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18已知抛物线$y=ax^2 -2x +1(a≠0)$关于直线$x=1$对称.
(1)求$a$的值和顶点坐标；
(2)若点$C(x_c,y_c)$在此抛物线上，当$-1≤x_c≤2$时，求$y_c$的最大值与最小值的差；
(3)若点$M(t,y_1)$、$N(t+1,y_2)$都在此抛物线上，且$y_1＞y_2＞0$，求$t$的取值范围.
(1)求$a$的值和顶点坐标；
(2)若点$C(x_c,y_c)$在此抛物线上，当$-1≤x_c≤2$时，求$y_c$的最大值与最小值的差；
(3)若点$M(t,y_1)$、$N(t+1,y_2)$都在此抛物线上，且$y_1＞y_2＞0$，求$t$的取值范围.
答案
18.解:(1)$\because$抛物线$y=ax^2-2x+1(a≠0)$关于直线$x=1$对称,$\therefore -\dfrac{-2}{2a}=1$,解得$a=1$,
$\therefore$抛物线$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$,
$\therefore$顶点坐标为$(1,0)$.
(2)$\because$抛物线开口向上,且对称轴为直线$x=1$,$-1≤ x_c≤2$,
$\therefore$当$x_c=-1$时,$y_c=(x-1)^2=(-1-1)^2=4$.
当$x_c=1$时,$y_c=(x-1)^2=(1-1)^2=0$;
当$x_c=2$时,$y_c=(x-1)^2=(2-1)^2=1$.
$\therefore y_c$的最大值为$4$,最小值为$0$,
最大值与最小值的差为$4-0=4$.
(3)$\because a=1＞0$,顶点坐标为$(1,0)$,
$\therefore$在对称轴左侧,$y$随$x$的增大而减小,在对称轴右侧,$y$随$x$的增大而增大,当$x=1$时,$y=0$,点的横坐标越接近对称轴,纵坐标越小.
①当$M(t,y_1)$、$N(t+1,y_2)$在对称轴异侧时,则$t＜1$,$t+1＞1$,$\therefore 0＜t＜1$.
$\because$点$M(t,y_1)$、$N(t+1,y_2)$都在此抛物线上,且$y_1＞y_2＞0$,$\therefore 1-t＞t+1-1$,即$t＜\dfrac{1}{2}$,$\therefore 0＜t＜\dfrac{1}{2}$;
②当$M(t,y_1)$、$N(t+1,y_2)$在对称轴同侧时,
$\because$点$M(t,y_1)$、$N(t+1,y_2)$都在此抛物线上,且$y_1＞y_2＞0$,
$\therefore t+1＜1$,解得$t＜0$.
综上所述,$t$的取值范围是$t＜0$或$0＜t＜\dfrac{1}{2}$.
$\therefore$抛物线$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$,
$\therefore$顶点坐标为$(1,0)$.
(2)$\because$抛物线开口向上,且对称轴为直线$x=1$,$-1≤ x_c≤2$,
$\therefore$当$x_c=-1$时,$y_c=(x-1)^2=(-1-1)^2=4$.
当$x_c=1$时,$y_c=(x-1)^2=(1-1)^2=0$;
当$x_c=2$时,$y_c=(x-1)^2=(2-1)^2=1$.
$\therefore y_c$的最大值为$4$,最小值为$0$,
最大值与最小值的差为$4-0=4$.
(3)$\because a=1＞0$,顶点坐标为$(1,0)$,
$\therefore$在对称轴左侧,$y$随$x$的增大而减小,在对称轴右侧,$y$随$x$的增大而增大,当$x=1$时,$y=0$,点的横坐标越接近对称轴,纵坐标越小.
①当$M(t,y_1)$、$N(t+1,y_2)$在对称轴异侧时,则$t＜1$,$t+1＞1$,$\therefore 0＜t＜1$.
$\because$点$M(t,y_1)$、$N(t+1,y_2)$都在此抛物线上,且$y_1＞y_2＞0$,$\therefore 1-t＞t+1-1$,即$t＜\dfrac{1}{2}$,$\therefore 0＜t＜\dfrac{1}{2}$;
②当$M(t,y_1)$、$N(t+1,y_2)$在对称轴同侧时,
$\because$点$M(t,y_1)$、$N(t+1,y_2)$都在此抛物线上,且$y_1＞y_2＞0$,
$\therefore t+1＜1$,解得$t＜0$.
综上所述,$t$的取值范围是$t＜0$或$0＜t＜\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
(1) 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴公式为$x=-\dfrac{b}{2a}$，题目已知对称轴为$x=1$，代入公式即可列方程求出$a$的值，再将抛物线解析式配方为顶点式，即可直接得到顶点坐标。
(2) 先判断抛物线开口方向，结合对称轴位置，在给定的$x$取值范围内，开口向上的抛物线最小值在顶点处取得，最大值需要比较区间两个端点对应的函数值，求出最值后作差即可。
(3) 抛物线开口向上时，横坐标离对称轴越远，对应$y$值越大，且$y＞0$说明点不在顶点处。分两种情况讨论：①$M$、$N$在对称轴异侧，结合$y_1＞y_2$可得点$M$离对称轴更远，列不等式求解；②$M$、$N$在对称轴同侧，要满足$y_1＞y_2$，需两点都在对称轴左侧（左侧$y$随$x$增大而减小），列不等式求解，最后合并两种情况的结果。
【解析】
(1) $\because$抛物线$y=ax^2-2x+1(a≠0)$的对称轴为直线$x=1$，
$\therefore$根据对称轴公式可得$-\dfrac{-2}{2a}=1$，解得$a=1$，
$\therefore$抛物线解析式为$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$，
$\therefore$顶点坐标为$(1,0)$。
(2) $\because$抛物线$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=1$，且$-1≤x_c≤2$，
$\therefore$当$x_c=1$时，$y_c$取得最小值，最小值为$(1-1)^2=0$；
分别计算区间端点的函数值：当$x_c=-1$时，$y_c=(-1-1)^2=4$；当$x_c=2$时，$y_c=(2-1)^2=1$，
$\therefore y_c$的最大值为$4$，
$\therefore$最大值与最小值的差为$4-0=4$。
(3) $\because$抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，
$\therefore$当$x=1$时，$y$取最小值$0$，$x$离对称轴$x=1$越远，对应的$y$值越大；且在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大。
根据$y_1＞y_2＞0$，分两种情况讨论：
①当$M(t,y_1)$、$N(t+1,y_2)$在对称轴异侧时：
此时$t＜1$且$t+1＞1$，解得$0＜t＜1$，
$\because y_1＞y_2$，$\therefore$点$M$到对称轴的距离大于点$N$到对称轴的距离，即$1-t ＞ (t+1)-1$，解得$t＜\dfrac{1}{2}$，
结合范围得$0＜t＜\dfrac{1}{2}$；
②当$M(t,y_1)$、$N(t+1,y_2)$在对称轴同侧时：
$\because y_1＞y_2$，且$t＜t+1$，$\therefore$两点只能在对称轴左侧（左侧$y$随$x$增大而减小，$x$越小$y$越大），即$t+1＜1$，解得$t＜0$，
此时$y_2＞0$恒成立，符合条件。
综上，$t$的取值范围是$t＜0$或$0＜t＜\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1) $a=1$，顶点坐标为$(1,0)$；
(2) 最大值与最小值的差为$4$；
(3) $t$的取值范围是$t＜0$或$0＜t＜\dfrac{1}{2}$。
【知识点】
二次函数性质；二次函数最值；分类讨论
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质设置问题，层层递进，既考查了对称轴、顶点、最值等基础知识点，又需要结合分类讨论思想解决动态点的不等式问题，能有效检验对二次函数性质的掌握程度和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
(1) 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴公式为$x=-\dfrac{b}{2a}$，题目已知对称轴为$x=1$，代入公式即可列方程求出$a$的值，再将抛物线解析式配方为顶点式，即可直接得到顶点坐标。
(2) 先判断抛物线开口方向，结合对称轴位置，在给定的$x$取值范围内，开口向上的抛物线最小值在顶点处取得，最大值需要比较区间两个端点对应的函数值，求出最值后作差即可。
(3) 抛物线开口向上时，横坐标离对称轴越远，对应$y$值越大，且$y＞0$说明点不在顶点处。分两种情况讨论：①$M$、$N$在对称轴异侧，结合$y_1＞y_2$可得点$M$离对称轴更远，列不等式求解；②$M$、$N$在对称轴同侧，要满足$y_1＞y_2$，需两点都在对称轴左侧（左侧$y$随$x$增大而减小），列不等式求解，最后合并两种情况的结果。
【解析】
(1) $\because$抛物线$y=ax^2-2x+1(a≠0)$的对称轴为直线$x=1$，
$\therefore$根据对称轴公式可得$-\dfrac{-2}{2a}=1$，解得$a=1$，
$\therefore$抛物线解析式为$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$，
$\therefore$顶点坐标为$(1,0)$。
(2) $\because$抛物线$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=1$，且$-1≤x_c≤2$，
$\therefore$当$x_c=1$时，$y_c$取得最小值，最小值为$(1-1)^2=0$；
分别计算区间端点的函数值：当$x_c=-1$时，$y_c=(-1-1)^2=4$；当$x_c=2$时，$y_c=(2-1)^2=1$，
$\therefore y_c$的最大值为$4$，
$\therefore$最大值与最小值的差为$4-0=4$。
(3) $\because$抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,0)$，
$\therefore$当$x=1$时，$y$取最小值$0$，$x$离对称轴$x=1$越远，对应的$y$值越大；且在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大。
根据$y_1＞y_2＞0$，分两种情况讨论：
①当$M(t,y_1)$、$N(t+1,y_2)$在对称轴异侧时：
此时$t＜1$且$t+1＞1$，解得$0＜t＜1$，
$\because y_1＞y_2$，$\therefore$点$M$到对称轴的距离大于点$N$到对称轴的距离，即$1-t ＞ (t+1)-1$，解得$t＜\dfrac{1}{2}$，
结合范围得$0＜t＜\dfrac{1}{2}$；
②当$M(t,y_1)$、$N(t+1,y_2)$在对称轴同侧时：
$\because y_1＞y_2$，且$t＜t+1$，$\therefore$两点只能在对称轴左侧（左侧$y$随$x$增大而减小，$x$越小$y$越大），即$t+1＜1$，解得$t＜0$，
此时$y_2＞0$恒成立，符合条件。
综上，$t$的取值范围是$t＜0$或$0＜t＜\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1) $a=1$，顶点坐标为$(1,0)$；
(2) 最大值与最小值的差为$4$；
(3) $t$的取值范围是$t＜0$或$0＜t＜\dfrac{1}{2}$。
【知识点】
二次函数性质；二次函数最值；分类讨论
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质设置问题，层层递进，既考查了对称轴、顶点、最值等基础知识点，又需要结合分类讨论思想解决动态点的不等式问题，能有效检验对二次函数性质的掌握程度和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
19定义:已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$,则称二次函数$y=a(x-t)^2+b(x-t)+c$是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的伴随二次函数,$t$是伴随值.
【定义理解】(1)下列二次函数中,是二次函数$y=x^2+x+2$的伴随二次函数的是 （
A.$y=(x-1)^2+x+3$
B.$y=(x+1)^2+x+1$
C.$y=(x-2)^2+x$
D.$y=(x+2)^2+x+2$
【深入探究】(2)已知二次函数$y_1=x^2-2x-3$的图像如图所示,其伴随二次函数是$y_2=x^2-6x+5$.
①伴随值为
②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图像;
③当$m≤x≤m+2$时,记二次函数$y_1$与$y_2$的图像为$W$,若$W$的最高点的纵坐标为12,求$W$的最低点的坐标.
【定义理解】(1)下列二次函数中,是二次函数$y=x^2+x+2$的伴随二次函数的是 （
C
）A.$y=(x-1)^2+x+3$
B.$y=(x+1)^2+x+1$
C.$y=(x-2)^2+x$
D.$y=(x+2)^2+x+2$
【深入探究】(2)已知二次函数$y_1=x^2-2x-3$的图像如图所示,其伴随二次函数是$y_2=x^2-6x+5$.
①伴随值为
2
;②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图像;
③当$m≤x≤m+2$时,记二次函数$y_1$与$y_2$的图像为$W$,若$W$的最高点的纵坐标为12,求$W$的最低点的坐标.
答案
19.解:(1)对于二次函数$y=x^2+x+2$,
结合题目中的选项,可知伴随值如下:
当伴随值为$1$时,伴随二次函数为$y=(x-1)^2+(x-1)+2=(x-1)^2+x+1$,$A$不符合题意;
当伴随值为$-1$时,伴随二次函数为$y=(x+1)^2+(x+1)+2=(x+1)^2+x+3$,$B$不符合题意;
当伴随值为$2$时,伴随二次函数为$y=(x-2)^2+(x-2)+2=(x-2)^2+x$,$C$符合题意;
当伴随值为$-2$时,伴随二次函数为$y=(x+2)^2+(x+2)+2=(x+2)^2+x+4$,$D$不符合题意.
故选$C$.
(2)①设伴随值为$t$,则$y_2=(x-t)^2-2(x-t)-3=x^2-2(t+1)x+t^2+2t-3=x^2-6x+5$,
$\therefore 2(t+1)=6$,解得$t=2$.故答案为$2$.
②
③令$y_1=x^2-2x-3=12$,得$x=5$或$-3$;
令$y_2=x^2-6x+5=12$,得$x=7$或$-1$.
由图可知,只能是$m=-1$或$m+2=5$,
$\therefore m=-1$或$3$.
当$m=-1$时,$-1≤ x≤1$,此时$y_2＞y_1$,且$y_1$随$x$的增大而减小,
$\therefore$当$x=1$时,$y_1$有最小值,为$1^2-2×1-3=-4$,
$\therefore$此时$W$的最低点的坐标为$(1,-4)$.
当$m=3$时,$3≤ x≤5$,此时$y_1＞y_2$,且$y_2$随$x$的增大而增大,
$\therefore$当$x=3$时,$y_2$有最小值,为$3^2-6×3+5=-4$,
$\therefore$此时$W$的最低点的坐标为$(3,-4)$.
综上,$W$的最低点的坐标为$(1,-4)$或$(3,-4)$.
解析
【分析】
(1) 本题考查新定义下伴随二次函数的判断，解题时直接根据伴随二次函数的定义，将不同伴随值t代入表达式展开，再和各个选项对比即可选出正确答案。
(2) ① 求伴随值t，可先根据伴随函数定义写出$y_2$的含t表达式，展开后和已知的$y_2$表达式对比一次项系数，列方程求解即可得到t的值；② 画伴随二次函数图像，先将$y_2$配方找到顶点坐标，再找与x轴、y轴的交点，结合抛物线开口方向即可画出图像；③ 求W的最低点坐标，首先分别求出两个函数纵坐标为12时对应的x的值，结合图像确定区间$[m, m+2]$的可能位置，得到m的两个取值，再分两种情况讨论对应区间内两个函数的大小关系、增减性，求出最小值对应的坐标即可。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=x^2+x+2$，根据伴随二次函数的定义，其伴随函数为$y=(x-t)^2+(x-t)+2$：
当$t=1$时，$y=(x-1)^2+(x-1)+2=(x-1)^2+x+1$，与选项A不符，排除A；
当$t=-1$时，$y=(x+1)^2+(x+1)+2=(x+1)^2+x+3$，与选项B不符，排除B；
当$t=2$时，$y=(x-2)^2+(x-2)+2=(x-2)^2+x$，与选项C一致，C符合题意；
当$t=-2$时，$y=(x+2)^2+(x+2)+2=(x+2)^2+x+4$，与选项D不符，排除D。
故选C。
(2) ① 设伴随值为t，根据定义可得：
$y_2=(x-t)^2-2(x-t)-3=x^2-2tx+t^2-2x+2t-3=x^2-2(t+1)x+t^2+2t-3$
已知$y_2=x^2-6x+5$，对应一次项系数相等，即$2(t+1)=6$，解得$t=2$。
② 伴随二次函数图像如下：
③ 首先分别求两个函数纵坐标为12时的x值：
令$y_1=x^2-2x-3=12$，整理得$x^2-2x-15=0$，解得$x=5$或$x=-3$；
令$y_2=x^2-6x+5=12$，整理得$x^2-6x-7=0$，解得$x=7$或$x=-1$。
结合图像可知，当W的最高点纵坐标为12时，区间$[m, m+2]$的端点对应上述x值，即$m=-1$或$m+2=5$，因此$m=-1$或$m=3$。
当$m=-1$时，x的取值范围是$-1≤x≤1$，此时$y_2＞y_1$，且$y_1=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$在$[-1,1]$上随x增大而减小，因此当x=1时，$y_1$取最小值为$1^2-2×1-3=-4$，即W的最低点坐标为$(1,-4)$。
当$m=3$时，x的取值范围是$3≤x≤5$，此时$y_1＞y_2$，且$y_2=x^2-6x+5=(x-3)^2-4$在$[3,5]$上随x增大而增大，因此当x=3时，$y_2$取最小值为$3^2-6×3+5=-4$，即W的最低点坐标为$(3,-4)$。
综上，W的最低点坐标为$(1,-4)$或$(3,-4)$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{C}$；(2)①$\boldsymbol{2}$；②；③$\boldsymbol{(1,-4)}$或$\boldsymbol{(3,-4)}$
【知识点】
二次函数新定义，二次函数图像性质，二次函数最值求解
【点评】
本题以新定义“伴随二次函数”为载体，综合考查二次函数的表达式转化、图像绘制以及区间内最值的求解，解题核心是准确理解新定义，结合二次函数的增减性分析区间内的函数值变化，注意分类讨论思想的应用，避免漏解。
【难度系数】
0.55
(1) 本题考查新定义下伴随二次函数的判断，解题时直接根据伴随二次函数的定义，将不同伴随值t代入表达式展开，再和各个选项对比即可选出正确答案。
(2) ① 求伴随值t，可先根据伴随函数定义写出$y_2$的含t表达式，展开后和已知的$y_2$表达式对比一次项系数，列方程求解即可得到t的值；② 画伴随二次函数图像，先将$y_2$配方找到顶点坐标，再找与x轴、y轴的交点，结合抛物线开口方向即可画出图像；③ 求W的最低点坐标，首先分别求出两个函数纵坐标为12时对应的x的值，结合图像确定区间$[m, m+2]$的可能位置，得到m的两个取值，再分两种情况讨论对应区间内两个函数的大小关系、增减性，求出最小值对应的坐标即可。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=x^2+x+2$，根据伴随二次函数的定义，其伴随函数为$y=(x-t)^2+(x-t)+2$：
当$t=1$时，$y=(x-1)^2+(x-1)+2=(x-1)^2+x+1$，与选项A不符，排除A；
当$t=-1$时，$y=(x+1)^2+(x+1)+2=(x+1)^2+x+3$，与选项B不符，排除B；
当$t=2$时，$y=(x-2)^2+(x-2)+2=(x-2)^2+x$，与选项C一致，C符合题意；
当$t=-2$时，$y=(x+2)^2+(x+2)+2=(x+2)^2+x+4$，与选项D不符，排除D。
故选C。
(2) ① 设伴随值为t，根据定义可得：
$y_2=(x-t)^2-2(x-t)-3=x^2-2tx+t^2-2x+2t-3=x^2-2(t+1)x+t^2+2t-3$
已知$y_2=x^2-6x+5$，对应一次项系数相等，即$2(t+1)=6$，解得$t=2$。
② 伴随二次函数图像如下：
③ 首先分别求两个函数纵坐标为12时的x值：
令$y_1=x^2-2x-3=12$，整理得$x^2-2x-15=0$，解得$x=5$或$x=-3$；
令$y_2=x^2-6x+5=12$，整理得$x^2-6x-7=0$，解得$x=7$或$x=-1$。
结合图像可知，当W的最高点纵坐标为12时，区间$[m, m+2]$的端点对应上述x值，即$m=-1$或$m+2=5$，因此$m=-1$或$m=3$。
当$m=-1$时，x的取值范围是$-1≤x≤1$，此时$y_2＞y_1$，且$y_1=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$在$[-1,1]$上随x增大而减小，因此当x=1时，$y_1$取最小值为$1^2-2×1-3=-4$，即W的最低点坐标为$(1,-4)$。
当$m=3$时，x的取值范围是$3≤x≤5$，此时$y_1＞y_2$，且$y_2=x^2-6x+5=(x-3)^2-4$在$[3,5]$上随x增大而增大，因此当x=3时，$y_2$取最小值为$3^2-6×3+5=-4$，即W的最低点坐标为$(3,-4)$。
综上，W的最低点坐标为$(1,-4)$或$(3,-4)$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{C}$；(2)①$\boldsymbol{2}$；②
；③$\boldsymbol{(1,-4)}$或$\boldsymbol{(3,-4)}$【知识点】
二次函数新定义，二次函数图像性质，二次函数最值求解
【点评】
本题以新定义“伴随二次函数”为载体，综合考查二次函数的表达式转化、图像绘制以及区间内最值的求解，解题核心是准确理解新定义，结合二次函数的增减性分析区间内的函数值变化，注意分类讨论思想的应用，避免漏解。
【难度系数】
0.55
