登录
一、选择题
1. 如图，在水平地面上的点A、C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为$α$，且点A、D、C在同一直线上，$BD⊥ AC$，如果测得$AC=200\ \mathrm{m}$，那么塔高$BD$为 （
A.$200\tanα\ \mathrm{m}$；
B.$\dfrac{200}{\tanα}\ \mathrm{m}$；
C.$100\tanα\ \mathrm{m}$；
D.$100\sinα\ \mathrm{m}$.
1. 如图，在水平地面上的点A、C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为$α$，且点A、D、C在同一直线上，$BD⊥ AC$，如果测得$AC=200\ \mathrm{m}$，那么塔高$BD$为 （
C
）A.$200\tanα\ \mathrm{m}$；
B.$\dfrac{200}{\tanα}\ \mathrm{m}$；
C.$100\tanα\ \mathrm{m}$；
D.$100\sinα\ \mathrm{m}$.
答案
1. C.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由A、C两点测得塔顶B的仰角相等，可判断△ABC是等腰三角形；再结合BD⊥AC，利用等腰三角形三线合一的性质，可得到D是AC的中点，求出AD的长度；最后在Rt△ABD中，利用仰角的正切函数关系，即可求出塔高BD。
【解析】
∵在A、C处测得B的仰角均为α，
∴∠BAD=∠BCD=α，
∴△ABC为等腰三角形，即AB=BC。
又
∵BD⊥AC，AC=200m，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得：
$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×200=100\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$∠ BAD=α$，
由锐角三角函数中正切的定义得：$\tanα=\frac{BD}{AD}$，
变形得$BD=AD·\tanα=100\tanα\ \mathrm{m}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形应用，等腰三角形性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于解直角三角形应用的基础题型，结合了等腰三角形的性质，核心考查仰角的概念以及锐角三角函数在实际问题中的应用，只要梳理清楚图形中的边角对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先由A、C两点测得塔顶B的仰角相等，可判断△ABC是等腰三角形；再结合BD⊥AC，利用等腰三角形三线合一的性质，可得到D是AC的中点，求出AD的长度；最后在Rt△ABD中，利用仰角的正切函数关系，即可求出塔高BD。
【解析】
∵在A、C处测得B的仰角均为α，
∴∠BAD=∠BCD=α，
∴△ABC为等腰三角形，即AB=BC。
又
∵BD⊥AC，AC=200m，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得：
$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×200=100\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$∠ BAD=α$，
由锐角三角函数中正切的定义得：$\tanα=\frac{BD}{AD}$，
变形得$BD=AD·\tanα=100\tanα\ \mathrm{m}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形应用，等腰三角形性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于解直角三角形应用的基础题型，结合了等腰三角形的性质，核心考查仰角的概念以及锐角三角函数在实际问题中的应用，只要梳理清楚图形中的边角对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
2. 圭表是通过测定日影长度来确定时间的仪器. 一个根据某地的地理位置设计的圭表如图所示, 其中立柱 AC 的根部与圭表的冬至线的距离(即 BC 的长)为 a. 已知冬至时该地的正午日光入射角∠ABC 约为 26.5°, 那么立柱 AC 的高约为 (
A.$\frac{a}{\tan 26.5°}$；
B.$a\tan 26.5°$；
C.$a\sin 26.5°$；
D.$\frac{a}{\cos 26.5°}$.
B
)A.$\frac{a}{\tan 26.5°}$；
B.$a\tan 26.5°$；
C.$a\sin 26.5°$；
D.$\frac{a}{\cos 26.5°}$.
答案
2. B.
解析
【分析】
首先根据圭表的结构特点，立柱AC垂直于水平的圭面，可得△ABC是直角三角形，∠C=90°。已知∠ABC=26.5°，其邻边BC的长度为a，要求对边AC的长度，我们需要选择关联直角三角形中锐角的对边与邻边的三角函数，也就是正切函数，再根据正切的定义变形即可求出AC的长度。
【解析】
由题意可知：$AC⊥ BC$，即$∠ C=90°$，$△ ABC$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=26.5°$，$BC=a$，
根据正切的定义：$\tan∠ ABC=\frac{\mathrm{∠ABC的对边}}{\mathrm{∠ABC的邻边}}=\frac{AC}{BC}$，
变形可得：$AC=BC·\tan∠ ABC=a\tan26.5°$，
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 正切的定义
【点评】
本题结合中国古代科技成果圭表设置场景，考查锐角三角函数在实际问题中的基础应用，解题关键是准确判断直角三角形中已知角对应的对边、邻边，选择合适的三角函数列式计算。
【难度系数】
0.8
首先根据圭表的结构特点，立柱AC垂直于水平的圭面，可得△ABC是直角三角形，∠C=90°。已知∠ABC=26.5°，其邻边BC的长度为a，要求对边AC的长度，我们需要选择关联直角三角形中锐角的对边与邻边的三角函数，也就是正切函数，再根据正切的定义变形即可求出AC的长度。
【解析】
由题意可知：$AC⊥ BC$，即$∠ C=90°$，$△ ABC$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=26.5°$，$BC=a$，
根据正切的定义：$\tan∠ ABC=\frac{\mathrm{∠ABC的对边}}{\mathrm{∠ABC的邻边}}=\frac{AC}{BC}$，
变形可得：$AC=BC·\tan∠ ABC=a\tan26.5°$，
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 正切的定义
【点评】
本题结合中国古代科技成果圭表设置场景，考查锐角三角函数在实际问题中的基础应用，解题关键是准确判断直角三角形中已知角对应的对边、邻边，选择合适的三角函数列式计算。
【难度系数】
0.8
3. A、B两座灯塔与海岸观察站的距离相等，灯塔A在观察站的北偏东$60°$方向，灯塔B在观察站的南偏东$40°$方向，那么灯塔A在灯塔B的 （
A.南偏西$10°$方向；
B.南偏东$10°$方向；
C.北偏东$10°$方向；
D.北偏西$10°$方向。
C
）A.南偏西$10°$方向；
B.南偏东$10°$方向；
C.北偏东$10°$方向；
D.北偏西$10°$方向。
答案
3. C.
解析
【分析】
解题时先以观察站为原点建立方位坐标系，标注出A、B两个灯塔的位置，首先根据A、B的方位角算出∠AOB的度数，再结合OA=OB得到△OAB是等腰三角形，算出底角∠OBA的度数，最后结合B点的方位，推导A相对于B的方位即可。
【解析】
设海岸观察站为点O，根据题意可知OA=OB。
1. 计算∠AOB的度数：
已知A在O北偏东60°，B在O南偏东40°，因此∠AOB = 180° - 60° - 40° = 80°。
2. 求△OAB的底角：
因为OA=OB，所以△OAB是等腰三角形，根据三角形内角和定理，底角∠OBA = ∠OAB = (180° - ∠AOB)÷2 = (180° - 80°)÷2 = 50°。
3. 推导A相对于B的方位：
由于B在O的南偏东40°，因此O在B的北偏西40°方向，即BO连线与B点正北方向的夹角为40°。结合∠OBA=50°，可知BA连线与B点正北方向的夹角为50° - 40° = 10°，且方向在正北东侧，因此灯塔A在灯塔B的北偏东10°方向。
【答案】
C
【知识点】
方位角的应用；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查方位角的理解和等腰三角形性质的运用，解题的关键是正确画出方位图，理清各角度之间的关系，属于方位角与三角形结合的基础应用题。
【难度系数】
0.7
解题时先以观察站为原点建立方位坐标系，标注出A、B两个灯塔的位置，首先根据A、B的方位角算出∠AOB的度数，再结合OA=OB得到△OAB是等腰三角形，算出底角∠OBA的度数，最后结合B点的方位，推导A相对于B的方位即可。
【解析】
设海岸观察站为点O，根据题意可知OA=OB。
1. 计算∠AOB的度数：
已知A在O北偏东60°，B在O南偏东40°，因此∠AOB = 180° - 60° - 40° = 80°。
2. 求△OAB的底角：
因为OA=OB，所以△OAB是等腰三角形，根据三角形内角和定理，底角∠OBA = ∠OAB = (180° - ∠AOB)÷2 = (180° - 80°)÷2 = 50°。
3. 推导A相对于B的方位：
由于B在O的南偏东40°，因此O在B的北偏西40°方向，即BO连线与B点正北方向的夹角为40°。结合∠OBA=50°，可知BA连线与B点正北方向的夹角为50° - 40° = 10°，且方向在正北东侧，因此灯塔A在灯塔B的北偏东10°方向。
【答案】
C
【知识点】
方位角的应用；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查方位角的理解和等腰三角形性质的运用，解题的关键是正确画出方位图，理清各角度之间的关系，属于方位角与三角形结合的基础应用题。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 如果从一点A望点B的仰角是$46°$，那么由点B望点A的俯角是
4. 如果从一点A望点B的仰角是$46°$，那么由点B望点A的俯角是
$46°$
。答案
4. $46°$.
解析
【分析】
首先明确仰角、俯角的定义：仰角是观测点视线向上与水平线的夹角，俯角是观测点视线向下与水平线的夹角。两点互相观测时，两个观测点的水平线互相平行，观测视线为公共截线，此时仰角和俯角是一对内错角，根据平行线内错角相等的性质即可求出俯角度数。
【解析】
解：过点A作水平直线AC，过点B作水平直线BD，根据水平线的性质可得$AC// BD$。
从A望B的仰角为$∠ BAC=46°$，从B望A的俯角为$∠ ABD$。
$\because AC// BD$，AB为两条平行线的截线，
$\therefore ∠ ABD$与$∠ BAC$是内错角，
$\therefore ∠ ABD=∠ BAC=46°$，即由点B望点A的俯角是$46°$。
【答案】
$46°$
【知识点】
仰角与俯角的定义；平行线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查仰角、俯角的概念和平行线性质的简单应用，熟练掌握相关概念和性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
首先明确仰角、俯角的定义：仰角是观测点视线向上与水平线的夹角，俯角是观测点视线向下与水平线的夹角。两点互相观测时，两个观测点的水平线互相平行，观测视线为公共截线，此时仰角和俯角是一对内错角，根据平行线内错角相等的性质即可求出俯角度数。
【解析】
解：过点A作水平直线AC，过点B作水平直线BD，根据水平线的性质可得$AC// BD$。
从A望B的仰角为$∠ BAC=46°$，从B望A的俯角为$∠ ABD$。
$\because AC// BD$，AB为两条平行线的截线，
$\therefore ∠ ABD$与$∠ BAC$是内错角，
$\therefore ∠ ABD=∠ BAC=46°$，即由点B望点A的俯角是$46°$。
【答案】
$46°$
【知识点】
仰角与俯角的定义；平行线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查仰角、俯角的概念和平行线性质的简单应用，熟练掌握相关概念和性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
