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三、解答题
11. 如图，在一条马路$ l $上有路灯$ AB $和小树$ CD $. 某天早上9:00，太阳光下路灯$ AB $影子的顶部刚好落在点$ C $处.
（1）画出小树$ CD $在这天早上9:00太阳光下的影子$ CE $和晚上在路灯$ AB $下的影子$ CF $.
（2）若$ E $恰为$ CF $的中点，小树$ CD $高1.5 m，求路灯$ AB $的高度.
11. 如图，在一条马路$ l $上有路灯$ AB $和小树$ CD $. 某天早上9:00，太阳光下路灯$ AB $影子的顶部刚好落在点$ C $处.
（1）画出小树$ CD $在这天早上9:00太阳光下的影子$ CE $和晚上在路灯$ AB $下的影子$ CF $.
（2）若$ E $恰为$ CF $的中点，小树$ CD $高1.5 m，求路灯$ AB $的高度.
答案
11. (1) 图略. 提示：连接AC，作线段DE//AC且交直线l于点E，连接AD，延长AD交直线l于点F，则CE和CF分别为CD在这天早上9：00太阳光下和晚上在路灯AB下的影子.
(2) 3 m. 提示：先由△DEF∽△ACF，得$\dfrac{DF}{AF}=\dfrac{EF}{CF}=\dfrac{1}{2}$. 再由△DCF∽△ABF，得$\dfrac{DC}{AB}=\dfrac{DF}{AF}=\dfrac{1}{2}$. 因此，AB=2CD=3 m.
(2) 3 m. 提示：先由△DEF∽△ACF，得$\dfrac{DF}{AF}=\dfrac{EF}{CF}=\dfrac{1}{2}$. 再由△DCF∽△ABF，得$\dfrac{DC}{AB}=\dfrac{DF}{AF}=\dfrac{1}{2}$. 因此，AB=2CD=3 m.
解析
【分析】
（1）作图思路：早上9:00的太阳光属于平行光线，因此小树的投影光线与路灯的投影光线AC平行，过D作AC的平行线交直线l于E，即可得到太阳光下的影子CE；晚上路灯是点光源，属于中心投影，光线从路灯顶端A发出，连接AD并延长交直线l于F，即可得到路灯下的影子CF。
（2）解题思路：要求路灯AB的高度，已知小树CD的高度，可通过相似三角形的对应边比例关系求解。首先由平行光线DE//AC得到△DEF∽△ACF，结合E是CF中点得到DF与AF的比值；再由CD、AB都垂直于地面，可得△DCF∽△ABF，利用对应边的比例关系代入CD的高度即可求出AB的长度。
【解析】
（1）作图步骤：
① 太阳光下影子CE：连接AC，过点D作DE//AC，交直线l于点E，线段CE即为小树CD在早上9:00太阳光下的影子；
② 路灯下影子CF：连接AD并延长，交直线l于点F，线段CF即为小树CD晚上在路灯AB下的影子。
（2）求解过程：
∵ DE//AC，
∴ ∠DEF = ∠ACF，∠EDF = ∠CAF，
∴ △DEF ∽ △ACF，
∴ $\dfrac{DF}{AF}=\dfrac{EF}{CF}$。
∵ E为CF的中点，
∴ EF = $\dfrac{1}{2}$CF，即 $\dfrac{EF}{CF}=\dfrac{1}{2}$，
∴ $\dfrac{DF}{AF}=\dfrac{1}{2}$。
∵ AB⊥l，CD⊥l，
∴ ∠ABF = ∠DCF = 90°，
又
∵ ∠F为公共角，
∴ △DCF ∽ △ABF，
∴ $\dfrac{DC}{AB}=\dfrac{DF}{AF}=\dfrac{1}{2}$。
已知CD=1.5 m，代入得：
AB = 2CD = 2×1.5 = 3（m）。
【答案】
（1）作图见解析；（2）3 m
【知识点】
平行投影，中心投影，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合生活中的投影现象，考查了两种投影的作图方法，以及相似三角形在求物体高度中的应用，解题的关键是区分平行投影和中心投影的光线特征，准确找到相似三角形得到对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7
（1）作图思路：早上9:00的太阳光属于平行光线，因此小树的投影光线与路灯的投影光线AC平行，过D作AC的平行线交直线l于E，即可得到太阳光下的影子CE；晚上路灯是点光源，属于中心投影，光线从路灯顶端A发出，连接AD并延长交直线l于F，即可得到路灯下的影子CF。
（2）解题思路：要求路灯AB的高度，已知小树CD的高度，可通过相似三角形的对应边比例关系求解。首先由平行光线DE//AC得到△DEF∽△ACF，结合E是CF中点得到DF与AF的比值；再由CD、AB都垂直于地面，可得△DCF∽△ABF，利用对应边的比例关系代入CD的高度即可求出AB的长度。
【解析】
（1）作图步骤：
① 太阳光下影子CE：连接AC，过点D作DE//AC，交直线l于点E，线段CE即为小树CD在早上9:00太阳光下的影子；
② 路灯下影子CF：连接AD并延长，交直线l于点F，线段CF即为小树CD晚上在路灯AB下的影子。
（2）求解过程：
∵ DE//AC，
∴ ∠DEF = ∠ACF，∠EDF = ∠CAF，
∴ △DEF ∽ △ACF，
∴ $\dfrac{DF}{AF}=\dfrac{EF}{CF}$。
∵ E为CF的中点，
∴ EF = $\dfrac{1}{2}$CF，即 $\dfrac{EF}{CF}=\dfrac{1}{2}$，
∴ $\dfrac{DF}{AF}=\dfrac{1}{2}$。
∵ AB⊥l，CD⊥l，
∴ ∠ABF = ∠DCF = 90°，
又
∵ ∠F为公共角，
∴ △DCF ∽ △ABF，
∴ $\dfrac{DC}{AB}=\dfrac{DF}{AF}=\dfrac{1}{2}$。
已知CD=1.5 m，代入得：
AB = 2CD = 2×1.5 = 3（m）。
【答案】
（1）作图见解析；（2）3 m
【知识点】
平行投影，中心投影，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合生活中的投影现象，考查了两种投影的作图方法，以及相似三角形在求物体高度中的应用，解题的关键是区分平行投影和中心投影的光线特征，准确找到相似三角形得到对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7
12. (1) 如图(1)，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=6 m. 某一时刻，AB在阳光下的投影BC=2 m，DE在阳光下的投影长为3 m. 太阳光下形成的投影属于
(2) 在图(1)中画出DE在阳光下的投影，并求立柱DE的长.
(3) 如图(2)，古树AB在阳光照射下，影子在地面的部分BC=4 m，在建筑物墙上的部分CD=1 m. 在同一时刻，竖直于地面上的1 m长的竹竿，其影长为1.2 m. 这求棵古树AB的高.
平行投影
.（填“平行投影”或“中心投影”）(2) 在图(1)中画出DE在阳光下的投影，并求立柱DE的长.
(3) 如图(2)，古树AB在阳光照射下，影子在地面的部分BC=4 m，在建筑物墙上的部分CD=1 m. 在同一时刻，竖直于地面上的1 m长的竹竿，其影长为1.2 m. 这求棵古树AB的高.
答案
12. (1) 平行投影.
(2) 图略；9 m.
(3) $\dfrac{13}{3}$ m. 提示：过点C作AD的平行线CE，交AB于点E，得$\dfrac{1}{1.2}=\dfrac{BE}{4}$.
(2) 图略；9 m.
(3) $\dfrac{13}{3}$ m. 提示：过点C作AD的平行线CE，交AB于点E，得$\dfrac{1}{1.2}=\dfrac{BE}{4}$.
解析
【分析】
(1) 太阳光属于平行光线，根据平行投影的定义，平行光线照射形成的投影为平行投影，可直接判断。
(2) 平行投影的光线互相平行，先连接AC得到太阳光线的方向，过点D作AC的平行线与地面交于点F，EF就是DE的投影；同一时刻平行投影下，不同物体的物高和对应影长的比值相等，据此列比例式即可求出DE的长度。
(3) 本题影子分为地面BC、墙面CD两部分，可过点C作AD的平行线交AB于点E，构造平行四边形AECD，得到AE=CD=1m；剩下的BE部分对应的影长为BC=4m，结合同一时刻1m竹竿影长1.2m的比例关系，求出BE的长度，再加上AE的长度即可得到古树AB的总高度。
【解析】
(1) 太阳光线是平行光线，因此太阳光下形成的投影属于平行投影。
(2) 画图：连接AC，过点D作DF//AC，交BC所在直线于点F，线段EF即为DE的投影。
∵同一时刻平行投影下，物高与影长成正比，
∴$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{DE}{EF}$，
代入AB=6m，BC=2m，EF=3m，得$\dfrac{6}{2}=\dfrac{DE}{3}$，
解得DE=9m。
(3) 过点C作CE//AD，交AB于点E，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AE//CD，
又
∵CE//AD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD=1m。
同一时刻，物高与影长成正比，已知1m长的竹竿影长为1.2m，因此$\dfrac{\mathrm{物高}}{\mathrm{影长}}=\dfrac{1}{1.2}$，
对于BE部分，其对应的影长为BC=4m，因此$\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{1}{1.2}$，
代入BC=4m，得$BE=\dfrac{4}{1.2}=\dfrac{10}{3}\mathrm{ m}$，
∴AB=AE+BE=$1+\dfrac{10}{3}=\dfrac{13}{3}\mathrm{ m}$。
【答案】
(1) 平行投影；(2) 9 m；(3) $\dfrac{13}{3}$ m
【知识点】
1. 平行投影的识别
2. 平行投影的性质
3. 平行四边形的判定与性质
【点评】
本题结合生活实际考查平行投影的相关应用，解题的核心是掌握同一时刻平行投影下物高与影长成正比的性质，对于影子部分落在墙面的情况，需通过作辅助线构造平行四边形，将墙面影子转化为对应物高，进而结合地面影长求解，能有效提升将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 太阳光属于平行光线，根据平行投影的定义，平行光线照射形成的投影为平行投影，可直接判断。
(2) 平行投影的光线互相平行，先连接AC得到太阳光线的方向，过点D作AC的平行线与地面交于点F，EF就是DE的投影；同一时刻平行投影下，不同物体的物高和对应影长的比值相等，据此列比例式即可求出DE的长度。
(3) 本题影子分为地面BC、墙面CD两部分，可过点C作AD的平行线交AB于点E，构造平行四边形AECD，得到AE=CD=1m；剩下的BE部分对应的影长为BC=4m，结合同一时刻1m竹竿影长1.2m的比例关系，求出BE的长度，再加上AE的长度即可得到古树AB的总高度。
【解析】
(1) 太阳光线是平行光线，因此太阳光下形成的投影属于平行投影。
(2) 画图：连接AC，过点D作DF//AC，交BC所在直线于点F，线段EF即为DE的投影。
∵同一时刻平行投影下，物高与影长成正比，
∴$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{DE}{EF}$，
代入AB=6m，BC=2m，EF=3m，得$\dfrac{6}{2}=\dfrac{DE}{3}$，
解得DE=9m。
(3) 过点C作CE//AD，交AB于点E，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AE//CD，
又
∵CE//AD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD=1m。
同一时刻，物高与影长成正比，已知1m长的竹竿影长为1.2m，因此$\dfrac{\mathrm{物高}}{\mathrm{影长}}=\dfrac{1}{1.2}$，
对于BE部分，其对应的影长为BC=4m，因此$\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{1}{1.2}$，
代入BC=4m，得$BE=\dfrac{4}{1.2}=\dfrac{10}{3}\mathrm{ m}$，
∴AB=AE+BE=$1+\dfrac{10}{3}=\dfrac{13}{3}\mathrm{ m}$。
【答案】
(1) 平行投影；(2) 9 m；(3) $\dfrac{13}{3}$ m
【知识点】
1. 平行投影的识别
2. 平行投影的性质
3. 平行四边形的判定与性质
【点评】
本题结合生活实际考查平行投影的相关应用，解题的核心是掌握同一时刻平行投影下物高与影长成正比的性质，对于影子部分落在墙面的情况，需通过作辅助线构造平行四边形，将墙面影子转化为对应物高，进而结合地面影长求解，能有效提升将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
