登录
1.（福建中考）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图15-4. 其中$△ OAB$与$△ ODC$都是等腰三角形，且它们关于直线$l$对称，$E$，$F$分别是底边$AB$，$CD$的中点，$OE⊥ OF$. 下列推断错误的是（
A.$OB⊥ OD$
B.$∠ BOC=∠ AOB$
C.$OE=OF$
D.$∠ BOC+∠ AOD=180°$
B
）.A.$OB⊥ OD$
B.$∠ BOC=∠ AOB$
C.$OE=OF$
D.$∠ BOC+∠ AOD=180°$
答案
1.B
解析
【分析】
这道题需要结合轴对称性质、等腰三角形三线合一、全等三角形的性质逐一判断选项。解题思路如下：1. 先由两个等腰三角形全等且关于直线l对称，结合E、F是底边中点，根据等腰三角形三线合一得到角平分线关系，再由轴对称性质直接判断OE=OF，确认C正确；2. 设四个相等的小角为参数α，结合OE⊥OF的条件推导出∠BOC和∠AOB的表达式，判断二者不一定相等，初步锁定错误选项；3. 分别推导∠BOD的度数、∠BOC与∠AOD的和，验证A、D选项正确，最终确定错误选项。
【解析】
解：
∵△OAB与△ODC是全等的等腰三角形，且关于直线$l$对称，E、F分别是AB、CD的中点，
∴根据等腰三角形三线合一性质，OE平分∠AOB，OF平分∠COD，再由轴对称性质可得$OE=OF$，故C选项正确，不符合题意；
设$∠ AOE=∠ BOE=∠ COF=∠ DOF=α$，则$∠ AOB=∠ COD=2α$，
∵$OE⊥ OF$，
∴$∠ EOF=90°$，
∴$∠ BOE + ∠ BOC + ∠ COF = α + ∠ BOC + α = 90°$，
解得$∠ BOC=90°-2α$，
显然$∠ BOC=90°-2α$与$∠ AOB=2α$不一定相等，故B选项错误，符合题意；
∵$∠ BOD=∠ BOC + ∠ COD = (90°-2α) + 2α = 90°$，
∴$OB⊥ OD$，故A选项正确，不符合题意；
∵$∠ AOD=∠ AOB + ∠ BOC + ∠ COD = 2α + (90°-2α) + 2α = 90°+2α$，
∴$∠ BOC + ∠ AOD = (90°-2α) + (90°+2α) = 180°$，故D选项正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，通过设参数表示角度的方法可以简化角度关系的推导，要求熟练掌握轴对称、等腰三角形的相关性质，能灵活运用角的和差关系进行计算判断。
【难度系数】
0.7
这道题需要结合轴对称性质、等腰三角形三线合一、全等三角形的性质逐一判断选项。解题思路如下：1. 先由两个等腰三角形全等且关于直线l对称，结合E、F是底边中点，根据等腰三角形三线合一得到角平分线关系，再由轴对称性质直接判断OE=OF，确认C正确；2. 设四个相等的小角为参数α，结合OE⊥OF的条件推导出∠BOC和∠AOB的表达式，判断二者不一定相等，初步锁定错误选项；3. 分别推导∠BOD的度数、∠BOC与∠AOD的和，验证A、D选项正确，最终确定错误选项。
【解析】
解：
∵△OAB与△ODC是全等的等腰三角形，且关于直线$l$对称，E、F分别是AB、CD的中点，
∴根据等腰三角形三线合一性质，OE平分∠AOB，OF平分∠COD，再由轴对称性质可得$OE=OF$，故C选项正确，不符合题意；
设$∠ AOE=∠ BOE=∠ COF=∠ DOF=α$，则$∠ AOB=∠ COD=2α$，
∵$OE⊥ OF$，
∴$∠ EOF=90°$，
∴$∠ BOE + ∠ BOC + ∠ COF = α + ∠ BOC + α = 90°$，
解得$∠ BOC=90°-2α$，
显然$∠ BOC=90°-2α$与$∠ AOB=2α$不一定相等，故B选项错误，符合题意；
∵$∠ BOD=∠ BOC + ∠ COD = (90°-2α) + 2α = 90°$，
∴$OB⊥ OD$，故A选项正确，不符合题意；
∵$∠ AOD=∠ AOB + ∠ BOC + ∠ COD = 2α + (90°-2α) + 2α = 90°+2α$，
∴$∠ BOC + ∠ AOD = (90°-2α) + (90°+2α) = 180°$，故D选项正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，通过设参数表示角度的方法可以简化角度关系的推导，要求熟练掌握轴对称、等腰三角形的相关性质，能灵活运用角的和差关系进行计算判断。
【难度系数】
0.7
2.（广东深圳中考）在如图15-5所示的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（
A.①②
B.①③
C.②③
D.只有①
B
）.A.①②
B.①③
C.②③
D.只有①
答案
2.B
解析
【分析】
要判断射线AD是否平分∠BAC，需结合每个图的尺规作图痕迹，利用角平分线的判定、常见尺规作图的原理逐一分析：首先回忆角平分线的标准尺规作图规则，再分别验证三个图形的AD是否满足角相等的条件：图①是角平分线的标准作图，可通过全等证角相等；图②是作BC的垂直平分线，无等腰前提时无法推出角相等；图③的点D到角两边距离相等，可通过角平分线判定定理证AD平分角。
【解析】
我们逐个分析三个图形：
1. 图①：属于角平分线的标准尺规作图。根据作图痕迹，可通过SSS证明△BAD和△CAD全等，因此∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，符合要求。
2. 图②：作图痕迹是作线段BC的垂直平分线，仅能得到BD=CD、AD⊥BC，没有AB=AC的前提时，无法推出∠BAD=∠CAD，不能判断AD平分∠BAC，不符合要求。
3. 图③：根据作图痕迹，点D到AB、AC两边的距离相等，由角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可得AD平分∠BAC，符合要求。
综上，①③可判断AD平分∠BAC，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图，角平分线的判定，垂直平分线的性质
【点评】
本题考查常见尺规作图的原理和角平分线的判定，需要熟练掌握各类尺规作图的操作逻辑，结合全等、角平分线相关定理分析即可解决。
【难度系数】
0.7
要判断射线AD是否平分∠BAC，需结合每个图的尺规作图痕迹，利用角平分线的判定、常见尺规作图的原理逐一分析：首先回忆角平分线的标准尺规作图规则，再分别验证三个图形的AD是否满足角相等的条件：图①是角平分线的标准作图，可通过全等证角相等；图②是作BC的垂直平分线，无等腰前提时无法推出角相等；图③的点D到角两边距离相等，可通过角平分线判定定理证AD平分角。
【解析】
我们逐个分析三个图形：
1. 图①：属于角平分线的标准尺规作图。根据作图痕迹，可通过SSS证明△BAD和△CAD全等，因此∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，符合要求。
2. 图②：作图痕迹是作线段BC的垂直平分线，仅能得到BD=CD、AD⊥BC，没有AB=AC的前提时，无法推出∠BAD=∠CAD，不能判断AD平分∠BAC，不符合要求。
3. 图③：根据作图痕迹，点D到AB、AC两边的距离相等，由角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可得AD平分∠BAC，符合要求。
综上，①③可判断AD平分∠BAC，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图，角平分线的判定，垂直平分线的性质
【点评】
本题考查常见尺规作图的原理和角平分线的判定，需要熟练掌握各类尺规作图的操作逻辑，结合全等、角平分线相关定理分析即可解决。
【难度系数】
0.7
3.（广东汕头期末）如图15-6，已知P是等边三角形ABC的边BC上的一点（点P与点C、点B不重合），则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最大的内角的大小为（
A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
D
）。A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
答案
3.D
解析
【分析】
要解决这个问题，需先将分散的线段AP、BP、CP转化到同一个三角形中。结合等边三角形三边相等、内角均为60°的特征，可通过构造等边三角形结合全等三角形的性质转移线段：以AP为边构造等边三角形APD，证明△ABP≌△ACD，将BP转化为CD，即可得到以AP、BP、CP为边的三角形，最后计算该三角形的最大内角即可。
【解析】
解：以AP为边作等边三角形APD，使点D和点B在AP的两侧，连接CD。
∵△ABC和△APD都是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=60°，∠B=∠ACB=60°。
∴∠BAC - ∠PAC = ∠PAD - ∠PAC，即∠BAP=∠CAD。
在△ABP和△ACD中：
$\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠ BAP=∠ CAD\\ AP=AD\end{array} $
∴△ABP≌△ACD（SAS）。
∴BP=CD，∠ACD=∠B=60°。
因此△PCD的三边长分别为PD=AP、CD=BP、PC=CP，即△PCD就是以AP、BP、CP为边的三角形。
∵∠PCD=∠ACB + ∠ACD=60°+60°=120°，120°为钝角，是△PCD中最大的内角，
∴所求最大内角为120°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；三角形内角性质
【点评】
本题是等边三角形相关的典型题型，解题核心是通过构造等边三角形将分散的三条线段集中到同一个三角形中，将未知问题转化为已知三角形的角度计算问题，熟练掌握全等三角形和等边三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先将分散的线段AP、BP、CP转化到同一个三角形中。结合等边三角形三边相等、内角均为60°的特征，可通过构造等边三角形结合全等三角形的性质转移线段：以AP为边构造等边三角形APD，证明△ABP≌△ACD，将BP转化为CD，即可得到以AP、BP、CP为边的三角形，最后计算该三角形的最大内角即可。
【解析】
解：以AP为边作等边三角形APD，使点D和点B在AP的两侧，连接CD。
∵△ABC和△APD都是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=60°，∠B=∠ACB=60°。
∴∠BAC - ∠PAC = ∠PAD - ∠PAC，即∠BAP=∠CAD。
在△ABP和△ACD中：
$\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠ BAP=∠ CAD\\ AP=AD\end{array} $
∴△ABP≌△ACD（SAS）。
∴BP=CD，∠ACD=∠B=60°。
因此△PCD的三边长分别为PD=AP、CD=BP、PC=CP，即△PCD就是以AP、BP、CP为边的三角形。
∵∠PCD=∠ACB + ∠ACD=60°+60°=120°，120°为钝角，是△PCD中最大的内角，
∴所求最大内角为120°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；三角形内角性质
【点评】
本题是等边三角形相关的典型题型，解题核心是通过构造等边三角形将分散的三条线段集中到同一个三角形中，将未知问题转化为已知三角形的角度计算问题，熟练掌握全等三角形和等边三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
4. 数学兴趣小组开展以下折纸活动：
如图15-7，（1）对折长方形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察、探究可以得到$∠ ABM$的度数是（
A.$25°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$45°$
如图15-7，（1）对折长方形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察、探究可以得到$∠ ABM$的度数是（
B
）.A.$25°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$45°$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时需结合折叠的性质与长方形的特征推导角度：首先回忆折叠的核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等；第一步根据第一次对折的操作，确定EF是AB的垂直平分线，得到BE与AB的数量关系；第二步根据第二次折叠的操作，得到AB=BN、∠ABM=∠NBM，推出BE与BN的关系；第三步在直角三角形BEN中，利用“直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半”的性质逆推角度，最终求出∠ABM的度数。
【解析】
解：
∵ 对折长方形ABCD使AD与BC重合，折痕为EF
∴ EF垂直平分AB，E为AB中点，即$BE=\frac{1}{2}AB$，且$∠BEF=90°$
∵ 第二次折叠使点A落在EF上的N点，折痕为BM
∴ 由折叠性质得：$AB=BN$，$∠ABM=∠NBM$
∴ $BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}BN$
在$Rt△BEN$中，$BE=\frac{1}{2}BN$
∴ $∠BNE=30°$，可得$∠ABN=90°-∠BNE=60°$
∴ $∠ABM=\frac{1}{2}∠ABN=\frac{1}{2}×60°=30°$
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质，直角三角形的性质，长方形的性质
【点评】
本题结合折纸操作考查几何推理能力，解题的关键是抓住折叠前后边、角的不变性，结合直角三角形的角度关系推导，能有效考查学生将实际操作转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.6
解题时需结合折叠的性质与长方形的特征推导角度：首先回忆折叠的核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等；第一步根据第一次对折的操作，确定EF是AB的垂直平分线，得到BE与AB的数量关系；第二步根据第二次折叠的操作，得到AB=BN、∠ABM=∠NBM，推出BE与BN的关系；第三步在直角三角形BEN中，利用“直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半”的性质逆推角度，最终求出∠ABM的度数。
【解析】
解：
∵ 对折长方形ABCD使AD与BC重合，折痕为EF
∴ EF垂直平分AB，E为AB中点，即$BE=\frac{1}{2}AB$，且$∠BEF=90°$
∵ 第二次折叠使点A落在EF上的N点，折痕为BM
∴ 由折叠性质得：$AB=BN$，$∠ABM=∠NBM$
∴ $BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}BN$
在$Rt△BEN$中，$BE=\frac{1}{2}BN$
∴ $∠BNE=30°$，可得$∠ABN=90°-∠BNE=60°$
∴ $∠ABM=\frac{1}{2}∠ABN=\frac{1}{2}×60°=30°$
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质，直角三角形的性质，长方形的性质
【点评】
本题结合折纸操作考查几何推理能力，解题的关键是抓住折叠前后边、角的不变性，结合直角三角形的角度关系推导，能有效考查学生将实际操作转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.6
5.（北京中考）图15-8为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（
A.1
B.2
C.3
D.5
D
）。A.1
B.2
C.3
D.5
答案
5.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆轴对称图形对称轴的定义：如果一个平面图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是该图形的对称轴。接下来只需要找出所有满足折叠后重合的直线即可：该图形具有五重对称的特征，我们可以尝试过每个向外突出的顶点和其对侧向内凹陷的边中点作直线，验证沿这类直线折叠是否能让两侧完全重合，最后统计符合要求的直线总数即可。
【解析】
根据轴对称图形对称轴的定义逐一验证：
沿过图形1个突出顶点和其对侧凹入边中点的直线折叠时，直线两旁的部分可以完全重合，说明这条直线是图形的对称轴；
上述符合要求的直线一共有5条，因此该图形的对称轴条数为5。
故选D。
【答案】D
【知识点】
轴对称图形定义，对称轴计数
【点评】
本题考查轴对称图形的相关基础概念，解题的核心是准确理解对称轴的定义，观察图形时要全面，避免漏数符合要求的直线。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆轴对称图形对称轴的定义：如果一个平面图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是该图形的对称轴。接下来只需要找出所有满足折叠后重合的直线即可：该图形具有五重对称的特征，我们可以尝试过每个向外突出的顶点和其对侧向内凹陷的边中点作直线，验证沿这类直线折叠是否能让两侧完全重合，最后统计符合要求的直线总数即可。
【解析】
根据轴对称图形对称轴的定义逐一验证：
沿过图形1个突出顶点和其对侧凹入边中点的直线折叠时，直线两旁的部分可以完全重合，说明这条直线是图形的对称轴；
上述符合要求的直线一共有5条，因此该图形的对称轴条数为5。
故选D。
【答案】D
【知识点】
轴对称图形定义，对称轴计数
【点评】
本题考查轴对称图形的相关基础概念，解题的核心是准确理解对称轴的定义，观察图形时要全面，避免漏数符合要求的直线。
【难度系数】
0.8
6.（黑龙江绥化中考）如图15-9，已知$∠ AOB=50°$，P为$∠ AOB$内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当$△ PMN$的周长最小时，则$∠ MPN$的度数为________。
答案
6.$80°$
解析
【分析】
要使△PMN的周长最小，需利用轴对称的性质将分散的线段转化为共线线段，依据“两点之间线段最短”确定动点M、N的位置：先作点P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂，与OA、OB的交点即为周长最小时的M、N；再结合轴对称的对应角相等、三角形内角和定理，逐步推导∠MPN的度数。
【解析】
1. 作点P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂，分别交OA于点M、交OB于点N，连接PM、PN。
根据轴对称的性质，PM=P₁M，PN=P₂N，因此△PMN的周长=PM+MN+PN=P₁M+MN+P₂N=P₁P₂，由两点之间线段最短可知，此时△PMN的周长最小。
2. 由轴对称的性质可得：∠P₁MA=∠PMA，∠P₂NB=∠PNB，因此：
∠PMN=180°-2∠P₁MA，∠PNM=180°-2∠P₂NB。
3. 在△OMN中，∠AOB=50°，根据三角形内角和为180°，得：
∠OMN+∠ONM=180°-∠AOB=180°-50°=130°，
其中∠OMN=∠P₁MA，∠ONM=∠P₂NB，因此∠P₁MA+∠P₂NB=130°。
4. 代入可得∠PMN+∠PNM=360°-2(∠P₁MA+∠P₂NB)=360°-2×130°=100°。
5. 在△PMN中，根据三角形内角和为180°，得：
∠MPN=180°-(∠PMN+∠PNM)=180°-100°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
轴对称最短路径；轴对称的性质；三角形内角和
【点评】
本题是轴对称性质在最短路径问题中的典型应用，解题的关键是掌握利用轴对称构造最短周长的方法，再结合三角形内角和定理完成角度的推导，能有效考查对几何变换和角度计算的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要使△PMN的周长最小，需利用轴对称的性质将分散的线段转化为共线线段，依据“两点之间线段最短”确定动点M、N的位置：先作点P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂，与OA、OB的交点即为周长最小时的M、N；再结合轴对称的对应角相等、三角形内角和定理，逐步推导∠MPN的度数。
【解析】
1. 作点P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂，分别交OA于点M、交OB于点N，连接PM、PN。
根据轴对称的性质，PM=P₁M，PN=P₂N，因此△PMN的周长=PM+MN+PN=P₁M+MN+P₂N=P₁P₂，由两点之间线段最短可知，此时△PMN的周长最小。
2. 由轴对称的性质可得：∠P₁MA=∠PMA，∠P₂NB=∠PNB，因此：
∠PMN=180°-2∠P₁MA，∠PNM=180°-2∠P₂NB。
3. 在△OMN中，∠AOB=50°，根据三角形内角和为180°，得：
∠OMN+∠ONM=180°-∠AOB=180°-50°=130°，
其中∠OMN=∠P₁MA，∠ONM=∠P₂NB，因此∠P₁MA+∠P₂NB=130°。
4. 代入可得∠PMN+∠PNM=360°-2(∠P₁MA+∠P₂NB)=360°-2×130°=100°。
5. 在△PMN中，根据三角形内角和为180°，得：
∠MPN=180°-(∠PMN+∠PNM)=180°-100°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
轴对称最短路径；轴对称的性质；三角形内角和
【点评】
本题是轴对称性质在最短路径问题中的典型应用，解题的关键是掌握利用轴对称构造最短周长的方法，再结合三角形内角和定理完成角度的推导，能有效考查对几何变换和角度计算的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
