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1.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + kx + 3 = 0$.
（1）利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若该一元二次方程的两个不相等的实数根分别为$x_1$、$x_2$，且满足$(x_1 - x_2)^2 = 4$，求$k$的值.
（1）利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若该一元二次方程的两个不相等的实数根分别为$x_1$、$x_2$，且满足$(x_1 - x_2)^2 = 4$，求$k$的值.
答案
(1)解:$\because a=1,b=k,c=3,\therefore \Delta =b^2-4ac=k^2-4×1×3=k^2-12,\therefore$当$k^2-12＜0$,即$-2\sqrt{3}＜k＜2\sqrt{3}$时,方程无实数根;当$k^2-12=0$,即$k=\pm2\sqrt{3}$时,方程有两个相等的实数根;当$k^2-12＞0$,即$k＜-2\sqrt{3}$或$k＞2\sqrt{3}$时,方程有两个不相等的实数根.
(2)$\because a=1,b=k,c=3,\therefore x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-k,x_1x_2=\frac{c}{a}=3,\therefore (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4,\therefore (-k)^2-4×3=4$,解得$k=4$或$k=-4$,所以$k$的值为4或$-4$.
(2)$\because a=1,b=k,c=3,\therefore x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-k,x_1x_2=\frac{c}{a}=3,\therefore (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4,\therefore (-k)^2-4×3=4$,解得$k=4$或$k=-4$,所以$k$的值为4或$-4$.
解析
【分析】
（1）判断一元二次方程根的情况的核心工具是根的判别式，首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式公式$\Delta =b^2-4ac$得到含参数k的表达式，再分$\Delta＜0$、$\Delta=0$、$\Delta＞0$三种情况讨论，即可对应得到方程不同根的情况对应的k的取值范围。
（2）已知两根差的平方的值，可利用完全平方公式将其变形为和两根之和、两根之积相关的式子，再结合根与系数的关系写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于k的表达式，代入变形后的等式即可求出k的值，最后验证所求k是否满足方程有两个不相等实数根的前提即可。
【解析】
(1) 解：在一元二次方程$x^2 + kx + 3 = 0$中，$a=1$，$b=k$，$c=3$，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac = k^2 - 4×1×3 = k^2 - 12$，
∴ 当$k^2-12＜0$，即$-2\sqrt{3}＜k＜2\sqrt{3}$时，方程无实数根；
当$k^2-12=0$，即$k=\pm2\sqrt{3}$时，方程有两个相等的实数根；
当$k^2-12＞0$，即$k＜-2\sqrt{3}$或$k＞2\sqrt{3}$时，方程有两个不相等的实数根。
(2) 解：由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-k$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=3$，
∵ $(x_1 - x_2)^2 = 4$，结合完全平方公式变形得：
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 4$，
将$x_1+x_2=-k$，$x_1x_2=3$代入上式得：
$(-k)^2 - 4×3 = 4$，
即$k^2=16$，解得$k=4$或$k=-4$，
验证得$k=\pm4$时，$\Delta=16-12=4＞0$，符合方程有两个不相等实数根的条件。
【答案】
(1) 当$-2\sqrt{3}＜k＜2\sqrt{3}$时方程无实数根；当$k=\pm2\sqrt{3}$时方程有两个相等的实数根；当$k＜-2\sqrt{3}$或$k＞2\sqrt{3}$时方程有两个不相等的实数根；
(2) $k$的值为$4$或$-4$。
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程性质的基础综合题，解题关键是熟练掌握判别式判断根的情况的规则，以及会对含两根的代数式做合理变形，结合韦达定理求解参数，注意求出参数后要验证是否符合题设的根的性质要求。
【难度系数】
0.7
（1）判断一元二次方程根的情况的核心工具是根的判别式，首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式公式$\Delta =b^2-4ac$得到含参数k的表达式，再分$\Delta＜0$、$\Delta=0$、$\Delta＞0$三种情况讨论，即可对应得到方程不同根的情况对应的k的取值范围。
（2）已知两根差的平方的值，可利用完全平方公式将其变形为和两根之和、两根之积相关的式子，再结合根与系数的关系写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于k的表达式，代入变形后的等式即可求出k的值，最后验证所求k是否满足方程有两个不相等实数根的前提即可。
【解析】
(1) 解：在一元二次方程$x^2 + kx + 3 = 0$中，$a=1$，$b=k$，$c=3$，
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac = k^2 - 4×1×3 = k^2 - 12$，
∴ 当$k^2-12＜0$，即$-2\sqrt{3}＜k＜2\sqrt{3}$时，方程无实数根；
当$k^2-12=0$，即$k=\pm2\sqrt{3}$时，方程有两个相等的实数根；
当$k^2-12＞0$，即$k＜-2\sqrt{3}$或$k＞2\sqrt{3}$时，方程有两个不相等的实数根。
(2) 解：由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-k$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=3$，
∵ $(x_1 - x_2)^2 = 4$，结合完全平方公式变形得：
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 4$，
将$x_1+x_2=-k$，$x_1x_2=3$代入上式得：
$(-k)^2 - 4×3 = 4$，
即$k^2=16$，解得$k=4$或$k=-4$，
验证得$k=\pm4$时，$\Delta=16-12=4＞0$，符合方程有两个不相等实数根的条件。
【答案】
(1) 当$-2\sqrt{3}＜k＜2\sqrt{3}$时方程无实数根；当$k=\pm2\sqrt{3}$时方程有两个相等的实数根；当$k＜-2\sqrt{3}$或$k＞2\sqrt{3}$时方程有两个不相等的实数根；
(2) $k$的值为$4$或$-4$。
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程性质的基础综合题，解题关键是熟练掌握判别式判断根的情况的规则，以及会对含两根的代数式做合理变形，结合韦达定理求解参数，注意求出参数后要验证是否符合题设的根的性质要求。
【难度系数】
0.7
2. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(1 - m)x + m^2 = 0$。
(1)若该方程有实数根，求$m$的取值范围；
(2)若$m = -1$时，方程的根为$x_1, x_2$，求$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$的值。
(1)若该方程有实数根，求$m$的取值范围；
(2)若$m = -1$时，方程的根为$x_1, x_2$，求$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$的值。
答案
(1)解:$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2-2(1-m)x+m^2=0$有实数根,则$\Delta =b^2-4ac≥0$,即$[-2(1-m)]^2-4×1× m^2≥0,\therefore m≤\frac{1}{2}$.
(2)当$m=-1$时,原方程为$x^2-4x+1=0$,则$x_1+x_2=4,x_1x_2=1.\therefore x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2×1=14.\therefore \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}=14$.
(2)当$m=-1$时,原方程为$x^2-4x+1=0$,则$x_1+x_2=4,x_1x_2=1.\therefore x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2×1=14.\therefore \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}=14$.
解析
【分析】
(1)遇到一元二次方程有实数根的问题，优先用根的判别式$\Delta$的性质求解：当$\Delta≥0$时，方程有实数根。先明确方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入判别式公式得到关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
(2)若直接求解方程的根再代入代数式计算会非常繁琐，因此选用根与系数的关系（韦达定理），先求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，再将待求的代数式$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$通分变形为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，最后代入数值计算即可。
【解析】
(1)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(1 - m)x + m^2 = 0$有实数根，根据根的判别式要求$\Delta = b^2 - 4ac≥0$，其中$a=1$，$b=-2(1-m)$，$c=m^2$，代入得：
$[-2(1-m)]^2 - 4×1× m^2≥0$
展开化简：
$4(1-2m+m^2)-4m^2≥0 \implies 4-8m≥0$
解得$m≤\frac{1}{2}$。
(2)当$m=-1$时，代入原方程得：
$x^2-4x+1=0$
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=1$。
将待求式变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：
$\frac{4^2-2×1}{1}=14$
【答案】
(1)$m≤\frac{1}{2}$；(2)$14$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；代数式化简
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问需牢记判别式和方程根的对应关系，注意计算不要出错；第二问通过代数式变形结合韦达定理求解，是这类代数式求值题型的常用技巧，可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
(1)遇到一元二次方程有实数根的问题，优先用根的判别式$\Delta$的性质求解：当$\Delta≥0$时，方程有实数根。先明确方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入判别式公式得到关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
(2)若直接求解方程的根再代入代数式计算会非常繁琐，因此选用根与系数的关系（韦达定理），先求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，再将待求的代数式$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$通分变形为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，最后代入数值计算即可。
【解析】
(1)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(1 - m)x + m^2 = 0$有实数根，根据根的判别式要求$\Delta = b^2 - 4ac≥0$，其中$a=1$，$b=-2(1-m)$，$c=m^2$，代入得：
$[-2(1-m)]^2 - 4×1× m^2≥0$
展开化简：
$4(1-2m+m^2)-4m^2≥0 \implies 4-8m≥0$
解得$m≤\frac{1}{2}$。
(2)当$m=-1$时，代入原方程得：
$x^2-4x+1=0$
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=1$。
将待求式变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：
$\frac{4^2-2×1}{1}=14$
【答案】
(1)$m≤\frac{1}{2}$；(2)$14$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；代数式化简
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问需牢记判别式和方程根的对应关系，注意计算不要出错；第二问通过代数式变形结合韦达定理求解，是这类代数式求值题型的常用技巧，可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
3. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 2x - 3m^2 = 0 $。
(1) 求证:方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两个实数根分别为 $ α, β $，且 $ α + 2β = 5 $，求 $ m $ 的值。
(1) 求证:方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两个实数根分别为 $ α, β $，且 $ α + 2β = 5 $，求 $ m $ 的值。
答案
(1)证明:$\because \Delta=(-2)^2-4×1×(-3m^2)=4+12m^2＞0,\therefore$方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:由题意,得$\begin{cases}α+β=2,\\α+2β=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}α=-1,\\β=3.\end{cases}$$\because αβ=-3m^2,\therefore -3m^2=-3$,解得$m=\pm1$.
(2)解:由题意,得$\begin{cases}α+β=2,\\α+2β=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}α=-1,\\β=3.\end{cases}$$\because αβ=-3m^2,\therefore -3m^2=-3$,解得$m=\pm1$.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心是判断根的判别式$\Delta$的符号：先确定方程中$a、b、c$的取值，代入$\Delta=b^2-4ac$计算，再结合平方的非负性即可证明$\Delta$恒大于0。
（2）已知方程两根为$α、β$，首先根据根与系数的关系可得$α+β$的定值，将其和已知条件$α+2β=5$联立，解二元一次方程组求出$α、β$的具体值，最后代入两根之积的关系式即可求出$m$的值。
【解析】
(1) 证明：在一元二次方程$x^2 - 2x - 3m^2 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-3m^2$，
则$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-3m^2) = 4 + 12m^2$，
$\because$ 无论$m$取何值，$m^2≥0$，$\therefore 12m^2≥0$，$\Delta=4+12m^2＞0$，
$\therefore$ 方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：根据根与系数的关系得：$α + β = 2$，
结合题意联立方程组：$\begin{cases}α + β = 2\\α + 2β = 5\end{cases}$，
两式相减得$β=3$，代入$α+β=2$得$α=-1$，即$\begin{cases}α = -1\\β = 3\end{cases}$，
再根据根与系数的关系，$αβ = -3m^2$，
将$α=-1、β=3$代入得：$(-1)×3=-3m^2$，
化简得$m^2=1$，解得$m=\pm1$。
【答案】
(1) 方程总有两个不相等的实数根得证；
(2) $m=\pm1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 解二元一次方程组
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，重点考查根的判别式和韦达定理的应用，解题的关键是牢记相关公式，灵活结合已知条件联立求解，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心是判断根的判别式$\Delta$的符号：先确定方程中$a、b、c$的取值，代入$\Delta=b^2-4ac$计算，再结合平方的非负性即可证明$\Delta$恒大于0。
（2）已知方程两根为$α、β$，首先根据根与系数的关系可得$α+β$的定值，将其和已知条件$α+2β=5$联立，解二元一次方程组求出$α、β$的具体值，最后代入两根之积的关系式即可求出$m$的值。
【解析】
(1) 证明：在一元二次方程$x^2 - 2x - 3m^2 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-3m^2$，
则$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-3m^2) = 4 + 12m^2$，
$\because$ 无论$m$取何值，$m^2≥0$，$\therefore 12m^2≥0$，$\Delta=4+12m^2＞0$，
$\therefore$ 方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：根据根与系数的关系得：$α + β = 2$，
结合题意联立方程组：$\begin{cases}α + β = 2\\α + 2β = 5\end{cases}$，
两式相减得$β=3$，代入$α+β=2$得$α=-1$，即$\begin{cases}α = -1\\β = 3\end{cases}$，
再根据根与系数的关系，$αβ = -3m^2$，
将$α=-1、β=3$代入得：$(-1)×3=-3m^2$，
化简得$m^2=1$，解得$m=\pm1$。
【答案】
(1) 方程总有两个不相等的实数根得证；
(2) $m=\pm1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 解二元一次方程组
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，重点考查根的判别式和韦达定理的应用，解题的关键是牢记相关公式，灵活结合已知条件联立求解，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
4.已知$□ ABCD$的两边$AB$,$AD$的长是关于$x$的方程$x^2 - mx + 3m=0$的两个实数根.
(1)当$m$为何值时,$□ ABCD$是菱形?求出这时菱形的边长;
(2)若$AB$的长为5,求$□ ABCD$的周长.
(1)当$m$为何值时,$□ ABCD$是菱形?求出这时菱形的边长;
(2)若$AB$的长为5,求$□ ABCD$的周长.
答案
(1)解:$\because □ ABCD$是菱形,$\therefore AB=AD.\therefore$方程$x^2-mx+3m=0$有两个相等的实数根.$\therefore \Delta=(-m)^2-12m=0.\therefore m_1=0$(舍去),$m_2=12$.当$m=12$时,$□ ABCD$是菱形,此时方程为$x^2-12x+36=0$,解得$x_1=x_2=6$,即菱形的边长为6.
(2)$\because AB,AD$的长是方程$x^2-mx+3m=0$的两个实数根,$AB=5,\therefore AB+AD=m$,$5$是方程的一个根.$\therefore 5^2-5m+3m=0$,解得$m=\frac{25}{2}.\therefore AB+AD=\frac{25}{2}.\therefore 2(AB+AD)=25.\therefore □ ABCD$的周长为25.
(2)$\because AB,AD$的长是方程$x^2-mx+3m=0$的两个实数根,$AB=5,\therefore AB+AD=m$,$5$是方程的一个根.$\therefore 5^2-5m+3m=0$,解得$m=\frac{25}{2}.\therefore AB+AD=\frac{25}{2}.\therefore 2(AB+AD)=25.\therefore □ ABCD$的周长为25.
解析
【分析】
(1) 若平行四边形ABCD是菱形，根据菱形邻边相等的性质可得AB=AD，即关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，因此可利用根的判别式Δ=0列方程求解m，再代入原方程求出相等的根即为菱形边长，注意舍去边长为0的不合理取值。
(2) 已知AB=5，说明x=5是原方程的一个根，代入方程可求出m的值，再根据根与系数的关系得到AB与AD的和，平行四边形周长为邻边和的2倍，代入计算即可得到周长。
【解析】
(1) $\because □ ABCD$是菱形，$\therefore AB=AD$，即方程$x^2 - mx + 3m=0$有两个相等的实数根。
$\therefore$ 判别式$\Delta=(-m)^2-4×1×3m=0$，即$m^2-12m=0$，解得$m_1=0$（此时方程根为0，边长不能为0，舍去），$m_2=12$。
当$m=12$时，原方程为$x^2-12x+36=0$，因式分解得$(x-6)^2=0$，解得$x_1=x_2=6$，即菱形的边长为6。
(2) $\because AB,AD$是方程$x^2 - mx + 3m=0$的两个实数根，且$AB=5$，$\therefore x=5$是方程的根，代入得：
$5^2-5m+3m=0$，解得$m=\frac{25}{2}$。
根据根与系数的关系，$AB+AD=m=\frac{25}{2}$，因此平行四边形周长为$2(AB+AD)=2×\frac{25}{2}=25$。
【答案】
(1) 当$m=12$时，$□ ABCD$是菱形，此时菱形的边长为6；
(2) $□ ABCD$的周长为25。
【知识点】
菱形的性质；一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题将几何图形性质与一元二次方程知识结合考查，解题关键是把图形边的数量关系转化为一元二次方程根的特征，既检验了基础性质的掌握情况，也锻炼了跨知识点综合应用的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 若平行四边形ABCD是菱形，根据菱形邻边相等的性质可得AB=AD，即关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，因此可利用根的判别式Δ=0列方程求解m，再代入原方程求出相等的根即为菱形边长，注意舍去边长为0的不合理取值。
(2) 已知AB=5，说明x=5是原方程的一个根，代入方程可求出m的值，再根据根与系数的关系得到AB与AD的和，平行四边形周长为邻边和的2倍，代入计算即可得到周长。
【解析】
(1) $\because □ ABCD$是菱形，$\therefore AB=AD$，即方程$x^2 - mx + 3m=0$有两个相等的实数根。
$\therefore$ 判别式$\Delta=(-m)^2-4×1×3m=0$，即$m^2-12m=0$，解得$m_1=0$（此时方程根为0，边长不能为0，舍去），$m_2=12$。
当$m=12$时，原方程为$x^2-12x+36=0$，因式分解得$(x-6)^2=0$，解得$x_1=x_2=6$，即菱形的边长为6。
(2) $\because AB,AD$是方程$x^2 - mx + 3m=0$的两个实数根，且$AB=5$，$\therefore x=5$是方程的根，代入得：
$5^2-5m+3m=0$，解得$m=\frac{25}{2}$。
根据根与系数的关系，$AB+AD=m=\frac{25}{2}$，因此平行四边形周长为$2(AB+AD)=2×\frac{25}{2}=25$。
【答案】
(1) 当$m=12$时，$□ ABCD$是菱形，此时菱形的边长为6；
(2) $□ ABCD$的周长为25。
【知识点】
菱形的性质；一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题将几何图形性质与一元二次方程知识结合考查，解题关键是把图形边的数量关系转化为一元二次方程根的特征，既检验了基础性质的掌握情况，也锻炼了跨知识点综合应用的能力。
【难度系数】
0.7
