10.【整体思想】若$m^2=1-2m$，则$m^2-3+2m$的值是（）

A.1
B.0
C.-1
D.-2

10.D

【分析】
本题可利用整体代入的思想求解，不需要计算出m的具体值。首先观察已知等式和所求代数式的结构：已知条件给出$m^2=1-2m$，可变形得到$m^2+2m=1$，再看所求代数式$m^2-3+2m$，整理后刚好含有整体$m^2+2m$，将整体的值代入即可快速算出结果；也可以直接把$m^2=1-2m$代入所求代数式，通过化简得到结果。
【解析】
方法1：整体代入变形
已知$m^2=1-2m$，移项可得$m^2 + 2m = 1$。
对所求代数式整理得：$m^2 - 3 + 2m = (m^2 + 2m) - 3$。
将$m^2 + 2m =1$代入上式，可得：
原式$=1 - 3 = -2$。
方法2：直接代入消元
将$m^2=1-2m$直接代入$m^2 - 3 + 2m$中，可得：
原式$=(1-2m) -3 + 2m = 1 - 2m -3 + 2m = -2$。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查整体代入的解题思路，通过观察已知条件和待求式的结构共性，找到可以整体替换的部分，能避免求解未知数的复杂运算，简化计算过程。
【难度系数】
0.8

【变式】(江苏南通)若$a^2 -4a -12=0$，则$2a^2 -8a -8$的值为（）

A.24
B.20
C.18
D.16

【变式】D

【分析】
观察已知等式和待求代数式的结构可以发现，待求式的前两项$2a^2-8a$是已知式中$a^2-4a$的2倍，因此不需要求出$a$的具体值，先通过已知等式求出$a^2-4a$的值，再用整体代入的方法计算待求代数式的值即可，该方法简便且符合当前学段的知识要求。
【解析】
解：已知$a^2 -4a -12=0$，
根据等式的性质移项得：$a^2 -4a = 12$。
对待求式变形提取公因式2得：
$2a^2 -8a -8 = 2(a^2 -4a) -8$，
将$a^2 -4a =12$代入上式计算：
原式$=2×12 -8 =24 -8 =16$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值、整体代入法、等式的性质
【点评】
本题是代数式求值的基础常见题型，核心考查整体代入的解题思想，避开了求解未知数的复杂步骤，是代数式求值类问题的常用技巧，熟练掌握整式的变形方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7

11.(芜湖无为市期末)历史上，数学家欧拉最先把关于$x$的多项式用记号$f(x)$来表示，把$x$等于某数$a$时的多项式的值用$f(a)$来表示，例如$x=-1$时，多项式$f(x)=x^2+3x-5$的值记为$f(-1)$，那么$f(-1)$等于（）

A.$-7$
B.$-9$
C.$-3$
D.$-1$

11.A

【分析】
本题考查代数式的代入求值，解题时首先要理解题中给出的$f(a)$的含义：$f(a)$就是将多项式$f(x)$中的$x$替换为$a$，再按照有理数的运算顺序计算结果即可。本题中求$f(-1)$，只需将$x=-1$代入给定的多项式，依次计算乘方、乘法，最后计算加减就能得到结果。
【解析】
根据题意，求$f(-1)$就是将$x=-1$代入多项式$f(x)=x^2+3x-5$中计算：
1. 代入$x=-1$得：$f(-1)=(-1)^2 + 3×(-1) -5$
2. 计算乘方：$(-1)^2=1$
3. 计算乘法：$3×(-1)=-3$
4. 计算加减：$1 + (-3) -5 = 1-3-5 = -7$
【答案】
A
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是基础题型，重点考查对新定义记号的理解能力和代数式求值的运算能力，只要准确代入数值，遵循有理数运算顺序计算即可得分。
【难度系数】
0.8

12.按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是。

12.1

【分析】
该题是根据程序框图求输入值的问题，解题需分情况讨论：首先根据判断条件“x＞0”将情况分为两类，分别代入对应y的表达式列方程求解，再检验求得的x是否满足该情况的取值范围，舍去不符合条件的解，即可得到正确的输入值。
【解析】
已知输出y的值为2，分两种情况讨论：
1. 当x＞0时，代入表达式$ y=\frac{1}{x}+1 $，得：
$ 2=\frac{1}{x}+1 $
移项计算得$ \frac{1}{x}=1 $，解得$ x=1 $，满足x＞0的条件，符合要求。
2. 当x≤0时，代入表达式$ y=2x-1 $，得：
$ 2=2x-1 $
移项计算得$ 2x=3 $，解得$ x=1.5 $，不符合x≤0的条件，故舍去该解。
综上，输入x的值为1。
【答案】
1
【知识点】
代数式求值；分类讨论思想；解一元一次方程
【点评】
本题结合程序框图考查代数式的相关计算，解题的关键是明确不同取值范围对应的代数式，求解后要注意检验解是否符合对应范围，避免多解出错。
【难度系数】
0.7

13.学校图书馆购进一批图书,每册定价m元,另加10%的邮费.若购进n册,则需付金额为元;当$m=10.5,n=10$时,需付金额为元.

13. $(1+10\%)mn\quad 115.5$

【分析】
解题时先解决第一个空：首先明确总金额的计算逻辑为“总金额=每册实际花费×购买册数”。先算每册实际花费：定价为m元，需额外加10%的邮费，即邮费为10%m元，因此每册总花费为定价加邮费，整理后得到每册花费为(1+10%)m元；再乘购买的册数n，即可得到总金额的代数式。接着解决第二个空：将给出的m、n的数值直接代入刚才得到的代数式中，按照运算顺序计算即可求出具体需付金额。
【解析】
1. 求总金额的代数式：
每册图书的邮费为定价的10%，即10%m元，因此每册实际花费为：
$m + 10\%m = (1+10\%)m$（元）
购进n册的总金额为每册花费乘册数，即：
$(1+10\%)m × n = (1+10\%)mn$（元）
2. 代入数值计算：
将$m=10.5$，$n=10$代入$(1+10\%)mn$中，其中$1+10\%=1.1$，可得：
$1.1 × 10.5 × 10 = 1.1 × 105 = 115.5$（元）
【答案】
$(1+10\%)mn$；$115.5$
【知识点】
列代数式；代数式求值；百分数的实际应用
【点评】
本题属于基础应用题，结合生活场景考查代数式的相关知识，解题的核心是理清题中的数量关系，先正确列出表示总金额的代数式，代入求值时注意运算的准确性即可。
【难度系数】
0.85

14. 当$a=-\frac{1}{2},b=-3$时，求下列代数式的值.
(1)$\frac{a+2b}{a-2b};$
(2)$4a^2 -4ab +5b -4a^2b.$

14. 解:(1)当$a=-\frac{1}{2}$,$b=-3$时,$\frac{a+2b}{a-2b}=\frac{-\frac{1}{2}+2×(-3)}{-\frac{1}{2}-2×(-3)}=-\frac{13}{11}$;(2)当$a=-\frac{1}{2},b=-3$时,$4a^2-4ab+5b-4a^2b=4×(-\frac{1}{2})^2-4×(-\frac{1}{2})×(-3)+5×(-3)-4×(-\frac{1}{2})^2×(-3)=1-6-15+3=-17$.

【分析】
本题考查代数式求值，解题思路分为两步：第一步是“代入”，将给定的a、b的值准确代入对应的代数式中，注意代入负数时如果参与乘方、乘法运算，必要时添括号避免符号错误；第二步是“计算”，按照有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的，分别计算两小问的结果即可。
【解析】
(1) 当$a=-\frac{1}{2}$，$b=-3$时，将a、b代入代数式得：
$\begin{aligned}\frac{a+2b}{a-2b}&=\frac{-\frac{1}{2}+2×(-3)}{-\frac{1}{2}-2×(-3)}\\&=\frac{-\frac{1}{2}-6}{-\frac{1}{2}+6}\\&=\frac{-\frac{13}{2}}{\frac{11}{2}}\\&=-\frac{13}{11}\end{aligned}$
(2) 当$a=-\frac{1}{2}$，$b=-3$时，将a、b代入代数式得：
$\begin{aligned}4a^2 -4ab +5b -4a^2b&=4×(-\frac{1}{2})^2-4×(-\frac{1}{2})×(-3)+5×(-3)-4×(-\frac{1}{2})^2×(-3)\\&=4×\frac{1}{4}-6-15+3\\&=1-6-15+3\\&=-17\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\frac{13}{11}$；(2)$-17$
【知识点】
代数式求值、有理数混合运算、乘方运算
【点评】
本题属于代数式求值的基础常规题，核心考查运算能力，解题时需格外注意负数参与运算时的符号判断，严格遵循有理数运算顺序计算即可，计算过程中建议分步计算降低出错概率。
【难度系数】
0.75

15.(教材$\mathrm{P}_{72}$习题$\mathrm{T}_{4}$变式)如图,长方形$ABCD$的长是$a$,宽是$b$,分别以$A,B$为圆心,$b$为半径作扇形.$(a＞2b)$
(1)用代数式表示阴影部分的周长$L$和面积$S$;
(2)当$a=5,b=2$时,分别求$L$和$S$的值.

15. 解:(1)$L=\frac{1}{4}×2π b×2+a+a-2b=2a-2b+π b$,$S=ab-\frac{1}{4}×π b^2×2=ab-\frac{1}{2}π b^2$;(2)当$a=5,b=2$时,$L=2×5-2×2+2π=6+2π$,$S=5×2-\frac{1}{2}π×2^2=10-2π$.

【分析】
解题时先拆分所求量的组成部分：
1. 求阴影周长：先观察阴影的边，包含2段弧长和2段直边：每段弧是半径为$b$的四分之一圆的弧长，2段弧合起来是半圆弧长；上方直边长度等于长方形长$a$，下方直边长度是长方形长减去2个半径$b$即$a-2b$，将各部分相加即为总周长。
2. 求阴影面积：用割补法，阴影面积等于长方形面积减去2个四分之一扇形的面积，2个四分之一扇形可拼成半径为$b$的半圆，用长方形面积减半圆面积即可。
3. 第(2)问只需将$a$、$b$的数值代入第(1)问得到的代数式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 计算周长$L$：
每段扇形弧长为$\frac{1}{4} × 2π b$，两段弧长总和为$2 × \frac{1}{4} × 2π b = π b$
直边部分总长度为$a + (a - 2b) = 2a - 2b$
因此$L = 2a - 2b + π b$
计算面积$S$：
长方形面积为$ab$，两个扇形面积总和为$2 × \frac{1}{4} × π b^2 = \frac{1}{2}π b^2$
因此$S = ab - \frac{1}{2}π b^2$
(2) 当$a=5, b=2$时：
代入周长公式：$L = 2×5 - 2×2 + π ×2 = 10 - 4 + 2π = 6 + 2π$
代入面积公式：$S = 5×2 - \frac{1}{2}π × 2^2 = 10 - 2π$
【答案】
(1) $L=2a-2b+π b$，$S=ab-\frac{1}{2}π b^2$；
(2) $L=6+2π$，$S=10-2π$
【知识点】
列代数式；代数式求值；扇形周长面积计算
【点评】
本题考查图形与代数式的结合应用，解题核心是准确识别阴影部分的周长组成、灵活运用割补法计算不规则图形的面积，代入数值计算时要注意运算顺序，避免出错。
【难度系数】
0.75

16.(1)根据表中所给$a,b$的值,计算$(a-b)^2$与$a^2-2ab+b^2$的值,并将计算结果填入表中；

(2)结合(1)的计算结果,你能够得出的结论为;(用含$a,b$的式子表示)
(3)请你利用得出的结论进行简便运算:
$789^2 - 2×789×689 + 689^2$.

16. 解:(1)4 1 25 4 4 1 25 4 (2)$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ (3)原式$=(789-689)^2=100^2=10\ 000$.

【分析】
解决本题分三步：第(1)问只需将每组对应的a、b值分别代入两个代数式，按有理数运算规则计算出结果即可；第(2)问对比同一组a、b下两个代数式的计算结果，发现数值均相等，即可总结出对应的等式结论；第(3)问观察待计算式子的结构，和所得结论中$a^2-2ab+b^2$的结构完全匹配，直接转化为$(a-b)^2$的形式计算，大幅简化运算步骤。
【解析】
(1) 分别代入计算：
①当$a=1,b=-1$时：
$(a-b)^2=(1-(-1))^2=2^2=4$，
$a^2-2ab+b^2=1^2-2×1×(-1)+(-1)^2=1+2+1=4$；
②当$a=2,b=1$时：
$(a-b)^2=(2-1)^2=1^2=1$，
$a^2-2ab+b^2=2^2-2×2×1+1^2=4-4+1=1$；
③当$a=3,b=-2$时：
$(a-b)^2=(3-(-2))^2=5^2=25$，
$a^2-2ab+b^2=3^2-2×3×(-2)+(-2)^2=9+12+4=25$；
④当$a=4,b=6$时：
$(a-b)^2=(4-6)^2=(-2)^2=4$，
$a^2-2ab+b^2=4^2-2×4×6+6^2=16-48+36=4$；
因此表格中$(a-b)^2$行依次填4、1、25、4，$a^2-2ab+b^2$行依次填4、1、25、4。
(2) 对比每组计算结果，两个代数式的值均相等，可得结论：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
(3) 观察算式$789^2 - 2×789×689 + 689^2$，符合$a^2-2ab+b^2$的形式，其中$a=789,b=689$，代入结论得：
原式$=(789-689)^2=100^2=10000$。
【答案】
(1)4、1、25、4、4、1、25、4；(2)$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；(3)$10000$
【知识点】
代数式求值、完全平方差公式、简便运算
【点评】
本题从具体数值的计算出发，引导学生自主推导完全平方差公式，再应用公式简化计算，既考查了代数式的基础计算能力，也体现了从特殊到一般的数学探究思路，解题时要注意观察式子结构，灵活运用公式降低计算量。
【难度系数】
0.8