登录
7. 如图，阳光与地面成 $60°$的角，照射在地面上的一只皮球上. 若皮球在地面上的投影长是 $10\sqrt{3}$ cm，则皮球的直径是
15
cm.答案
7. 15.
解析
【分析】
这是一道平行投影结合解直角三角形的实际应用题，解题思路如下：首先阳光是平行光线，皮球的直径等于与球相切的两条平行光线之间的垂直距离；我们可以将该问题转化为直角三角形求解：投影长为直角三角形的斜边，光线与地面的60°夹角为直角三角形的一个锐角，皮球的直径就是60°角对应的直角边，利用三角函数即可求出直径长度。
【解析】
设皮球的直径为$d$，已知皮球在地面的投影长为$10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，光线与地面夹角为$60°$。
构造直角三角形可得：直径$d$是$60°$角所对的直角边，投影长为直角三角形的斜边。
根据正弦函数的定义：
$\sin60°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{d}{10\sqrt{3}}$
代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得：
$d=10\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{10×3}{2}=15\ (\mathrm{cm})$
【答案】
15
【知识点】
平行投影，解直角三角形，三角函数应用
【点评】
本题考查实际问题转化为数学模型的能力，解题的关键是找准直角三角形的边角对应关系，将未知的直径转化为直角三角形的边长求解。
【难度系数】
0.6
这是一道平行投影结合解直角三角形的实际应用题，解题思路如下：首先阳光是平行光线，皮球的直径等于与球相切的两条平行光线之间的垂直距离；我们可以将该问题转化为直角三角形求解：投影长为直角三角形的斜边，光线与地面的60°夹角为直角三角形的一个锐角，皮球的直径就是60°角对应的直角边，利用三角函数即可求出直径长度。
【解析】
设皮球的直径为$d$，已知皮球在地面的投影长为$10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，光线与地面夹角为$60°$。
构造直角三角形可得：直径$d$是$60°$角所对的直角边，投影长为直角三角形的斜边。
根据正弦函数的定义：
$\sin60°=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{d}{10\sqrt{3}}$
代入$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得：
$d=10\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{10×3}{2}=15\ (\mathrm{cm})$
【答案】
15
【知识点】
平行投影，解直角三角形，三角函数应用
【点评】
本题考查实际问题转化为数学模型的能力，解题的关键是找准直角三角形的边角对应关系，将未知的直径转化为直角三角形的边长求解。
【难度系数】
0.6
8. 小余打算通过测量树的影长计算树的高度. 如图，阳光下他测得高1.5 m的竹竿落在地面上的影长为1.2 m，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上，地面上的影长BD为3.6 m，墙面上的影长CD为1.3 m. 这棵树的高度是
5.8 m
.答案
8. 5.8 m.
解析
【分析】
本题考查平行投影的实际应用，解题思路如下：首先，同一时刻平行投影下，物体的高度与对应影长的比值是固定的。由于树的影子一部分落在墙面上，不能直接用地面影长计算树高，因此我们可以通过作辅助线，将树高拆分为两部分：一部分与墙面上的影长相等，另一部分对应地面上的影长，再结合物高与影长的比例关系求出未知部分的高度，相加即可得到树的总高度。
【解析】
过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形BDCE是矩形，
∴CE=BD=3.6 m，BE=CD=1.3 m。
∵同一时刻平行投影中，物体高度与影长的比值相等，设AE的长为x m，
可得：$\frac{\mathrm{竹竿高度}}{\mathrm{竹竿影长}}=\frac{AE}{CE}$，即$\frac{1.5}{1.2}=\frac{x}{3.6}$，
解得：$x=\frac{1.5×3.6}{1.2}=4.5$ m，
∴树的高度AB=AE+BE=4.5+1.3=5.8 m。
【答案】
5.8 m
【知识点】
平行投影的性质；比例的应用；矩形的性质
【点评】
本题是平行投影在实际生活中的应用问题，解题的核心是对落在墙面上的影长进行合理转化，将不规则的影子转化为符合“物高与影长成正比”的标准模型，既考查了基础知识点的掌握，也锻炼了将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题考查平行投影的实际应用，解题思路如下：首先，同一时刻平行投影下，物体的高度与对应影长的比值是固定的。由于树的影子一部分落在墙面上，不能直接用地面影长计算树高，因此我们可以通过作辅助线，将树高拆分为两部分：一部分与墙面上的影长相等，另一部分对应地面上的影长，再结合物高与影长的比例关系求出未知部分的高度，相加即可得到树的总高度。
【解析】
过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形BDCE是矩形，
∴CE=BD=3.6 m，BE=CD=1.3 m。
∵同一时刻平行投影中，物体高度与影长的比值相等，设AE的长为x m，
可得：$\frac{\mathrm{竹竿高度}}{\mathrm{竹竿影长}}=\frac{AE}{CE}$，即$\frac{1.5}{1.2}=\frac{x}{3.6}$，
解得：$x=\frac{1.5×3.6}{1.2}=4.5$ m，
∴树的高度AB=AE+BE=4.5+1.3=5.8 m。
【答案】
5.8 m
【知识点】
平行投影的性质；比例的应用；矩形的性质
【点评】
本题是平行投影在实际生活中的应用问题，解题的核心是对落在墙面上的影长进行合理转化，将不规则的影子转化为符合“物高与影长成正比”的标准模型，既考查了基础知识点的掌握，也锻炼了将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图，小李家旁边有两棵树，一棵(AB)高11 m，一棵(CD)高6 m，它们都与地面垂直. 某一时刻，在太阳光照射下，AB落在地面上的影子BF长12 m，落在小李家墙上影子EF长2 m. 若CD落在地面上的影子DH长4 m，则其落在小李家墙上的影子GH长
3
m.答案
9. 3.
解析
【分析】
本题考查平行投影的实际应用，解题思路如下：首先明确平行投影的核心性质：同一时刻，垂直于地面的物体的高度与其对应地面影长的比值是固定值。首先根据AB的总高度、墙面影子长度、地面影子长度，计算出该固定比值；再设GH的长度为未知数，结合CD的高度、地面影子长度，利用比值相等列方程求解即可。
【解析】
解：同一时刻太阳光照射下，垂直地面的物体高度与对应地面影长的比值为定值。
对于高度为11m的AB：
墙面上的影子EF长2m，说明AB中有2m高的部分未投射到地面，剩余投射到地面的部分高度为$11-2=9\ \mathrm{m}$，该部分对应的地面影长$BF=12\ \mathrm{m}$，
因此物高与对应地面影长的比值为$\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$。
设落在墙上的影子$GH=x\ \mathrm{m}$，同理，CD中有$x\ \mathrm{m}$高的部分未投射到地面，剩余投射到地面的部分高度为$(6-x)\ \mathrm{m}$，该部分对应的地面影长$DH=4\ \mathrm{m}$，
根据比值相等列方程：
$\frac{6-x}{4}=\frac{3}{4}$
解得：$x=3$
【答案】
3
【知识点】
平行投影的性质，比例的应用，一元一次方程求解
【点评】
本题是平行投影的常见实际应用题，解题的关键是正确理解墙面影子的含义：墙面影子的长度等于物体未投射到地面部分的高度，再结合“同一时刻物高与地面影长成正比”的性质列式计算即可，难度不大，注意不要混淆墙面影长和地面影长的对应关系。
【难度系数】
0.7
本题考查平行投影的实际应用，解题思路如下：首先明确平行投影的核心性质：同一时刻，垂直于地面的物体的高度与其对应地面影长的比值是固定值。首先根据AB的总高度、墙面影子长度、地面影子长度，计算出该固定比值；再设GH的长度为未知数，结合CD的高度、地面影子长度，利用比值相等列方程求解即可。
【解析】
解：同一时刻太阳光照射下，垂直地面的物体高度与对应地面影长的比值为定值。
对于高度为11m的AB：
墙面上的影子EF长2m，说明AB中有2m高的部分未投射到地面，剩余投射到地面的部分高度为$11-2=9\ \mathrm{m}$，该部分对应的地面影长$BF=12\ \mathrm{m}$，
因此物高与对应地面影长的比值为$\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$。
设落在墙上的影子$GH=x\ \mathrm{m}$，同理，CD中有$x\ \mathrm{m}$高的部分未投射到地面，剩余投射到地面的部分高度为$(6-x)\ \mathrm{m}$，该部分对应的地面影长$DH=4\ \mathrm{m}$，
根据比值相等列方程：
$\frac{6-x}{4}=\frac{3}{4}$
解得：$x=3$
【答案】
3
【知识点】
平行投影的性质，比例的应用，一元一次方程求解
【点评】
本题是平行投影的常见实际应用题，解题的关键是正确理解墙面影子的含义：墙面影子的长度等于物体未投射到地面部分的高度，再结合“同一时刻物高与地面影长成正比”的性质列式计算即可，难度不大，注意不要混淆墙面影长和地面影长的对应关系。
【难度系数】
0.7
10. 如图，某一时刻太阳光从教室窗户AF射入室内，与地面的夹角∠BPC为$30°$，窗户的一部分BF在教室地面所形成的影长PE为3.5 m，窗户的高度AF为2.5 m. 窗外遮阳篷外端一点D到教室窗户上椽的距离AD=
0.8 m
.（参考数据：$\sqrt{3}\approx1.73$，结果精确到0.1 m）答案
10. 0.8 m.
解析
【分析】
解题时先结合平行投影光线平行的性质，构造辅助线得到直角三角形和矩形。第一步通过地面影长和30°夹角求出窗户被遮挡部分BF的高度，第二步用窗户总高度减去BF得到AB的长度，第三步利用光线平行得到顶部直角三角形的30°角，通过三角函数计算出AD的长度。
【解析】
解：过点E作EG⊥CP，交BP于点G。
∵ AC⊥CP，EG⊥CP，
∴ AC//EG，
又
∵太阳光线为平行光线，即BP//FE，
∴四边形BFEG是平行四边形，且∠C=∠CEG=90°，即四边形BFEG是矩形，因此BF=EG。
在Rt△GEP中，∠P=30°，PE=3.5m，
由$\tan P=\frac{EG}{PE}$，得：
$EG=PE·\tan30°=3.5×\frac{\sqrt{3}}{3}\approx3.5×0.577\approx2.02\mathrm{m}$，
∴$BF=EG\approx2.02\mathrm{m}$。
已知AF=2.5m，因此$AB=AF-BF\approx2.5-2.02=0.48\mathrm{m}$。
∵AD//CP，BD//PE，
∴∠ADB=∠P=30°，又∠A=90°，
在Rt△ABD中，$\tan∠ ADB=\frac{AB}{AD}$，得：
$AD=\frac{AB}{\tan30°}=AB×\sqrt{3}\approx0.48×1.73\approx0.8\mathrm{m}$。
【答案】
0.8 m
【知识点】
平行投影的性质，解直角三角形，矩形的判定与性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题的核心是合理构造辅助线，将实际问题转化为解直角三角形的问题，结合平行投影的边角关系即可求解，计算时注意精确度要求。
【难度系数】
0.6
解题时先结合平行投影光线平行的性质，构造辅助线得到直角三角形和矩形。第一步通过地面影长和30°夹角求出窗户被遮挡部分BF的高度，第二步用窗户总高度减去BF得到AB的长度，第三步利用光线平行得到顶部直角三角形的30°角，通过三角函数计算出AD的长度。
【解析】
解：过点E作EG⊥CP，交BP于点G。
∵ AC⊥CP，EG⊥CP，
∴ AC//EG，
又
∵太阳光线为平行光线，即BP//FE，
∴四边形BFEG是平行四边形，且∠C=∠CEG=90°，即四边形BFEG是矩形，因此BF=EG。
在Rt△GEP中，∠P=30°，PE=3.5m，
由$\tan P=\frac{EG}{PE}$，得：
$EG=PE·\tan30°=3.5×\frac{\sqrt{3}}{3}\approx3.5×0.577\approx2.02\mathrm{m}$，
∴$BF=EG\approx2.02\mathrm{m}$。
已知AF=2.5m，因此$AB=AF-BF\approx2.5-2.02=0.48\mathrm{m}$。
∵AD//CP，BD//PE，
∴∠ADB=∠P=30°，又∠A=90°，
在Rt△ABD中，$\tan∠ ADB=\frac{AB}{AD}$，得：
$AD=\frac{AB}{\tan30°}=AB×\sqrt{3}\approx0.48×1.73\approx0.8\mathrm{m}$。
【答案】
0.8 m
【知识点】
平行投影的性质，解直角三角形，矩形的判定与性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题的核心是合理构造辅助线，将实际问题转化为解直角三角形的问题，结合平行投影的边角关系即可求解，计算时注意精确度要求。
【难度系数】
0.6
