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1. 已知二次函数的图像经过(1,0)、(2,0)和(0,2)三点，则该函数的表达式是 （
A.$y=2x^2 + x + 2$
B.$y=x^2 + 3x + 2$
C.$y=x^2 - 2x + 3$
D.$y=x^2 - 3x + 2$
D
）A.$y=2x^2 + x + 2$
B.$y=x^2 + 3x + 2$
C.$y=x^2 - 2x + 3$
D.$y=x^2 - 3x + 2$
答案
1.D
解析
【分析】
本题要求根据二次函数经过的三个点的坐标求函数表达式，可采用待定系数法求解，有两种常见思路：思路一：已知函数与x轴的两个交点坐标，可先设交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a≠0$，$x_1$、$x_2$是函数与x轴交点的横坐标），再代入第三个点的坐标求出$a$的值，最后展开得到一般式即可，该方法计算更简便；思路二：直接设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），将三个点的坐标分别代入得到三元一次方程组，解方程组求出$a、b、c$的值即可得到解析式。
【解析】
方法一（交点式）：
∵二次函数的图像经过$(1,0)$、$(2,0)$两点，即函数与x轴的交点横坐标为1和2
∴设该二次函数的解析式为$y=a(x-1)(x-2)$（$a≠0$）
将点$(0,2)$代入解析式，得：
$2 = a×(0-1)×(0-2)$
$2 = 2a$
解得$a=1$
∴函数解析式为$y=(x-1)(x-2)$，展开得$y=x^2-3x+2$
方法二（一般式）：
设该二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）
将$(1,0)$、$(2,0)$、$(0,2)$分别代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \\4a + 2b + c = 0 \\c = 2\end{cases}$
把$c=2$代入前两个方程，得：
$\begin{cases}a + b = -2 \\2a + b = -1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$a=1$
将$a=1$代入$a + b = -2$，得$b=-3$
∴函数解析式为$y=x^2-3x+2$
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法、二次函数解析式求解、二次函数交点式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，熟练掌握二次函数不同形式的适用场景，选择合适的解析式形式可以有效简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题要求根据二次函数经过的三个点的坐标求函数表达式，可采用待定系数法求解，有两种常见思路：思路一：已知函数与x轴的两个交点坐标，可先设交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a≠0$，$x_1$、$x_2$是函数与x轴交点的横坐标），再代入第三个点的坐标求出$a$的值，最后展开得到一般式即可，该方法计算更简便；思路二：直接设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），将三个点的坐标分别代入得到三元一次方程组，解方程组求出$a、b、c$的值即可得到解析式。
【解析】
方法一（交点式）：
∵二次函数的图像经过$(1,0)$、$(2,0)$两点，即函数与x轴的交点横坐标为1和2
∴设该二次函数的解析式为$y=a(x-1)(x-2)$（$a≠0$）
将点$(0,2)$代入解析式，得：
$2 = a×(0-1)×(0-2)$
$2 = 2a$
解得$a=1$
∴函数解析式为$y=(x-1)(x-2)$，展开得$y=x^2-3x+2$
方法二（一般式）：
设该二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）
将$(1,0)$、$(2,0)$、$(0,2)$分别代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \\4a + 2b + c = 0 \\c = 2\end{cases}$
把$c=2$代入前两个方程，得：
$\begin{cases}a + b = -2 \\2a + b = -1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$a=1$
将$a=1$代入$a + b = -2$，得$b=-3$
∴函数解析式为$y=x^2-3x+2$
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法、二次函数解析式求解、二次函数交点式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，熟练掌握二次函数不同形式的适用场景，选择合适的解析式形式可以有效简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
2.如图,关于x的二次函数$y=2x^2+bx+c$的图像经过平面直角坐标系中的A、B、C三个点,则该二次函数表达式可能为 （
A.$y=2x^2+3x+2$
B.$y=2x^2-3x-3$
C.$y=2x^2-4x+2$
D.$y=2x^2+4x-2$
C
）A.$y=2x^2+3x+2$
B.$y=2x^2-3x-3$
C.$y=2x^2-4x+2$
D.$y=2x^2+4x-2$
答案
2.C
解析
【分析】
要判断二次函数的表达式，我们可以结合二次函数图像与系数的关系，用排除法解题：首先根据y轴上的点A在正半轴，可得常数项c的符号，排除不符合的选项；再根据对称轴在y轴右侧，结合“左同右异”（a和b的符号与对称轴位置的关系）判断一次项系数b的符号，再次排除错误选项，最终得到正确答案。
【解析】
第一步：判断常数项c的符号
对于二次函数$y=2x^2+bx+c$，当$x=0$时，$y=c$，即函数与y轴的交点为$(0,c)$。
由图可知点A在y轴正半轴，因此$c＞0$。
观察选项：B选项$c=-3$，D选项$c=-2$，均不符合$c＞0$，排除B、D。
第二步：判断一次项系数b的符号
二次函数的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=2＞0$。
由图可知，函数的对称轴在y轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，代入$a=2$得$-\frac{b}{4}＞0$，解得$b＜0$。
观察剩余选项：A选项$b=3＞0$，不符合$b＜0$，排除A；C选项$b=-4＜0$，$c=2＞0$，符合所有条件。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与系数的关系、二次函数表达式
【点评】
本题可以通过排除法快速求解，核心是掌握二次函数常数项c对应y轴交点的纵坐标、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴位置的规律，熟练运用这类规律能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要判断二次函数的表达式，我们可以结合二次函数图像与系数的关系，用排除法解题：首先根据y轴上的点A在正半轴，可得常数项c的符号，排除不符合的选项；再根据对称轴在y轴右侧，结合“左同右异”（a和b的符号与对称轴位置的关系）判断一次项系数b的符号，再次排除错误选项，最终得到正确答案。
【解析】
第一步：判断常数项c的符号
对于二次函数$y=2x^2+bx+c$，当$x=0$时，$y=c$，即函数与y轴的交点为$(0,c)$。
由图可知点A在y轴正半轴，因此$c＞0$。
观察选项：B选项$c=-3$，D选项$c=-2$，均不符合$c＞0$，排除B、D。
第二步：判断一次项系数b的符号
二次函数的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=2＞0$。
由图可知，函数的对称轴在y轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，代入$a=2$得$-\frac{b}{4}＞0$，解得$b＜0$。
观察剩余选项：A选项$b=3＞0$，不符合$b＜0$，排除A；C选项$b=-4＜0$，$c=2＞0$，符合所有条件。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与系数的关系、二次函数表达式
【点评】
本题可以通过排除法快速求解，核心是掌握二次函数常数项c对应y轴交点的纵坐标、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴位置的规律，熟练运用这类规律能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
3. 抛物线$y=ax^2+bx+c$上部分点的横坐标$x$、纵坐标$y$的对应值如下表所示：
从上表可知，当$x=4$时，$y$的值为
从上表可知，当$x=4$时，$y$的值为
0
。答案
3.0
解析
【分析】
解题思路有两种：1. 利用二次函数的对称性：二次函数图像是轴对称图形，纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，先根据表格中y值相等的点求出对称轴，再找到x=4关于对称轴的对称点，对称点的y值就是x=4时的y值，该方法更快捷；2. 用待定系数法：选取表格中三组x、y的值代入抛物线解析式，求出a、b、c得到解析式，再将x=4代入计算y值。
【解析】
方法1：利用二次函数对称性求解
观察表格可知：当x=1时y=-6，x=2时y=-6，
∴ 点$(1,-6)$和点$(2,-6)$是抛物线上的对称点，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{1+2}{2}=1.5$。
设x=4关于对称轴x=1.5的对称点横坐标为$x_0$，则$\frac{4+x_0}{2}=1.5$，解得$x_0=-1$。
即x=4与x=-1关于对称轴对称，两点纵坐标相等，
由表格得x=-1时y=0，故x=4时，y=0。
方法2：待定系数法求解
将$(0,-4)$、$(-1,0)$、$(1,-6)$代入$y=ax^2+bx+c$得：
$\begin{cases}c=-4 \\a-b+c=0 \\a+b+c=-6\end{cases}$
把$c=-4$代入后两个方程，得：
$\begin{cases}a-b=4 \\a+b=-2\end{cases}$
两式相加得$2a=2$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$a-b=4$，得$1-b=4$，解得$b=-3$，
∴ 抛物线解析式为$y=x^2-3x-4$，
当x=4时，$y=4^2-3×4-4=16-12-4=0$。
【答案】
0
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题考查对二次函数性质的理解与灵活运用能力，选择对称性求解能大幅提高解题效率，也可通过常规的待定系数法计算验证结果。
【难度系数】
0.7
解题思路有两种：1. 利用二次函数的对称性：二次函数图像是轴对称图形，纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，先根据表格中y值相等的点求出对称轴，再找到x=4关于对称轴的对称点，对称点的y值就是x=4时的y值，该方法更快捷；2. 用待定系数法：选取表格中三组x、y的值代入抛物线解析式，求出a、b、c得到解析式，再将x=4代入计算y值。
【解析】
方法1：利用二次函数对称性求解
观察表格可知：当x=1时y=-6，x=2时y=-6，
∴ 点$(1,-6)$和点$(2,-6)$是抛物线上的对称点，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{1+2}{2}=1.5$。
设x=4关于对称轴x=1.5的对称点横坐标为$x_0$，则$\frac{4+x_0}{2}=1.5$，解得$x_0=-1$。
即x=4与x=-1关于对称轴对称，两点纵坐标相等，
由表格得x=-1时y=0，故x=4时，y=0。
方法2：待定系数法求解
将$(0,-4)$、$(-1,0)$、$(1,-6)$代入$y=ax^2+bx+c$得：
$\begin{cases}c=-4 \\a-b+c=0 \\a+b+c=-6\end{cases}$
把$c=-4$代入后两个方程，得：
$\begin{cases}a-b=4 \\a+b=-2\end{cases}$
两式相加得$2a=2$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$a-b=4$，得$1-b=4$，解得$b=-3$，
∴ 抛物线解析式为$y=x^2-3x-4$，
当x=4时，$y=4^2-3×4-4=16-12-4=0$。
【答案】
0
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题考查对二次函数性质的理解与灵活运用能力，选择对称性求解能大幅提高解题效率，也可通过常规的待定系数法计算验证结果。
【难度系数】
0.7
4.已知二次函数的图像经过点$(0,3)$、$(-3,0)$、$(2,-5)$，且与$x$轴交于$A$、$B$两点.
(1)试确定此二次函数的表达式；
(2)判断点$P(-2,3)$是否在这个二次函数的图像上？如果在，请求出$△ PAB$的面积；如果不在，试说明理由.
(1)试确定此二次函数的表达式；
(2)判断点$P(-2,3)$是否在这个二次函数的图像上？如果在，请求出$△ PAB$的面积；如果不在，试说明理由.
答案
4.解:(1)设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$.
∵二次函数的图像经过点$(0,3)$、$(-3,0)$、$(2,-5)$,
∴$\begin{cases} c=3,\\9a-3b+c=0,\\4a+2b+c=-5, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-1,\\b=-2,\\c=3, \end{cases}$
∴$y=-x^2-2x+3$.
(2)$∵-(-2)^2-2×(-2)+3=-4+4+3=3$,
∴点$P(-2,3)$在这个二次函数的图像上.
∵$-x^2-2x+3=0$,$∴x_1=-3$,$x_2=1$,
∴抛物线与$x$轴的交点分别为$(-3,0)$、$(1,0)$,
∴$S_{△PAB}=\frac{1}{2}×4×3=6$.
∵二次函数的图像经过点$(0,3)$、$(-3,0)$、$(2,-5)$,
∴$\begin{cases} c=3,\\9a-3b+c=0,\\4a+2b+c=-5, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-1,\\b=-2,\\c=3, \end{cases}$
∴$y=-x^2-2x+3$.
(2)$∵-(-2)^2-2×(-2)+3=-4+4+3=3$,
∴点$P(-2,3)$在这个二次函数的图像上.
∵$-x^2-2x+3=0$,$∴x_1=-3$,$x_2=1$,
∴抛物线与$x$轴的交点分别为$(-3,0)$、$(1,0)$,
∴$S_{△PAB}=\frac{1}{2}×4×3=6$.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数图像经过三个普通点，无顶点或交点类特殊条件，因此选择设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出系数即可确定函数表达式。
(2) 判断点是否在函数图像上，只需将点的横坐标代入函数表达式，计算对应的函数值，若与点的纵坐标相等则点在图像上，反之则不在。要求$△ PAB$的面积，首先令函数值$y=0$，解一元二次方程得到与x轴交点A、B的坐标，算出AB的长度作为三角形的底，点P纵坐标的绝对值就是AB边上的高，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$。
∵二次函数的图像经过点$(0,3)$、$(-3,0)$、$(2,-5)$，将三点坐标分别代入表达式得：
$\begin{cases} c=3\\9a-3b+c=0\\4a+2b+c=-5 \end{cases}$
把$c=3$代入后两个方程，化简得$\begin{cases}3a - b = -1\\2a + b = -4\end{cases}$，两式相加消去b得$5a=-5$，解得$a=-1$，代入$3a - b = -1$得$b=-2$，因此方程组的解为$\begin{cases} a=-1\\b=-2\\c=3 \end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=-x^2-2x+3$。
(2) 将$x=-2$代入$y=-x^2-2x+3$得：
$y=-(-2)^2 - 2×(-2) + 3=-4+4+3=3$，与点P的纵坐标相等，
∴点$P(-2,3)$在这个二次函数的图像上。
令$y=0$，即$-x^2-2x+3=0$，整理得$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
∴抛物线与x轴的交点A、B坐标分别为$(-3,0)$、$(1,0)$，则AB的长度为$|1 - (-3)|=4$，
点P到x轴的距离为P点纵坐标的绝对值，即高$h=3$，
∴$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}×AB×h=\frac{1}{2}×4×3=6$。
【答案】
(1) 二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2-2x+3}$；
(2) 点$P(-2,3)$在这个二次函数的图像上，$△ PAB$的面积为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数图像上点的坐标特征
3. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于二次函数基础题，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，以及二次函数相关的点坐标判断和面积计算，解题的关键是熟练掌握二次函数的基本性质，以及坐标系中三角形面积的计算方法。
【难度系数】
0.7
(1) 已知二次函数图像经过三个普通点，无顶点或交点类特殊条件，因此选择设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出系数即可确定函数表达式。
(2) 判断点是否在函数图像上，只需将点的横坐标代入函数表达式，计算对应的函数值，若与点的纵坐标相等则点在图像上，反之则不在。要求$△ PAB$的面积，首先令函数值$y=0$，解一元二次方程得到与x轴交点A、B的坐标，算出AB的长度作为三角形的底，点P纵坐标的绝对值就是AB边上的高，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$。
∵二次函数的图像经过点$(0,3)$、$(-3,0)$、$(2,-5)$，将三点坐标分别代入表达式得：
$\begin{cases} c=3\\9a-3b+c=0\\4a+2b+c=-5 \end{cases}$
把$c=3$代入后两个方程，化简得$\begin{cases}3a - b = -1\\2a + b = -4\end{cases}$，两式相加消去b得$5a=-5$，解得$a=-1$，代入$3a - b = -1$得$b=-2$，因此方程组的解为$\begin{cases} a=-1\\b=-2\\c=3 \end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=-x^2-2x+3$。
(2) 将$x=-2$代入$y=-x^2-2x+3$得：
$y=-(-2)^2 - 2×(-2) + 3=-4+4+3=3$，与点P的纵坐标相等，
∴点$P(-2,3)$在这个二次函数的图像上。
令$y=0$，即$-x^2-2x+3=0$，整理得$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
∴抛物线与x轴的交点A、B坐标分别为$(-3,0)$、$(1,0)$，则AB的长度为$|1 - (-3)|=4$，
点P到x轴的距离为P点纵坐标的绝对值，即高$h=3$，
∴$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}×AB×h=\frac{1}{2}×4×3=6$。
【答案】
(1) 二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2-2x+3}$；
(2) 点$P(-2,3)$在这个二次函数的图像上，$△ PAB$的面积为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数图像上点的坐标特征
3. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于二次函数基础题，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，以及二次函数相关的点坐标判断和面积计算，解题的关键是熟练掌握二次函数的基本性质，以及坐标系中三角形面积的计算方法。
【难度系数】
0.7
5.已知抛物线过点A(2,0)、B(-1,0)，与y轴交于点C，且OC=2，则抛物线的表达式为（
A.$y=x^2 - x - 2$
B.$y=-x^2 + x + 2$
C.$y=x^2 - x - 2$ 或 $y=-x^2 + x + 2$
D.$y=-x^2 - x - 2$ 或 $y=x^2 + x + 2$
C
）A.$y=x^2 - x - 2$
B.$y=-x^2 + x + 2$
C.$y=x^2 - x - 2$ 或 $y=-x^2 + x + 2$
D.$y=-x^2 - x - 2$ 或 $y=x^2 + x + 2$
答案
5.C
解析
【分析】
解题思路：首先已知抛物线与x轴交于A(2,0)、B(-1,0)两个交点，优先选择交点式设二次函数解析式，简化计算。其次OC是点C到原点的距离，长度为2，因此点C可能在y轴正半轴也可能在负半轴，即C点坐标有(0,2)和(0,-2)两种情况，注意不要漏解。最后分别将两种情况的C点坐标代入所设解析式，求出参数a的值，整理即可得到抛物线的表达式。
【解析】
已知抛物线过x轴上的点A(2,0)、B(-1,0)，设抛物线的交点式为$y=a(x-2)(x+1)$（$a≠0$）。
∵抛物线与y轴交于点C，且$OC=2$，
∴点C的坐标为$(0,2)$或$(0,-2)$，分两种情况代入计算：
1. 当C为$(0,2)$时，代入解析式得：
$2=a(0-2)(0+1)$，解得$a=-1$，
代入展开得：$y=-(x-2)(x+1)=-x^2+x+2$；
2. 当C为$(0,-2)$时，代入解析式得：
$-2=a(0-2)(0+1)$，解得$a=1$，
代入展开得：$y=(x-2)(x+1)=x^2-x-2$。
综上，抛物线的表达式为$y=x^2 - x - 2$ 或 $y=-x^2 + x + 2$。
【答案】
C
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数交点式
3. 坐标与距离的关系
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题时选用交点式可大幅降低计算量，易错点是容易忽略OC表示长度，对应的点C有正负半轴两种情况，导致漏解，做题时需考虑全面。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先已知抛物线与x轴交于A(2,0)、B(-1,0)两个交点，优先选择交点式设二次函数解析式，简化计算。其次OC是点C到原点的距离，长度为2，因此点C可能在y轴正半轴也可能在负半轴，即C点坐标有(0,2)和(0,-2)两种情况，注意不要漏解。最后分别将两种情况的C点坐标代入所设解析式，求出参数a的值，整理即可得到抛物线的表达式。
【解析】
已知抛物线过x轴上的点A(2,0)、B(-1,0)，设抛物线的交点式为$y=a(x-2)(x+1)$（$a≠0$）。
∵抛物线与y轴交于点C，且$OC=2$，
∴点C的坐标为$(0,2)$或$(0,-2)$，分两种情况代入计算：
1. 当C为$(0,2)$时，代入解析式得：
$2=a(0-2)(0+1)$，解得$a=-1$，
代入展开得：$y=-(x-2)(x+1)=-x^2+x+2$；
2. 当C为$(0,-2)$时，代入解析式得：
$-2=a(0-2)(0+1)$，解得$a=1$，
代入展开得：$y=(x-2)(x+1)=x^2-x-2$。
综上，抛物线的表达式为$y=x^2 - x - 2$ 或 $y=-x^2 + x + 2$。
【答案】
C
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数交点式
3. 坐标与距离的关系
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题时选用交点式可大幅降低计算量，易错点是容易忽略OC表示长度，对应的点C有正负半轴两种情况，导致漏解，做题时需考虑全面。
【难度系数】
0.7
6 如图是关于x的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像，其对称轴为直线$x=1$，有下列结论：①$abc＞0$；②$2a+b=0$；③$4a+2b+c＞0$；④$3a+c=0$。其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
6.C
解析
【分析】
首先从二次函数图像特征推导参数的符号和关系：开口方向决定a的符号，与y轴交点位置决定c的符号，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$推导b和a的关系，再逐一验证4个结论：①通过a、b、c的正负判断乘积符号；②直接对对称轴公式变形验证；③利用二次函数的对称性，判断x=2对应的函数值符号；④代入特殊点x=-1的函数值，结合b和a的关系推导验证。
【解析】
步骤1：判断$a、b、c$的符号和关系
抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；
抛物线与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$；
对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，$\because a＜0$，$\therefore b＞0$。
步骤2：逐一判断结论
① $abc＞0$：$a＜0，b＞0，c＞0$，因此$abc＜0$，①错误；
② $2a+b=0$：由$-\frac{b}{2a}=1$变形得$-b=2a$，移项即得$2a+b=0$，②正确；
③ $4a+2b+c＞0$：$4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，由于对称轴为$x=1$，$x=2$和$x=0$关于对称轴对称，二者函数值相等，$x=0$时$y=c＞0$，因此$x=2$时$y=4a+2b+c＞0$，③正确；
④ $3a+c=0$：由图像可知抛物线过点$(-1,0)$，代入函数得$a× (-1)^2 +b× (-1)+c=0$，即$a-b+c=0$，将$b=-2a$代入得$a-(-2a)+c=3a+c=0$，④正确。
综上，正确的结论为②③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与性质；二次函数系数与图像的关系
【点评】
本题考查二次函数图像与系数的对应关系，解题核心是结合开口、对称轴、特殊点的函数值推导参数的符号和等量关系，利用对称性判断函数值是常用技巧。
【难度系数】
0.7
首先从二次函数图像特征推导参数的符号和关系：开口方向决定a的符号，与y轴交点位置决定c的符号，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$推导b和a的关系，再逐一验证4个结论：①通过a、b、c的正负判断乘积符号；②直接对对称轴公式变形验证；③利用二次函数的对称性，判断x=2对应的函数值符号；④代入特殊点x=-1的函数值，结合b和a的关系推导验证。
【解析】
步骤1：判断$a、b、c$的符号和关系
抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；
抛物线与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$；
对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，$\because a＜0$，$\therefore b＞0$。
步骤2：逐一判断结论
① $abc＞0$：$a＜0，b＞0，c＞0$，因此$abc＜0$，①错误；
② $2a+b=0$：由$-\frac{b}{2a}=1$变形得$-b=2a$，移项即得$2a+b=0$，②正确；
③ $4a+2b+c＞0$：$4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，由于对称轴为$x=1$，$x=2$和$x=0$关于对称轴对称，二者函数值相等，$x=0$时$y=c＞0$，因此$x=2$时$y=4a+2b+c＞0$，③正确；
④ $3a+c=0$：由图像可知抛物线过点$(-1,0)$，代入函数得$a× (-1)^2 +b× (-1)+c=0$，即$a-b+c=0$，将$b=-2a$代入得$a-(-2a)+c=3a+c=0$，④正确。
综上，正确的结论为②③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与性质；二次函数系数与图像的关系
【点评】
本题考查二次函数图像与系数的对应关系，解题核心是结合开口、对称轴、特殊点的函数值推导参数的符号和等量关系，利用对称性判断函数值是常用技巧。
【难度系数】
0.7
7. 关于$x$的二次函数$y=ax^2 -2ax +c$，当$2≤ x≤3$时，$5≤ y≤8$，则$a$的值为（
A.1
B.2
C.$\pm1$
D.$\pm2$
C
）A.1
B.2
C.$\pm1$
D.$\pm2$
答案
7.C
解析
【分析】
首先求出二次函数的对称轴，判断给定区间$2≤x≤3$在对称轴的哪一侧，明确该区间是函数的单调区间；再分$a＞0$（开口向上）和$a＜0$（开口向下）两种情况，分别确定区间内最大值、最小值对应的x值，代入函数表达式列方程，消去c后即可求出a的值。
【解析】
第一步：求二次函数的对称轴
对于二次函数$y=ax^2 -2ax +c$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-2a$可得：
$x=\frac{2a}{2a}=1$
因此区间$2≤x≤3$位于对称轴$x=1$的右侧，属于函数的单调区间。
第二步：分情况讨论求解a
① 当$a＞0$时，二次函数开口向上，对称轴右侧y随x增大而增大：
此时$x=2$时y取最小值5，$x=3$时y取最大值8。
代入$x=2$得：$y=4a-4a+c=c=5$，
代入$x=3$得：$y=9a-6a+c=3a+c=8$，
把$c=5$代入得$3a=3$，解得$a=1$。
② 当$a＜0$时，二次函数开口向下，对称轴右侧y随x增大而减小：
此时$x=2$时y取最大值8，$x=3$时y取最小值5。
代入$x=2$得：$y=c=8$，
代入$x=3$得：$3a+c=5$，
把$c=8$代入得$3a=-3$，解得$a=-1$。
综上，a的值为$\pm1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴，二次函数单调性，二次函数区间最值
【点评】
本题重点考查二次函数的图象与性质，解题关键是先确定对称轴判断区间单调性，再结合开口方向分类讨论最值对应的自变量取值，注意不要遗漏a为负数的情况。
【难度系数】
0.65
首先求出二次函数的对称轴，判断给定区间$2≤x≤3$在对称轴的哪一侧，明确该区间是函数的单调区间；再分$a＞0$（开口向上）和$a＜0$（开口向下）两种情况，分别确定区间内最大值、最小值对应的x值，代入函数表达式列方程，消去c后即可求出a的值。
【解析】
第一步：求二次函数的对称轴
对于二次函数$y=ax^2 -2ax +c$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-2a$可得：
$x=\frac{2a}{2a}=1$
因此区间$2≤x≤3$位于对称轴$x=1$的右侧，属于函数的单调区间。
第二步：分情况讨论求解a
① 当$a＞0$时，二次函数开口向上，对称轴右侧y随x增大而增大：
此时$x=2$时y取最小值5，$x=3$时y取最大值8。
代入$x=2$得：$y=4a-4a+c=c=5$，
代入$x=3$得：$y=9a-6a+c=3a+c=8$，
把$c=5$代入得$3a=3$，解得$a=1$。
② 当$a＜0$时，二次函数开口向下，对称轴右侧y随x增大而减小：
此时$x=2$时y取最大值8，$x=3$时y取最小值5。
代入$x=2$得：$y=c=8$，
代入$x=3$得：$3a+c=5$，
把$c=8$代入得$3a=-3$，解得$a=-1$。
综上，a的值为$\pm1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴，二次函数单调性，二次函数区间最值
【点评】
本题重点考查二次函数的图象与性质，解题关键是先确定对称轴判断区间单调性，再结合开口方向分类讨论最值对应的自变量取值，注意不要遗漏a为负数的情况。
【难度系数】
0.65
