7.如图,已知$AB// CD,AB=CD,AE=FD$,则图中的全等三角形有（）

A.1对
B.2对
C.3对
D.4对

7.C

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AB//CD可推出内错角∠A=∠D，结合给出的AB=CD、AE=FD，先判定第一组全等三角形；再利用全等三角形的性质得到新的相等的边和角，结合公共边、线段和的关系，依次推导剩下的全等三角形，逐一计数即可。
【解析】
解：①证明$△ ABE ≌ △ DCF$：
∵$AB// CD$，
∴$∠ A=∠ D$，
在$△ ABE$和$△ DCF$中，
$\begin{cases}AB=CD(\mathrm{已知})\\∠ A=∠ D(\mathrm{已证})\\AE=FD(\mathrm{已知})\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ DCF(\mathrm{SAS})$。
②证明$△ ABF ≌ △ DCE$：
∵$AE=FD$，
∴$AE+EF=FD+EF$，即$AF=DE$，
在$△ ABF$和$△ DCE$中，
$\begin{cases}AB=CD(\mathrm{已知})\\∠ A=∠ D(\mathrm{已证})\\AF=DE(\mathrm{已证})\end{cases}$
∴$△ ABF ≌ △ DCE(\mathrm{SAS})$。
③证明$△ BEF ≌ △ CFE$：
由$△ ABE ≌ △ DCF$可得$BE=CF$，$∠ AEB=∠ DFC$，
∴$180°-∠ AEB=180°-∠ DFC$，即$∠ BEF=∠ CFE$，
在$△ BEF$和$△ CFE$中，
$\begin{cases}BE=CF(\mathrm{已证})\\∠ BEF=∠ CFE(\mathrm{已证})\\EF=FE(\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴$△ BEF ≌ △ CFE(\mathrm{SAS})$。
综上，图中共有3对全等三角形。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定，需要结合图形的性质逐步推导，要学会利用已证的全等结论得到新的边角相等关系，避免漏数全等三角形。
【难度系数】
0.7

8.如图，在$△ ABC$中，$AB=6$，$BC=5$，$AC=4$，$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$，在$AB$上截取$AE=AC$，则$△ BDE$的周长为（）

A.8
B.7
C.6
D.5

8.B

【分析】
解题时先观察已知条件：AD是角平分线可得角相等，同时给出AE=AC，还有公共边AD，因此首先考虑证明△AED和△ACD全等。借助全等三角形对应边相等的性质，将△BDE周长中的未知边DE转化为DC，再通过线段和差关系把周长转化为已知长度线段的和，代入数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AE=AC（已知）\\∠EAD=∠CAD（角平分线的定义）\\AD=AD（公共边）\end{array} $
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴DE=DC（全等三角形的对应边相等），
∵AE=AC=4，AB=6，
∴$BE=AB-AE=6-4=2$，
△BDE的周长为$BE+BD+DE$，
将$DE=DC$代入得：
周长$=BE+BD+DC=BE+BC$，
∵BC=5，
∴周长$=2+5=7$。
【答案】B
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题型，解题关键是通过全等实现线段的等量转化，将分散的未知线段整合为已知长度的线段，降低计算难度。
【难度系数】
0.7

9.如图，AD，BC相交于点F，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2=35°.若AB//ED，则∠BFD的度数是（）


A.60°
B.70°
C.80°
D.90°

9.B

【分析】
解题时先从已知的∠1=∠2入手，给两个角同时加上公共角∠CAD，即可推导出△ABC和△ADE的一组对应夹角相等；结合题目给出的两组对应边相等，用SAS判定两个三角形全等，得到对应角∠B=∠D；再根据AB平行ED的性质，利用内错角相等求出∠D的度数，即可得到∠B的度数；最后利用三角形外角的性质，计算得出∠BFD的度数。
【解析】
1. 推导相等夹角：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即$\boldsymbol{∠BAC=∠DAE}$。
2. 证明三角形全等：
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}AB=AD (\mathrm{已知}) \\∠BAC=∠DAE (\mathrm{已证}) \\AC=AE (\mathrm{已知})\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$，
∴$\boldsymbol{∠B=∠D}$（全等三角形对应角相等）。
3. 利用平行线性质求角度：
∵$AB// ED$，
∴$∠D=∠BAD=∠1=35°$（两直线平行，内错角相等），
结合∠B=∠D可得：$\boldsymbol{∠B=35°}$。
4. 计算∠BFD的度数：
∵∠BFD是$△ ABF$的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和，
∴$∠BFD=∠B+∠1=35°+35°=70°$。
【答案】
B
【知识点】
SAS判定三角形全等、平行线的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将全等三角形、平行线、三角形角度计算的知识点结合考查，解题核心是先通过全等完成等角转化，再结合平行线性质传递角度关系，是三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

10. 如图，$OA=OB$，$OC=OD$，$∠ AOB=∠ COD=90°$，$AD$分别与$BC$，$OC$交于点$E$，$F$。
（1）求证：$△ AOD ≌ △ BOC$；
（2）求$∠ AEB$的度数。

(1)证明:$\because ∠AOB=∠COD=90°$,
$\therefore ∠COD+∠AOC=∠AOB+∠AOC$,即$∠AOD=∠BOC$.
在$△ AOD$和$△ BOC$中,$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOD=∠BOC, \\ OD=OC, \end{cases}$
$\therefore △ AOD≌△ BOC(\mathrm{SAS}).$
(2)解:由(1)知,$△ AOD≌△ BOC,\therefore ∠C=∠D$.
$\therefore ∠AEB=∠CEF=180°-∠C-∠EFC=180°-∠D-∠OFD=∠COD=90°.$

【分析】
（1）要证明△AOD≌△BOC，已知两组对应边OA=OB、OC=OD，只需证明两组边的夹角相等即可。已知∠AOB=∠COD=90°，两个角同时加上公共角∠AOC，即可得到∠AOD=∠BOC，再结合边的条件，用SAS判定定理就能证明全等。
（2）求∠AEB的度数时，先利用（1）的全等结论得到对应角∠C=∠D，再结合对顶角相等的性质，根据三角形内角和为180°，可推出∠CEF=∠COD，而∠CEF与∠AEB是对顶角，即可求出∠AEB的度数。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠AOB=∠COD=90°$,
$\therefore ∠COD+∠AOC=∠AOB+∠AOC$，即$∠AOD=∠BOC$.
在$△ AOD$和$△ BOC$中,
$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOD=∠BOC, \\ OD=OC, \end{cases}$
$\therefore △ AOD≌△ BOC(\mathrm{SAS}).$
(2) 解：由(1)知，$△ AOD≌△ BOC$，$\therefore ∠C=∠D$.
$\because ∠EFC=∠OFD$（对顶角相等），
$\therefore ∠AEB=∠CEF=180°-∠C-∠EFC=180°-∠D-∠OFD=∠COD=90°.$
【答案】
(1) 已证△AOD≌△BOC；
(2) $\boldsymbol{∠AEB=90°}$
【知识点】
全等三角形SAS判定、全等三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形判定与性质应用的基础典型题，解题关键是先通过角的和差关系得到全等所需的等角，证明全等后再利用对应角相等结合三角形内角和、对顶角的性质推导所求角度，有助于巩固全等相关的基础知识点。
【难度系数】
0.7

11. 在$△ ABC$和$△ ADE$中，$AB=AC$，$AD=AE$，$∠ BAC=∠ DAE=90°$.
(1)当点$D$在$AC$上时，如图1，线段$BD$，$CE$有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由；
(2)将图1中的$△ ADE$的位置改变一下，如图2，其他条件不变，则线段$BD$，$CE$又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.

11.解:(1)$BD=CE,BD⊥ CE$.理由如下：

延长$BD$交$EC$于点$F$.
在$△ ACE$和$△ ABD$中,$\begin{cases} AE=AD, \\ ∠EAC=∠DAB, \\ AC=AB, \end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ ABD(\mathrm{SAS}).$
$\therefore BD=CE,∠ACE=∠ABD.$
$\therefore ∠BFC=180°-∠FDC-∠DCF=180°-∠ADB-∠ABD=∠BAD=90°.$
$\therefore BD⊥ CE.$
(2)$BD=CE,BD⊥ CE$.理由如下：
$\because ∠BAC=∠DAE=90°,$
$\therefore ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,$
即$∠BAD=∠CAE.$
在$△ ABD$和$△ ACE$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS}). \therefore BD=CE.$
延长$BD$交$AC$于点$F$,交$CE$于点$H$.

$\because ∠ABF=∠HCF,∠AFB=∠HFC,$
$\therefore ∠CHF=∠BAF=90°.$
$\therefore BD⊥ CE.$

【分析】
这道题探究两条线段的数量和位置关系，解题思路如下：1. 数量关系优先考虑相等，结合题目给出的多组等边和等角，优先尝试证明三角形全等：观察△ABD和△ACE，已知AB=AC、AD=AE，只需证明夹角相等即可用SAS判定全等，得到BD=CE；2. 位置关系优先考虑垂直，可通过三角形内角和、对顶角相等等性质转换角的关系，证明两条线段夹角为90°即可得到垂直关系。两小问图形不同但核心逻辑一致，第二问仅需通过角的和差转换得到相等的夹角，即可沿用第一问的推导思路。
【解析】
(1) 推导线段关系：
延长BD交EC于点F。
在△ACE和△ABD中，
$\begin{cases} AE=AD, \\ ∠EAC=∠DAB=90°, \\ AC=AB, \end{cases}$
∴△ACE≌△ABD（SAS），可得$BD=CE$，$∠ACE=∠ABD$。
由对顶角相等得$∠FDC=∠ADB$，因此$∠BFC=180°-∠FDC-∠DCF=180°-∠ADB-∠ABD=∠BAD=90°$，即$BD⊥CE$。
(2) 推导线段关系：
∵$∠BAC=∠DAE=90°$，
∴$∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$，即$∠BAD=∠CAE$。
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SAS），可得$BD=CE$。
延长BD交AC于点F，交CE于点H。
由全等得$∠ABF=∠HCF$，结合对顶角相等$∠AFB=∠HFC$，可得$∠CHF=∠BAF=90°$，即$BD⊥CE$。
【答案】
(1)$BD=CE,BD⊥ CE$.理由如下：

延长$BD$交$EC$于点$F$.
在$△ ACE$和$△ ABD$中,$\begin{cases} AE=AD, \\ ∠EAC=∠DAB, \\ AC=AB, \end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ ABD(\mathrm{SAS}).$
$\therefore BD=CE,∠ACE=∠ABD.$
$\therefore ∠BFC=180°-∠FDC-∠DCF=180°-∠ADB-∠ABD=∠BAD=90°.$
$\therefore BD⊥ CE.$
(2)$BD=CE,BD⊥ CE$.理由如下：
$\because ∠BAC=∠DAE=90°,$
$\therefore ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,$
即$∠BAD=∠CAE.$
在$△ ABD$和$△ ACE$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS}). \therefore BD=CE.$
延长$BD$交$AC$于点$F$,交$CE$于点$H$.

$\because ∠ABF=∠HCF,∠AFB=∠HFC,$
$\therefore ∠CHF=∠BAF=90°.$
$\therefore BD⊥ CE.$
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；垂直的判定
【点评】
本题是共顶点等角等边模型（手拉手全等模型）的典型应用，无论图形如何旋转变化，只要满足共顶点的等角、等边条件，都可以通过角的和差得到全等所需的等夹角，进而证明三角形全等，得到对应边、对应角的关系后推导垂直结论，解题核心是准确识别全等三角形的对应元素。
【难度系数】
0.7