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2. 某学校准备订购一批篮球和跳绳，经考察发现篮球每个定价 100 元，跳绳每条定价 20 元.现有 A,B 两家公司提出了各自的优惠方案. A 公司:买一个篮球送一条跳绳;B 公司:篮球和跳绳都按定价的 90%付款.已知要购买篮球 30 个，跳绳 x 条$(x＞30).$
(1) 若分别在 A,B 公司购买，各需费用多少元(用含 x 的代数式表示)?
(2) 若在两家公司购买的总费用一样，请求出此时 x 的值；
(3) 当$x=50$，若两家公司可以自由搭配购买，请给出最省钱的购买方案，并计算需要费用多少元.
(1) 若分别在 A,B 公司购买，各需费用多少元(用含 x 的代数式表示)?
(2) 若在两家公司购买的总费用一样，请求出此时 x 的值；
(3) 当$x=50$，若两家公司可以自由搭配购买，请给出最省钱的购买方案，并计算需要费用多少元.
答案
(1) 由A公司购买,总费用为100×30+20(x-30)=(20x+2 400)元;由B公司购买,总费用为100×90%×30+20×90%x=(18x+2 700)元.
(2) 由题意,得20x+2 400=18x+2 700,解得x=150.
(3) 先到A公司买30个篮球,获赠30条跳绳,再到B公司购买50-30=20(条)跳绳.所用的总费用为100×30+20×90%×(50-30)=3 000+360=3 360(元).
(2) 由题意,得20x+2 400=18x+2 700,解得x=150.
(3) 先到A公司买30个篮球,获赠30条跳绳,再到B公司购买50-30=20(条)跳绳.所用的总费用为100×30+20×90%×(50-30)=3 000+360=3 360(元).
解析
【分析】
(1) 先分别梳理两家公司的优惠规则：A公司买1个篮球送1条跳绳，购买30个篮球会赠送30条跳绳，仅需额外购买(x-30)条跳绳，总费用为30个篮球的总价加额外购买跳绳的总价；B公司所有商品按定价的9折付款，总费用为30个篮球的9折总价加x条跳绳的9折总价，分别列式化简即可。
(2) 两家总费用相等即第(1)问得到的两个代数式相等，列出一元一次方程，按解方程的步骤求解即可得到x的值。
(3) 当x=50时，对比两家优惠：A公司买篮球送跳绳更划算，因此优先在A公司买30个篮球获得赠送的30条跳绳，剩余需要的跳绳在B公司按9折购买更便宜，组合计算总费用即可得到最省钱的方案。
【解析】
(1) 到A公司购买的费用：
30个篮球的费用为$100×30$元，赠送30条跳绳，还需购买$(x-30)$条跳绳，这部分费用为$20(x-30)$元，
总费用$=100×30 + 20(x-30) = 3000 + 20x - 600 = (20x + 2400)$元；
到B公司购买的费用：
篮球9折单价为$100×90\%$元，跳绳9折单价为$20×90\%$元，
总费用$=100×90\%×30 + 20×90\%x = 2700 + 18x = (18x + 2700)$元。
(2) 由两家总费用相等列方程：
$20x + 2400 = 18x + 2700$
移项得：$20x - 18x = 2700 - 2400$
合并同类项得：$2x = 300$
系数化为1得：$x = 150$。
(3) 当$x=50$时：
先到A公司购买30个篮球，可获赠30条跳绳，还需要跳绳$50-30=20$条；
剩余20条跳绳到B公司按9折购买，费用为$20×90\%×20=360$元；
总费用$=100×30 + 360 = 3360$元。
【答案】
(1) A公司需费用$(20x+2400)$元，B公司需费用$(18x+2700)$元
(2) $x=150$
(3) 最省钱方案：先到A公司买30个篮球获赠30条跳绳，再到B公司买20条跳绳；总费用为3360元
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景，考查对优惠规则的理解、代数式化简、一元一次方程求解以及方案优化的分析能力，贴近生活实际，能锻炼用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
(1) 先分别梳理两家公司的优惠规则：A公司买1个篮球送1条跳绳，购买30个篮球会赠送30条跳绳，仅需额外购买(x-30)条跳绳，总费用为30个篮球的总价加额外购买跳绳的总价；B公司所有商品按定价的9折付款，总费用为30个篮球的9折总价加x条跳绳的9折总价，分别列式化简即可。
(2) 两家总费用相等即第(1)问得到的两个代数式相等，列出一元一次方程，按解方程的步骤求解即可得到x的值。
(3) 当x=50时，对比两家优惠：A公司买篮球送跳绳更划算，因此优先在A公司买30个篮球获得赠送的30条跳绳，剩余需要的跳绳在B公司按9折购买更便宜，组合计算总费用即可得到最省钱的方案。
【解析】
(1) 到A公司购买的费用：
30个篮球的费用为$100×30$元，赠送30条跳绳，还需购买$(x-30)$条跳绳，这部分费用为$20(x-30)$元，
总费用$=100×30 + 20(x-30) = 3000 + 20x - 600 = (20x + 2400)$元；
到B公司购买的费用：
篮球9折单价为$100×90\%$元，跳绳9折单价为$20×90\%$元，
总费用$=100×90\%×30 + 20×90\%x = 2700 + 18x = (18x + 2700)$元。
(2) 由两家总费用相等列方程：
$20x + 2400 = 18x + 2700$
移项得：$20x - 18x = 2700 - 2400$
合并同类项得：$2x = 300$
系数化为1得：$x = 150$。
(3) 当$x=50$时：
先到A公司购买30个篮球，可获赠30条跳绳，还需要跳绳$50-30=20$条；
剩余20条跳绳到B公司按9折购买，费用为$20×90\%×20=360$元；
总费用$=100×30 + 360 = 3360$元。
【答案】
(1) A公司需费用$(20x+2400)$元，B公司需费用$(18x+2700)$元
(2) $x=150$
(3) 最省钱方案：先到A公司买30个篮球获赠30条跳绳，再到B公司买20条跳绳；总费用为3360元
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景，考查对优惠规则的理解、代数式化简、一元一次方程求解以及方案优化的分析能力，贴近生活实际，能锻炼用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
3. 如表:有三种移动电话计费方式.
已知某人12月份主叫通话时长为t min.
(1) 若他选择方式一,当$t≥100$时,则他12月份通话费用为
(2) 若移动电话公司推出“先通话后选择计费方式缴费的活动”,他计算12月份主叫通话时发现选择方式一和方式三收费相同,求他12月份的主叫通话时长,并请你给出他选择表中三种方式中的哪种方式计费更合理的建议.
(3) 若他12月份通话费为118元,则他12月份主叫时长多少分钟?
已知某人12月份主叫通话时长为t min.
(1) 若他选择方式一,当$t≥100$时,则他12月份通话费用为
0.25t+33
元(用含t的式子表示);若他选择方式二,当$t≤300$时,则他12月份通话费用为58
元;若他选择方式三,当$t≤500$时,则他12月份通话费用为108
元.(2) 若移动电话公司推出“先通话后选择计费方式缴费的活动”,他计算12月份主叫通话时发现选择方式一和方式三收费相同,求他12月份的主叫通话时长,并请你给出他选择表中三种方式中的哪种方式计费更合理的建议.
(3) 若他12月份通话费为118元,则他12月份主叫时长多少分钟?
答案
(1) (0.25t+33) 58 108
(2) 由题意,得0.25t+33=108,解得t=300,如果选用方案二,需要付费88元.因为他12月份的主叫通话时长为300 min,建议他选择方式二计费更合理.
(3) 如果是方式一,则0.25t+33=118,解得t=340;如果是方式二,则0.15(t-300)+88=118,解得t=500;如果是方式三,则0.10(t-500)+108=118,解得t=600.
∴12月份主叫时长为340 min或500 min或600 min.
(2) 由题意,得0.25t+33=108,解得t=300,如果选用方案二,需要付费88元.因为他12月份的主叫通话时长为300 min,建议他选择方式二计费更合理.
(3) 如果是方式一,则0.25t+33=118,解得t=340;如果是方式二,则0.15(t-300)+88=118,解得t=500;如果是方式三,则0.10(t-500)+108=118,解得t=600.
∴12月份主叫时长为340 min或500 min或600 min.
解析
【分析】
这是分段计费类的实际应用问题，解题核心是明确不同计费方式对应的费用计算规则：
(1) 方式一当主叫时长≥100min时，总费用=月使用费+超时部分的费用，列出关系式化简即可；方式二当主叫时长≤300min时未超时，总费用就是固定月使用费；方式三当主叫时长≤500min时未超时，总费用就是固定月使用费。
(2) 已知方式一和方式三收费相同，先判断时长范围：方式三未超时的费用为108元，代入方式一的费用表达式列方程求解，再对比三种方式在该时长下的费用，费用最低的就是最合理的方案。
(3) 总费用为118元时，分别假设选用三种计费方式，代入对应费用表达式列方程，求解后验证是否符合该计费方式的分段范围，符合的就是有效解。
【解析】
(1) 方式一$t≥100$时，费用为：
$58+0.25(t-100)=58+0.25t-25=0.25t+33$
方式二$t≤300$时，主叫时长未超过限定时间，费用为固定月使用费88元；
方式三$t≤500$时，主叫时长未超过限定时间，费用为固定月使用费108元。
(2) 由题意，方式一和方式三收费相同，方式三未超时的费用为108元，列方程：
$0.25t+33=108$
解得：$0.25t=75$，$t=300$，符合$t≥100$且$t≤500$，是有效解。
此时三种方式费用分别为：方式一108元，方式二88元，方式三108元，$88＜108$，因此选择方式二更合理。
(3) 分三种情况讨论：
① 若选方式一：列方程$0.25t+33=118$
解得$0.25t=85$，$t=340$，$340≥100$，符合范围；
② 若选方式二：此时$t＞300$（$t≤300$时最高费用为88元＜118元），列方程：
$88+0.15(t-300)=118$
解得$0.15(t-300)=30$，$t-300=200$，$t=500$，符合$t＞300$；
③ 若选方式三：此时$t＞500$（$t≤500$时最高费用为108元＜118元），列方程：
$108+0.10(t-500)=118$
解得$0.10(t-500)=10$，$t-500=100$，$t=600$，符合$t＞500$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0.25t+33)}$；$\boldsymbol{88}$；$\boldsymbol{108}$
(2) 主叫通话时长为$\boldsymbol{300\ \mathrm{min}}$，选择方式二计费更合理。
(3) 主叫时长为$\boldsymbol{340\ \mathrm{min}}$或$\boldsymbol{500\ \mathrm{min}}$或$\boldsymbol{600\ \mathrm{min}}$。
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的实际应用；方案选择问题
【点评】
本题核心是理清不同计费方式的分段规则，列方程求解后要注意验证解是否符合对应分段的取值范围，方案选择类问题只需对比不同方案的成本，选择成本最低的即可。
【难度系数】
0.7
这是分段计费类的实际应用问题，解题核心是明确不同计费方式对应的费用计算规则：
(1) 方式一当主叫时长≥100min时，总费用=月使用费+超时部分的费用，列出关系式化简即可；方式二当主叫时长≤300min时未超时，总费用就是固定月使用费；方式三当主叫时长≤500min时未超时，总费用就是固定月使用费。
(2) 已知方式一和方式三收费相同，先判断时长范围：方式三未超时的费用为108元，代入方式一的费用表达式列方程求解，再对比三种方式在该时长下的费用，费用最低的就是最合理的方案。
(3) 总费用为118元时，分别假设选用三种计费方式，代入对应费用表达式列方程，求解后验证是否符合该计费方式的分段范围，符合的就是有效解。
【解析】
(1) 方式一$t≥100$时，费用为：
$58+0.25(t-100)=58+0.25t-25=0.25t+33$
方式二$t≤300$时，主叫时长未超过限定时间，费用为固定月使用费88元；
方式三$t≤500$时，主叫时长未超过限定时间，费用为固定月使用费108元。
(2) 由题意，方式一和方式三收费相同，方式三未超时的费用为108元，列方程：
$0.25t+33=108$
解得：$0.25t=75$，$t=300$，符合$t≥100$且$t≤500$，是有效解。
此时三种方式费用分别为：方式一108元，方式二88元，方式三108元，$88＜108$，因此选择方式二更合理。
(3) 分三种情况讨论：
① 若选方式一：列方程$0.25t+33=118$
解得$0.25t=85$，$t=340$，$340≥100$，符合范围；
② 若选方式二：此时$t＞300$（$t≤300$时最高费用为88元＜118元），列方程：
$88+0.15(t-300)=118$
解得$0.15(t-300)=30$，$t-300=200$，$t=500$，符合$t＞300$；
③ 若选方式三：此时$t＞500$（$t≤500$时最高费用为108元＜118元），列方程：
$108+0.10(t-500)=118$
解得$0.10(t-500)=10$，$t-500=100$，$t=600$，符合$t＞500$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0.25t+33)}$；$\boldsymbol{88}$；$\boldsymbol{108}$
(2) 主叫通话时长为$\boldsymbol{300\ \mathrm{min}}$，选择方式二计费更合理。
(3) 主叫时长为$\boldsymbol{340\ \mathrm{min}}$或$\boldsymbol{500\ \mathrm{min}}$或$\boldsymbol{600\ \mathrm{min}}$。
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的实际应用；方案选择问题
【点评】
本题核心是理清不同计费方式的分段规则，列方程求解后要注意验证解是否符合对应分段的取值范围，方案选择类问题只需对比不同方案的成本，选择成本最低的即可。
【难度系数】
0.7
