9 如图，AB 为路灯主杆，AE 为路灯的悬臂，AE 的长为 3 m，CD 是长为 1.8 m 的标杆，路灯悬臂 AE 与地面 BG 平行. 当标杆竖直立于地面时，路灯主杆顶端 A、标杆顶端 D 和地面上一点 G 在同一条直线上，此时路灯 E、标杆顶端 D 和地面上另一点 F 也在同一条直线上（路灯主杆底端 B、标杆底端 C 和地面上点 F、点 G 在同一条水平线上）. 若 FG 的长为 1.5 m，求路灯主杆 AB 的高度.

9. 延长AE，CD相交于点N. 因为$AE// BG$，所以易得$△AED∽△GFD$，$△END∽△FCD$. 所以$\frac{ED}{FD}=\frac{AE}{GF}=\frac{3}{1.5}=2$，$\frac{DN}{DC}=\frac{ED}{FD}$. 所以$\frac{DN}{DC}=2$. 又因为$CD=1.8\ \mathrm{m}$，所以$DN=1.8×2=3.6(\mathrm{m})$. 因为易得四边形ABCN是矩形，所以$AB=CN=DN+CD=3.6+1.8=5.4(\mathrm{m})$. 所以路灯主杆AB的高度为5.4 m

10 如图,在等边三角形ABC中,D,E分别在边BC,AC上.若$BD=3$,$CE=2$,$∠ ADE=60°$,则$△ ABC$的边长为 ()

A.15
B.12
C.9
D.6
（第10题）

10. C

11 如图，$AB⊥BD$，$ED⊥BD$，C是线段BD的中点，且$AC⊥CE$。若$ED=1$，$BD=4$，则$AB=$。

11. 4

12 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=6$，$∠ BAC=120°$，$D$是$BC$的中点，边$AB$上有一点$E$，$CA$的延长线上有一点$F$，且$∠ EDF=∠ C$。若$BE=4$，则$CF=$。

12. $\frac{27}{4}$

13 定义:在$△ ABC$中，$D,E,F$分别是边$AB$，$BC$，$CA$上的动点，若$△ DEF ∽ △ ABC$，则称$△ DEF$是$△ ABC$的“子三角形”.
(1) 如图①，$△ ABC$是等边三角形，$D,E,F$分别是边$AB,BC,CA$上的动点，且$AD=BE=CF$. 求证:$△ DEF$是$△ ABC$的“子三角形”.
(2) 如图②，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=90°$，$△ DEF$是$△ ABC$的“子三角形”. 若$BE=\sqrt{2}$，求$CF$和$AD$的长.

13. (1) 因为$△ABC$是等边三角形，所以$AB=BC=AC$，$∠A=∠B=∠C=60°$. 因为$AD=BE=CF$，所以$AC-CF=AB-AD=BC-BE$，即$AF=BD=CE$. 所以易得$△DAF≌△EBD≌△FCE$. 所以$DF=ED=FE$. 所以$△DEF$是等边三角形. 所以$∠DEF=∠EDF=∠B=∠A=60°$. 所以$△DEF∽△ABC$. 所以$△DEF$是$△ABC$的“子三角形” (2) 过点E作$EH⊥AB$于点H，则$∠DHE=90°$. 因为$AB=AC$，$∠A=90°$，所以$∠B=∠C=45°$. 因为$△DEF$是$△ABC$的“子三角形”，所以$△DEF∽△ABC$. 所以易得$∠DEF=∠B=45°$，$DE=FD$，$∠EDF=90°$. 所以$∠ADF+∠HDE=90°$. 在Rt△DEF中，由勾股定理，易得$EF=\sqrt{2}DE$. 因为$∠A=90°$，所以$∠ADF+∠AFD=90°$. 所以$∠HDE = ∠AFD$. 在$△DEH$ 和 $△FDA$ 中，$\begin{cases}∠DHE=∠A,\\∠HDE=∠AFD,\\DE=FD,\end{cases}$所以$△DEH≌△FDA$. 所以$HE=AD$. 因为易知$△BEH$是等腰直角三角形，又因为$BE=\sqrt{2}$，所以易得$HE=1$. 所以$AD=1$. 因为$∠DEC=∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE$，$∠B=∠DEF$，所以$∠BDE=∠CEF$. 又因为$∠B=∠C$，所以$△BDE∽△CEF$. 所以$\frac{BE}{CF}=\frac{DE}{EF}=\frac{DE}{\sqrt{2}DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 所以$CF=2$