8 如图，在$△ ABC$中，D为边BC上一点，$BC=\sqrt{3}AB=3BD$，则$AD:AC$的值为。

8. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

9 如图,在正方形ABCD中,E是边AD的中点,点F在边CD上,且$CF=3FD$,连结BE,EF,则$△ ABE$与$△ DEF$相似吗?请说明理由.

9. $△ABE∽△DEF$ 理由:设正方形ABCD的边长为a，则$AB=AD=DC=a$. 因为E是边AD的中点，$CF=3FD$，所以$AE=DE=\frac{1}{2}a$，$DF=\frac{1}{4}a$. 因为$\frac{AB}{DE}=\frac{a}{\frac{1}{2}a}=2$，$\frac{AE}{DF}=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{4}a}=2$，所以$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$. 又因为在正方形ABCD中，$∠A=∠D=90°$，所以$△ABE∽△DEF$.

10 分类讨论思想 如图，在$△ ABC$中，$AB = 6\ \mathrm{cm}$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，动点$D$从点$A$出发到点$B$停止，动点$E$从点$C$出发到点$A$停止。点$D$的运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，点$E$的运动速度为$2\ \mathrm{cm/s}$。如果两点同时出发，要使以$A$，$D$，$E$为顶点的三角形与$△ ABC$相似，求运动时间。

10. 设运动时间为x s，则$AD=x\ \mathrm{cm}$，$CE=2x\ \mathrm{cm}$. 所以$AE=(12-2x)\ \mathrm{cm}$. ① 若$△ADE∽△ABC$，因为$∠A=∠A$，所以只要使$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$即可. 所以$\frac{x}{6}=\frac{12-2x}{12}$，解得$x=3$. ② 若$△AED∽△ABC$，因为$∠A=∠A$，所以只要使$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{x}{12}=\frac{12-2x}{6}$，解得$x=4.8$. 综上所述，当运动时间为3 s或4.8 s时，以A，D，E为顶点的三角形与$△ABC$相似

11 如图,在四边形 ABCD 中,F,M 分别是AB,BC 的中点,AC⊥BD 于点 E,BN 平分∠ABE,交 AM 于点 N,AB=AC=BD,连结 MF,NF.
(1) 判断△BMN 的形状,并证明你的结论;
(2) 判断△MFN 与△BDC 之间的关系,并说明理由.

11. (1)$△BMN$是等腰直角三角形 因为AB=AC，M是BC的中点，所以$AM⊥BC$，AM平分$∠BAC$. 所以$∠BMN=90°$，$∠BAN=\frac{1}{2}∠BAC$. 因为$AC⊥BD$，所以$∠AEB=90°$. 所以$∠BAE+∠ABE=90°$. 因为BN平分$∠ABE$，所以$∠ABN=\frac{1}{2}∠ABE$. 所以$∠MNB=∠BAN+∠ABN=\frac{1}{2}(∠BAE+∠ABE)=\frac{1}{2}×90°=45°$. 又因为$∠BMN=90°$，所以$∠MBN=∠MNB=45°$. 所以$MB=MN$. 所以$△BMN$是等腰直角三角形 (2)$△MFN∽△BDC$ 理由:因为F，M分别是AB，BC的中点，所以MF是$△ABC$的中位线. 所以$MF// AC$，且$MF=\frac{1}{2}AC$. 又因为$AC=BD$，所以$MF=\frac{1}{2}BD$，即$\frac{MF}{BD}=\frac{1}{2}$. 由(1)，得$△BMN$是等腰直角三角形，$MN=BM$. 又因为M是BC的中点，所以$MN=BM=\frac{1}{2}BC$. 所以$\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}$. 所以$\frac{MF}{BD}=\frac{MN}{BC}$. 因为$∠BMN=90°$，所以$∠NMF+∠BMF=90°$. 设BD与FM相交于点H. 因为$MF// AC$，所以$∠FHB=∠AEB=90°$. 所以$∠CBD+∠BMF=90°$. 所以$∠NMF=∠CBD$. 所以$△MFN∽△BDC$.