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15.1 如图15-1，在$△ ABC$中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE相交于点O，连接BO，CO.
（1）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）连接AD，AE，若$△ ADE$的周长为8，求BC的长.
（1）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）连接AD，AE，若$△ ADE$的周长为8，求BC的长.
答案
解：(1) 点O在BC的垂直平分线上. 理由如下：
连接AO（图略）.
∵OM是AB的垂直平分线，
∴AO=BO.
∵ON是AC的垂直平分线，
∴AO=CO.
∴BO=CO.
∴点O在BC的垂直平分线上.
(2)
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD=BD.
∵EN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE.
∵AD+DE+AE=8，
∴BD+DE+CE=8.
∴BC=8.
连接AO（图略）.
∵OM是AB的垂直平分线，
∴AO=BO.
∵ON是AC的垂直平分线，
∴AO=CO.
∴BO=CO.
∴点O在BC的垂直平分线上.
(2)
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD=BD.
∵EN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE.
∵AD+DE+AE=8，
∴BD+DE+CE=8.
∴BC=8.
解析
【分析】
（1）要判断点O是否在BC的垂直平分线上，依据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需证明BO=CO即可。已知O在AB、AC的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可得AO=BO、AO=CO，等量代换就能得到BO=CO，从而得出结论。
（2）要求BC的长度，已知△ADE的周长为8，即AD+DE+AE=8。根据垂直平分线的性质，D在AB的垂直平分线上，故AD=BD；E在AC的垂直平分线上，故AE=CE。将AD、AE替换为BD、CE后，△ADE的周长就转化为BD+DE+CE，恰好是BC的长度，即可求出BC的值。
【解析】
(1) 点O在BC的垂直平分线上，理由如下：
连接AO。
∵OM是AB的垂直平分线，
∴AO=BO。
∵ON是AC的垂直平分线，
∴AO=CO。
∴BO=CO，
∴点O在BC的垂直平分线上。
(2)
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD=BD。
∵EN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE。
∵△ADE的周长为8，即AD+DE+AE=8，
∴BD+DE+CE=8，
∴BC=8。
【答案】
（1）点O在BC的垂直平分线上；
（2）BC的长为8。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；等量代换
【点评】
本题是垂直平分线相关的基础题型，解题核心是熟练运用垂直平分线的性质和判定定理，通过等量代换完成线段转化即可求解，属于基础定理应用的常规考查题。
【难度系数】
0.8
（1）要判断点O是否在BC的垂直平分线上，依据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需证明BO=CO即可。已知O在AB、AC的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可得AO=BO、AO=CO，等量代换就能得到BO=CO，从而得出结论。
（2）要求BC的长度，已知△ADE的周长为8，即AD+DE+AE=8。根据垂直平分线的性质，D在AB的垂直平分线上，故AD=BD；E在AC的垂直平分线上，故AE=CE。将AD、AE替换为BD、CE后，△ADE的周长就转化为BD+DE+CE，恰好是BC的长度，即可求出BC的值。
【解析】
(1) 点O在BC的垂直平分线上，理由如下：
连接AO。
∵OM是AB的垂直平分线，
∴AO=BO。
∵ON是AC的垂直平分线，
∴AO=CO。
∴BO=CO，
∴点O在BC的垂直平分线上。
(2)
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD=BD。
∵EN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE。
∵△ADE的周长为8，即AD+DE+AE=8，
∴BD+DE+CE=8，
∴BC=8。
【答案】
（1）点O在BC的垂直平分线上；
（2）BC的长为8。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；等量代换
【点评】
本题是垂直平分线相关的基础题型，解题核心是熟练运用垂直平分线的性质和判定定理，通过等量代换完成线段转化即可求解，属于基础定理应用的常规考查题。
【难度系数】
0.8
15.2 如图15-2，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（-2，-1）。
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A₁B₁C₁；
（2）写出点C₁的坐标；
（3）求△ABC的面积。
图15-2
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A₁B₁C₁；
（2）写出点C₁的坐标；
（3）求△ABC的面积。
图15-2
答案
解：(1) 如图所示，△A₁B₁C₁即为所求.
(2) 点C₁的坐标为(-2，1).
(3) $S_{△ABC}=5×5-\frac{1}{2}×4×5-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×2×5=\frac{17}{2}$.
解析
【分析】
（1）作△ABC关于x轴对称的图形，首先要掌握关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，先求出A、B、C三点的对称点坐标，再依次连接三个对称点即可得到△A₁B₁C₁；
（2）直接套用关于x轴对称的坐标规律，代入C点坐标计算即可得到C₁的坐标；
（3）网格中求不规则三角形面积可采用割补法：先找到包含△ABC的最小矩形，计算矩形面积后，减去矩形内△ABC周围的三个直角三角形的面积，就能得到△ABC的面积。
【解析】
（1）先计算各点关于x轴对称的点的坐标：点A(2,4)的对称点A₁为(2,-4)，点B(3,1)的对称点B₁为(3,-1)，点C(-2,-1)的对称点C₁为(-2,1)，在坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁后顺次连接，得到的△A₁B₁C₁即为所求。
（2）关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，已知C(-2,-1)，因此C₁的坐标为(-2,1)。
（3）用割补法计算：
包含△ABC的最小矩形的长为$3-(-2)=5$，宽为$4-(-1)=5$，矩形面积为$5×5=25$。
矩形内三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×4×5=10$，$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}×2×5=5$。
因此$S_{△ABC}=25-10-\frac{3}{2}-5=\frac{17}{2}$。
【答案】
(1) 如图所示，△A₁B₁C₁即为所求.
(2) 点C₁的坐标为(-2，1).
(3) $S_{△ABC}=\frac{17}{2}$
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标特征
2. 割补法求图形面积
3. 轴对称作图
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，综合考查了轴对称作图、对称点坐标规律以及网格图形面积计算，解题核心是掌握对称点坐标变化规律，熟练运用割补法处理不规则图形的面积计算，计算时需注意运算准确性。
【难度系数】
0.7
（1）作△ABC关于x轴对称的图形，首先要掌握关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，先求出A、B、C三点的对称点坐标，再依次连接三个对称点即可得到△A₁B₁C₁；
（2）直接套用关于x轴对称的坐标规律，代入C点坐标计算即可得到C₁的坐标；
（3）网格中求不规则三角形面积可采用割补法：先找到包含△ABC的最小矩形，计算矩形面积后，减去矩形内△ABC周围的三个直角三角形的面积，就能得到△ABC的面积。
【解析】
（1）先计算各点关于x轴对称的点的坐标：点A(2,4)的对称点A₁为(2,-4)，点B(3,1)的对称点B₁为(3,-1)，点C(-2,-1)的对称点C₁为(-2,1)，在坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁后顺次连接，得到的△A₁B₁C₁即为所求。
（2）关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，已知C(-2,-1)，因此C₁的坐标为(-2,1)。
（3）用割补法计算：
包含△ABC的最小矩形的长为$3-(-2)=5$，宽为$4-(-1)=5$，矩形面积为$5×5=25$。
矩形内三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×4×5=10$，$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}×2×5=5$。
因此$S_{△ABC}=25-10-\frac{3}{2}-5=\frac{17}{2}$。
【答案】
(1) 如图所示，△A₁B₁C₁即为所求.
(2) 点C₁的坐标为(-2，1).
(3) $S_{△ABC}=\frac{17}{2}$
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标特征
2. 割补法求图形面积
3. 轴对称作图
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，综合考查了轴对称作图、对称点坐标规律以及网格图形面积计算，解题核心是掌握对称点坐标变化规律，熟练运用割补法处理不规则图形的面积计算，计算时需注意运算准确性。
【难度系数】
0.7
15.3 如图15-3，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且$CE=CD$，$DM⊥ BC$，垂足为M，求证：M是BE的中点。
答案
证明：如图，连接BD.
∵△ABC是等边三角形，且D是AC的中点，
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}×60°=30°$,
∠ACB=60°.
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E.
又∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°.
∴∠DBC=∠E=30°.
∴BD=ED.
∴△BDE为等腰三角形.
又DM⊥BC，
∴M是BE的中点.
解析
【分析】
要证明M是BE的中点，已知DM⊥BE，结合等腰三角形“三线合一”的性质，只需先证明△BDE是等腰三角形（即BD=ED）即可。要证BD=ED，可通过证明∠DBC=∠E实现：首先利用等边三角形的性质，结合D是AC中点求出∠DBC的度数；再根据CE=CD，利用等腰三角形等边对等角及三角形外角的性质求出∠E的度数，验证两角相等即可得到BD=ED，最后用等腰三角形三线合一的性质即可得证结论。
【解析】
证明：如图，连接BD.
∵△ABC是等边三角形，且D是AC的中点，
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}×60°=30°$,
∠ACB=60°.
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E.
又∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°.
∴∠DBC=∠E=30°.
∴BD=ED.
∴△BDE为等腰三角形.
又DM⊥BC，
∴M是BE的中点.
【答案】
证明：如图，连接BD.
∵△ABC是等边三角形，且D是AC的中点，
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}×60°=30°$,
∠ACB=60°.
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E.
又∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°.
∴∠DBC=∠E=30°.
∴BD=ED.
∴△BDE为等腰三角形.
又DM⊥BC，
∴M是BE的中点.
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题的关键是合理添加辅助线BD，将待证中点结论转化为证明等腰三角形，结合等边三角形、等腰三角形的性质及三角形外角性质推导角的等量关系即可得证，解题时注意“三线合一”性质仅适用于等腰三角形。
【难度系数】
0.7
要证明M是BE的中点，已知DM⊥BE，结合等腰三角形“三线合一”的性质，只需先证明△BDE是等腰三角形（即BD=ED）即可。要证BD=ED，可通过证明∠DBC=∠E实现：首先利用等边三角形的性质，结合D是AC中点求出∠DBC的度数；再根据CE=CD，利用等腰三角形等边对等角及三角形外角的性质求出∠E的度数，验证两角相等即可得到BD=ED，最后用等腰三角形三线合一的性质即可得证结论。
【解析】
证明：如图，连接BD.
∵△ABC是等边三角形，且D是AC的中点，
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}×60°=30°$,
∠ACB=60°.
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E.
又∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°.
∴∠DBC=∠E=30°.
∴BD=ED.
∴△BDE为等腰三角形.
又DM⊥BC，
∴M是BE的中点.
【答案】
证明：如图，连接BD.
∵△ABC是等边三角形，且D是AC的中点，
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}×60°=30°$,
∠ACB=60°.
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E.
又∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°.
∴∠DBC=∠E=30°.
∴BD=ED.
∴△BDE为等腰三角形.
又DM⊥BC，
∴M是BE的中点.
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题的关键是合理添加辅助线BD，将待证中点结论转化为证明等腰三角形，结合等边三角形、等腰三角形的性质及三角形外角性质推导角的等量关系即可得证，解题时注意“三线合一”性质仅适用于等腰三角形。
【难度系数】
0.7
