1 [2025 金华婺城期末]如图，△ABC∽△AED，∠ADE=80°，∠A=60°，则∠C的度数为（）

A.$20°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$80°$

1. D

2 [2025长春]将直角三角形纸片$ABC(∠C=90°)$按如图所示的方式折叠两次再展开，下列结论错误的是 ()


A.$MN// DE// PQ$
B.$BC=2DE=4MN$
C.$AN=BQ=\frac{1}{2}NQ$
D.$\frac{MN}{DE}=\frac{DE}{PQ}=\frac{PQ}{BC}$

2. D

3 如图,在△ABC中,∠A=45°,BD⊥AC,垂足为D,CE⊥AB,垂足为E,连结DE.若$DE=3\sqrt{2},$则BC=.

3. 6

4 如图,过$△ ABC$内任一点$P$,作$DE// BC$,
$GF// AC$,$KH// AB$,则$\frac{DE}{BC}+\frac{GF}{AC}+\frac{KH}{AB}=$.

4. 2

5 [2025 嘉兴二模]如图，线段AD，BC交于点E，连结AB，CD。若∠A=∠C，AE=2，BE=3，DE=5，则CE的长为（）

A.$\dfrac{6}{5}$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$\dfrac{10}{3}$
D.$\dfrac{15}{2}$

5. C

6[2024陕西]如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H.若AB=6,CE=2,则DH的长为 ()

A.2
B.3
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{8}{3}$

6. B

7 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,AB=AC$,将$AC$绕点$C$按顺时针方向旋转$60°$得到$DC$,连结$BD$,交$AC$于点$E$,则$\frac{AE}{AB}=$.

7. $2-\sqrt{3}$ 解析:如图，连结AD. 因为将AC绕点C按顺时针方向旋转60°得到DC，所以$∠ACD=60°$，$AC=CD$. 所以$△ACD$是等边三角形. 所以$AC=AD=CD$，$∠ADC=∠CAD=60°$. 设$AC=AD=CD=a$，则$AB=AC=a$. 取AC的中点H，连结DH. 所以$AH=CH=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a$，$∠AHD=90°$. 所以$DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$. 设$AE=x$，则$EH=AH-AE=\frac{1}{2}a-x$. 因为$∠BAC=90°$，所以$∠BAE=∠DHE$. 因为$∠AEB=∠HED$，所以$△AEB∽△HED$. 所以$\frac{AE}{HE}=\frac{AB}{HD}$，即$\frac{x}{\frac{1}{2}a-x}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}$. 所以$x=(2-\sqrt{3})a$，即$AE=(2-\sqrt{3})a$. 所以$\frac{AE}{AB}=2-\sqrt{3}$.

8 [2026 杭州期中]如图，$△ ABC ∽ △ EDC$，$AC:EC = 2:3$。若$AB$ 的长为6，求$DE$的长。

8. 因为$△ABC∽△EDC$，$AC:EC=2:3$，所以$AB:ED=AC:EC=2:3$. 又因为$AB=6$，所以$DE=9$