。
根据概率公式$P=\frac{所求情况数}{总情况数}$，可得：
$P(恰好是一双)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算、列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的结果，计算时要注意区分摸取事件是否考虑顺序，避免因重复计数或漏算导致结果错误。
【难度系数】
0.7
本题是等可能条件下的概率计算问题，解题核心是先求出摸出两只手套的所有等可能结果数，再求出恰好配成一双的结果数，最后利用概率公式计算即可。思考时可先对4只手套做标记，用列举法罗列出所有不重复的摸取结果，注意摸两只手套无需考虑顺序，避免重复计数。
【解析】
我们先给4只手套做标记：两只红色手套分别记为红₁、红₂，两只绿色手套分别记为绿₁、绿₂。
随机摸出两只手套，所有等可能的结果（不考虑摸取顺序）有：（红₁，红₂）、（红₁，绿₁）、（红₁，绿₂）、（红₂，绿₁）、（红₂，绿₂）、（绿₁，绿₂），共6种。
其中恰好是一双的结果有（红₁，红₂）、（绿₁，绿₂），共2种。
根据概率公式$P=\frac{所求情况数}{总情况数}$，可得：
$P(恰好是一双)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算、列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的结果，计算时要注意区分摸取事件是否考虑顺序，避免因重复计数或漏算导致结果错误。
【难度系数】
0.7
2. 某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等.某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
C
）A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
2. C
解析
【分析】
这是一道等可能条件下的概率计算题，解题思路如下：首先明确甲、乙两人各自选择车厢都是独立的等可能事件，我们可以先计算出两人选择车厢的所有等可能结果总数，再找出两人选择同一节车厢的结果数，最后利用概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可得到结果。
【解析】
我们将3节车厢分别记为1号、2号、3号。
甲选择车厢有3种等可能的结果，乙选择车厢也有3种等可能的结果，因此两人选择车厢的所有等可能结果共有$3×3=9$种，分别为：$(1,1)$、$(1,2)$、$(1,3)$、$(2,1)$、$(2,2)$、$(2,3)$、$(3,1)$、$(3,2)$、$(3,3)$。
其中甲和乙从同一节车厢上车的结果有$(1,1)$、$(2,2)$、$(3,3)$，共3种。
根据概率计算公式可得：
$P(\mathrm{甲和乙从同一节车厢上车})=\frac{\mathrm{同车厢的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法求概率
【点评】
本题是概率部分的基础题型，核心考查对等可能事件概率公式的理解和运用，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的结果，熟练掌握后可以快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道等可能条件下的概率计算题，解题思路如下：首先明确甲、乙两人各自选择车厢都是独立的等可能事件，我们可以先计算出两人选择车厢的所有等可能结果总数，再找出两人选择同一节车厢的结果数，最后利用概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可得到结果。
【解析】
我们将3节车厢分别记为1号、2号、3号。
甲选择车厢有3种等可能的结果，乙选择车厢也有3种等可能的结果，因此两人选择车厢的所有等可能结果共有$3×3=9$种，分别为：$(1,1)$、$(1,2)$、$(1,3)$、$(2,1)$、$(2,2)$、$(2,3)$、$(3,1)$、$(3,2)$、$(3,3)$。
其中甲和乙从同一节车厢上车的结果有$(1,1)$、$(2,2)$、$(3,3)$，共3种。
根据概率计算公式可得：
$P(\mathrm{甲和乙从同一节车厢上车})=\frac{\mathrm{同车厢的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法求概率
【点评】
本题是概率部分的基础题型，核心考查对等可能事件概率公式的理解和运用，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的结果，熟练掌握后可以快速求解。
【难度系数】
0.8
