21.「2025山东济宁月考，★★☆」(10分)如图，在平面直角坐标系中有一点$A(-1,0)$，$B$，$C$为动点，以点$A$为直角顶点作等腰直角$△ ABC$，其中$B$，$C$分别在第一、二象限，设$B(m,n)$，$C(a,b)$。
(1)若$B(2,n)$，$C(-5,b)$，求$B$，$C$的坐标。
(2)若$B$的横坐标不变，即$B(2,n)$，当$n$的值发生变化时，$a+n$的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由。

21.解析 (1)如图,过点$ B,C $分别作$ x $轴的垂线,垂足分别为$ E,F $,

$ \therefore ∠ AFC = ∠ AEB = 90° $,
$ \therefore ∠ FAC + ∠ FCA = 90° $,
$ \because $ 三角形$ ABC $是等腰直角三角形,
∴$ AC=AB $, $ ∠ BAC=90° $,
$ \therefore ∠ FAC + ∠ EAB = 90° $,
$ \therefore ∠ FCA = ∠ EAB $.
在$ △ FCA $与$ △ EAB $中, $ ∠ FCA = ∠ EAB $, $ ∠ CFA = ∠ AEB $, $ AC=AB $,
$ \therefore △ FCA ≌ △ EAB(\mathrm{AAS}) $,
$ \therefore AF=BE $, $ CF=AE $,
$ \because A(-1,0) ,B(2,n) ,C(-5,b) $,
∴$ AF=4 $, $ AE=3 $,
$ \therefore BE=4 $, $ CF=3 $,
∴$ B(2,4) $, $ C(-5,3) $.
(2)$ a+n $的值不会发生变化.
与(1)同理可证明$ △ FCA ≌ △ EAB(\mathrm{AAS}) $,
$ \therefore AF=BE $, $ CF=AE $,
$ \because A(-1,0) ,B(2,n) $,
∴$ CF=AE=3 $, $ AF=BE=n $,
$ \therefore C(-1-n,3) $,
$ \because C(a,b) $,
∴$ a=-1-n $,
$ \therefore a+n=-1 $.

22.「2026北京第二外国语学院附中期中，★★★」（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B，C在x轴上，$S_{△ ABO}=8$，$OA=OB$，$BC=10$，点P的坐标是$(-6,a)$。
(1)求$△ ABC$三个顶点A，B，C的坐标。
(2)连接PA，PB，并用含字母$a(a≠2)$的式子表示$△ PAB$的面积。
(3)在(2)的条件下，是否存在点P，使$△ PAB$的面积等于$△ ABC$的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

22.解析 (1)$ \because S_{△ ABO}=\dfrac{1}{2}OA· OB $, $ OA=OB $,
$ \therefore \dfrac{1}{2}OA^2=8 $,
∴$ OA=4 $,
∴$ OB=OA=4 $,
∴$ OC=BC-OB=10-4=6 $,
∴$ A(0,-4) $, $ B(-4,0) $, $ C(6,0) $.
(2)易知$ P(-6,a) $在直线$ x=-6 $上运动,且$ a≠2 $,设直线$ x=-6 $与$ x $轴的交点为$ H $.当$ a＞2 $时,作$ AG⊥ PH $于$ G $,如图1,$ S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}×(a+4)×6-\dfrac{1}{2}×2× a-\dfrac{1}{2}×(2+6)×4=2a-4 $.

当$ 0＜a＜2 $时,过点$ P $作$ PM⊥ y $轴于点$ M $,如图2,
$ S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}×6×(4+a)-\dfrac{1}{2}×4×4-\dfrac{1}{2}×(4+6)× a=4-2a $.

当$ a=0 $时,$ PB=2 $, $ S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}×2×4=4=4-0×2 $.
当$ -4＜a＜0 $时,过点$ A $作$ AD⊥ PH $于点$ D $,如图3,
$ S_{△ PAB}=4×6-\dfrac{1}{2}×4×4-\dfrac{1}{2}×2×(-a)-\dfrac{1}{2}×6×(a+4)=4-2a $.

当$ a=-4 $时,$ AP=6 $, $ S_{△ PAB}=6×4×\dfrac{1}{2}=12=4-(-4)×2 $.
当$ a＜-4 $时,过点$ P $作$ PN⊥ y $轴于点$ N $,如图4,
$ S_{△ PAB}=6×(-a)-\dfrac{1}{2}×4×4-\dfrac{1}{2}×2×(-a)-\dfrac{1}{2}×6×(-4-a)=4-2a $.

综上可知,当$ a＞2 $时, $ S_{△ PAB}=2a-4 $;
当$ a＜2 $时, $ S_{△ PAB}=4-2a $.
(3)存在.$ S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×10×4=20 $.
当$ 2a-4=20 $时,$ a=12 $,
此时点$ P $的坐标为$ (-6,12) $;
当$ 4-2a=20 $时,$ a=-8 $,
此时点$ P $的坐标为$ (-6,-8) $.
综上所述,点$ P $的坐标为$ (-6,12) $或$ (-6,-8) $.