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4. 某校七年级三个班的学生要到某农业教育基地进行社会大课堂活动，三个班学生共101人，其中一班有20多人，不足30人，二班比一班的人数少5人.教育基地团体购票价格如下：
原计划三个班都以班为单位购票，则一共应付1365元.三个班各有多少人？
原计划三个班都以班为单位购票，则一共应付1365元.三个班各有多少人？
答案
设一班有x人,则二班有(x-5)人,三班有[101-x-(x-5)]=(106-2x)人.由题意,得20＜x＜30,
∴x-5＜25,46＜106-2x＜66.① 若46＜106-2x≤60,则15x+15(x-5)+12(106-2x)=1 365,解得x=28,符合题意.所以x-5=23,106-2x=50;② 若106-2x＞60,则15x+15(x-5)+10(106-2x)=1 365.解得x=38.
∵38＞30,
∴x=38不合题意舍去.
∴一班有28人,二班有23人,三班有50人.
∴x-5＜25,46＜106-2x＜66.① 若46＜106-2x≤60,则15x+15(x-5)+12(106-2x)=1 365,解得x=28,符合题意.所以x-5=23,106-2x=50;② 若106-2x＞60,则15x+15(x-5)+10(106-2x)=1 365.解得x=38.
∵38＞30,
∴x=38不合题意舍去.
∴一班有28人,二班有23人,三班有50人.
解析
【分析】
解题时先根据题目中的人数关系设未知数：设一班人数为$x$，即可依次表示出二班、三班的人数。首先根据“一班有20多人，不足30人”确定$20＜x＜30$，由此可知一班、二班人数都在1~30的购票区间，票价均为15元；再通过不等式计算可判断三班人数存在两种可能：31~60人或者60人以上，因此需要分两种情况列一元一次方程求解，最后验证解是否符合对应的人数范围，舍去不符合实际的解即可得到正确结果。
【解析】
解：设一班有$x$人，则二班有$(x-5)$人，三班人数为$101 - x - (x-5) = (106 - 2x)$人。
由题意得$20 ＜ x ＜ 30$，因此$x-5 ＜ 25$，$46 ＜ 106-2x ＜ 66$，分两种情况讨论：
① 若三班人数满足$46 ＜ 106-2x ≤ 60$，即三班购票单价为12元，列方程得：
$15x + 15(x-5) + 12(106-2x) = 1365$
展开计算：$15x +15x -75 + 1272 -24x =1365$
合并同类项得：$6x + 1197 =1365$
解得$x=28$，符合$20＜x＜30$的条件。
此时二班人数：$x-5=28-5=23$（人），三班人数：$106-2×28=50$（人）。
② 若三班人数满足$106-2x ＞ 60$，即三班购票单价为10元，列方程得：
$15x +15(x-5) +10(106-2x) =1365$
展开计算：$15x+15x-75 +1060 -20x =1365$
合并同类项得：$10x + 985 =1365$
解得$x=38$，与“一班人数不足30人”的条件矛盾，舍去该解。
【答案】
一班有28人，二班有23人，三班有50人。
【知识点】
一元一次方程应用；分类讨论思想；实际问题解的验证
【点评】
这道题以生活中的团体购票场景为背景，需要结合已知条件先确定未知量的取值范围，再通过分类讨论建立方程求解，解题过程中要注意验证解是否符合实际限制条件，能有效锻炼逻辑分析能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题时先根据题目中的人数关系设未知数：设一班人数为$x$，即可依次表示出二班、三班的人数。首先根据“一班有20多人，不足30人”确定$20＜x＜30$，由此可知一班、二班人数都在1~30的购票区间，票价均为15元；再通过不等式计算可判断三班人数存在两种可能：31~60人或者60人以上，因此需要分两种情况列一元一次方程求解，最后验证解是否符合对应的人数范围，舍去不符合实际的解即可得到正确结果。
【解析】
解：设一班有$x$人，则二班有$(x-5)$人，三班人数为$101 - x - (x-5) = (106 - 2x)$人。
由题意得$20 ＜ x ＜ 30$，因此$x-5 ＜ 25$，$46 ＜ 106-2x ＜ 66$，分两种情况讨论：
① 若三班人数满足$46 ＜ 106-2x ≤ 60$，即三班购票单价为12元，列方程得：
$15x + 15(x-5) + 12(106-2x) = 1365$
展开计算：$15x +15x -75 + 1272 -24x =1365$
合并同类项得：$6x + 1197 =1365$
解得$x=28$，符合$20＜x＜30$的条件。
此时二班人数：$x-5=28-5=23$（人），三班人数：$106-2×28=50$（人）。
② 若三班人数满足$106-2x ＞ 60$，即三班购票单价为10元，列方程得：
$15x +15(x-5) +10(106-2x) =1365$
展开计算：$15x+15x-75 +1060 -20x =1365$
合并同类项得：$10x + 985 =1365$
解得$x=38$，与“一班人数不足30人”的条件矛盾，舍去该解。
【答案】
一班有28人，二班有23人，三班有50人。
【知识点】
一元一次方程应用；分类讨论思想；实际问题解的验证
【点评】
这道题以生活中的团体购票场景为背景，需要结合已知条件先确定未知量的取值范围，再通过分类讨论建立方程求解，解题过程中要注意验证解是否符合实际限制条件，能有效锻炼逻辑分析能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
1. 小陈和父母去某火锅店吃火锅，点了270元的商品，其中包含一份50元的鸳鸯锅底.用餐完毕后，小陈去付款，发现店家有两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受.
小陈选择优惠方式B计算，发现自己需要付款182元.
（1）请用一元一次方程的知识计算一下，采用优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打几折？
（2）小陈如何付款最省钱？
小陈选择优惠方式B计算，发现自己需要付款182元.
（1）请用一元一次方程的知识计算一下，采用优惠方式B，除锅底不打折外，其余菜品打几折？
（2）小陈如何付款最省钱？
答案
(1) 设采用优惠方式B,除锅底不打折外,其余菜品打x折.由题意,得50+(270-50)×x/10=182,解得x=6.
(2) 方式A:可买3张代金券:3×50=150(元);方式B:需付182元,故小陈应买3张代金券最省钱.
(2) 方式A:可买3张代金券:3×50=150(元);方式B:需付182元,故小陈应买3张代金券最省钱.
解析
【分析】
(1) 求优惠方式B的折扣时，首先明确“x折”指原价的$\frac{x}{10}$。已知总消费270元，其中50元锅底不打折，剩余220元菜品按x折计费，最终付款182元，根据“锅底费用+打折后菜品费用=实际总付款”的等量关系，就可以列一元一次方程求解折扣。
(2) 要判断最省钱的付款方式，只需要分别计算两种优惠方式的实际花费，再对比大小，花费更低的就是最优方案。计算优惠方式A的花费时，注意代金券最多叠加3张，50元可购100元面值的代金券，且代金券不兑现不找零，总消费270元可用3张面值共300元的代金券覆盖，只需付3张代金券的成本即可。
【解析】
(1) 设采用优惠方式B，除锅底外其余菜品打x折。
根据题意列方程：
$50 + (270 - 50) × \frac{x}{10} = 182$
计算得：$50 + 22x = 182$
移项化简：$22x = 132$
解得：$x = 6$
(2) 分别计算两种优惠的花费：
优惠方式A：最多可使用3张代金券，实付金额为$3 × 50 = 150$元；
优惠方式B：已知需付款182元。
因为$150 ＜ 182$，所以选择优惠方式A更省钱。
【答案】
(1) 除锅底不打折外，其余菜品打6折；
(2) 小陈选择优惠方式A，购买3张代金券付款最省钱。
【知识点】
打折销售问题；一元一次方程的应用；方案最优选择
【点评】
本题结合日常消费的优惠场景命题，既考查了一元一次方程的列写与求解能力，也考查了对不同优惠规则的分析、对比能力，能帮助学生体会数学知识在生活中的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
(1) 求优惠方式B的折扣时，首先明确“x折”指原价的$\frac{x}{10}$。已知总消费270元，其中50元锅底不打折，剩余220元菜品按x折计费，最终付款182元，根据“锅底费用+打折后菜品费用=实际总付款”的等量关系，就可以列一元一次方程求解折扣。
(2) 要判断最省钱的付款方式，只需要分别计算两种优惠方式的实际花费，再对比大小，花费更低的就是最优方案。计算优惠方式A的花费时，注意代金券最多叠加3张，50元可购100元面值的代金券，且代金券不兑现不找零，总消费270元可用3张面值共300元的代金券覆盖，只需付3张代金券的成本即可。
【解析】
(1) 设采用优惠方式B，除锅底外其余菜品打x折。
根据题意列方程：
$50 + (270 - 50) × \frac{x}{10} = 182$
计算得：$50 + 22x = 182$
移项化简：$22x = 132$
解得：$x = 6$
(2) 分别计算两种优惠的花费：
优惠方式A：最多可使用3张代金券，实付金额为$3 × 50 = 150$元；
优惠方式B：已知需付款182元。
因为$150 ＜ 182$，所以选择优惠方式A更省钱。
【答案】
(1) 除锅底不打折外，其余菜品打6折；
(2) 小陈选择优惠方式A，购买3张代金券付款最省钱。
【知识点】
打折销售问题；一元一次方程的应用；方案最优选择
【点评】
本题结合日常消费的优惠场景命题，既考查了一元一次方程的列写与求解能力，也考查了对不同优惠规则的分析、对比能力，能帮助学生体会数学知识在生活中的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
