1.如图，AC与BD相交于点O，若$OA=OD$，用“ASA”证明$△ AOB ≌ △ DOC$，还需添加的条件是（）

A.$AB=DC$
B.$OB=OC$
C.$∠ A=∠ D$
D.$∠ AOB=∠ DOC$

1.C

【分析】
首先明确题目要求是用“ASA”判定△AOB≌△DOC，先回忆ASA的判定规则：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。先梳理已知条件：①已知OA=OD；②AC与BD交于点O，∠AOB和∠DOC是对顶角，天然相等。对照ASA的条件，现在已有一组夹边相等（OA=OD）、夹边的一组邻角相等（∠AOB=∠DOC），还缺夹边的另一组邻角相等，即∠A=∠D。再逐一排查选项，排除不符合ASA要求的选项即可。
【解析】
“ASA”判定全等的条件是：两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
1. 先整理现有相等条件：
① 已知OA=OD；
②
∵AC、BD相交于点O，
∴∠AOB=∠DOC（对顶角相等）。
2. 对照ASA条件分析选项：
选项A：添加AB=DC，此时条件为OA=OD、∠AOB=∠DOC、AB=DC，属于SSA，无法判定三角形全等，排除；
选项B：添加OB=OC，此时条件为OA=OD、∠AOB=∠DOC、OB=OC，符合“SAS”判定，不符合题目要求的“ASA”，排除；
选项C：添加∠A=∠D，此时条件为∠A=∠D、OA=OD、∠AOB=∠DOC，刚好符合“ASA”的判定要求，成立；
选项D：∠AOB=∠DOC本身就是对顶角，已天然相等，添加该条件仍无法凑齐ASA的判定条件，排除。
【答案】
C
【知识点】
ASA判定三角形全等；对顶角的性质
【点评】
本题主要考查三角形全等的ASA判定定理的应用，解题时需先明确判定规则，梳理现有已知条件，再对照规则筛选缺失的条件，注意区分不同全等判定定理的条件差异，避免混淆SAS、ASA等判定方法。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$∠ 1 = ∠ 2$，$∠ 3 = ∠ 4$，则直接判定$△ ABD ≌ △ ACD$的依据是。

2.ASA

【分析】
要判定△ABD≌△ACD，首先梳理两个三角形的对应相等条件：1. 隐含条件：AD是△ABD和△ACD的公共边，因此AD=AD；2. 已知条件：∠1=∠2，∠3=∠4。观察可知，两组相等的角的公共夹边就是AD，符合角边角（ASA）的全等判定规则，因此可以直接用ASA判定两个三角形全等。
【解析】
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ 1 = ∠ 2 \quad (\mathrm{已知}), \\AD = AD \quad (\mathrm{公共边相等}), \\∠ 3 = ∠ 4 \quad (\mathrm{已知}),\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD \ (\mathrm{ASA})$。
【答案】
ASA
【知识点】
ASA判定三角形全等，公共边性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题关键是先挖掘出隐含的公共边相等的条件，再结合已知的等角条件匹配对应的全等判定定理，注意区分ASA和AAS的适用条件。
【难度系数】
0.8

3.(教材习题变式)如图,已知点B,F,E,C在一条直线上,AB//CD,且AB=CD,∠A=∠D.求证:BE=CF.

3.证明:
∵AB//CD,
∴∠B=∠C.
在△ABF和△DCE中,$\begin{cases} ∠B=∠C, \\ AB=DC, \\ ∠A=∠D, \end{cases}$
∴△ABF≌△DCE(ASA).
∴BF=CE.
∴BF+EF=CE+EF,即BE=CF.

【分析】
要证明BE=CF，首先观察线段的组成：BE=BF+EF，CF=CE+EF，因此只需证明BF=CE即可。BF和CE分别属于△ABF和△DCE，所以可通过证明两个三角形全等得到对应边相等。首先利用AB//CD的性质得到一组内错角相等，再结合题目给出的AB=CD、∠A=∠D的条件，即可用ASA判定两个三角形全等，最后利用线段的和差关系推导出最终结论。
【解析】
证明：
∵AB//CD，
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）。
在△ABF和△DCE中，
$\begin{cases} ∠B=∠C, \\ AB=DC, \\ ∠A=∠D, \end{cases}$
∴△ABF≌△DCE(ASA)。
∴BF=CE（全等三角形的对应边相等）。
∴BF+EF=CE+EF，即BE=CF。
【答案】
证明过程如上所示，可证得BE=CF。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是将待证相等的线段转化为证明全等三角形的对应边相等，再结合平行线的性质获取全等判定的角相等条件，解题过程中要注意线段和差关系的灵活应用。
【难度系数】
0.8

4. 如图，$AB = AC$，$AB ⊥ AC$，$AD ⊥ AE$，且$∠ ABD = ∠ ACE$. 求证：$BD = CE$.

4.证明:
∵AB⊥AC,AD⊥AE,
∴∠BAE+∠CAE=90°,∠BAE+∠BAD=90°.
∴∠BAD=∠CAE.
又AB=AC,∠ABD=∠ACE,
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD=CE.

【分析】
要证明两条线段相等，常用思路是证明这两条线段所在的三角形全等。本题中BD属于△ABD，CE属于△ACE，因此只需证△ABD≌△ACE即可。已知条件已经给出AB=AC、∠ABD=∠ACE，还缺少一组对应相等的条件；结合AB⊥AC、AD⊥AE的垂直关系，可通过同角的余角相等推出∠BAD=∠CAE，即可满足ASA的全等判定条件，最终得到对应边相等的结论。
【解析】
证明：
∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，∠BAE+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠CAE。
又
∵AB=AC，∠ABD=∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD=CE。
【答案】
证明过程如上，BD=CE成立。
【知识点】
垂直的性质、全等三角形ASA判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础常规题型，核心是利用垂直的性质推导相等的角，找到全等的判定依据，再通过全等的性质得到对应边相等，熟练掌握全等判定定理和性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8

5.如图,已知$AD// BC$,从下列条件中补充一个条件后,仍不能证明$△ ABC≌△ CDA$的是（）


A.$AD=CB$
B.$∠ B=∠ D$
C.$AB=CD$
D.$∠ BAC=∠ DCA$

5.C

【分析】
解题时首先从已知条件AD//BC入手，根据平行线的性质可得一组内错角∠DAC=∠BCA，同时△ABC和△CDA有公共边AC=CA，即我们已经得到一组角相等、一组边相等的条件。接下来逐一将各选项的补充条件代入，判断是否符合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），不符合判定定理的即为正确选项，注意SSA不能作为三角形全等的判定依据。
【解析】
解：
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA（两直线平行，内错角相等），
又
∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴AC=CA。
对各选项分析如下：
A. 补充AD=CB时，在△ABC和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}CB=AD \\∠BCA=∠DAC \\CA=AC\end{array} $
可通过SAS判定△ABC≌△CDA，不符合题意；
B. 补充∠B=∠D时，在△ABC和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠D \\∠BCA=∠DAC \\CA=AC\end{array} $
可通过AAS判定△ABC≌△CDA，不符合题意；
C. 补充AB=CD时，已知条件为AB=CD，AC=CA，∠BCA=∠DAC，属于SSA的情况，无法判定△ABC≌△CDA，符合题意；
D. 补充∠BAC=∠DCA时，在△ABC和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}∠BCA=∠DAC \\AC=CA \\∠BAC=∠DCA\end{array} $
可通过ASA判定△ABC≌△CDA，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题，解题时要先梳理出题干已知的相等边、角，再结合补充条件对照判定定理逐一验证，需特别注意SSA不能作为一般三角形全等的判定依据。
【难度系数】
0.7

6.如图，BC，AE是锐角三角形ABF的高，相交于点D，若AD=BF，AC=5，CF=2，则BD的长为（）


A.2
B.3
C.4
D.5

6.B

【分析】
首先观察图形，BC和AE都是三角形的高，可得多个直角，根据同角的余角相等可推出∠CBF=∠CAD；结合已知条件AD=BF，可通过AAS证明△ACD和△BCF全等，再利用全等三角形对应边相等得到BC、CD的长度，最后通过线段和差关系求出BD的长。
【解析】
解：
∵BC、AE是锐角△ABF的高，
∴∠ACD=∠BCF=∠AEF=90°，
∴∠F + ∠CBF = 90°，∠F + ∠CAD = 90°，
∴∠CBF=∠CAD（同角的余角相等）。
在△ACD和△BCF中：
$\{\begin{array}{l}∠ACD=∠BCF \\∠CAD=∠CBF \\AD=BF\end{array} $
∴△ACD≌△BCF（AAS），
∴BC=AC=5，CD=CF=2，
∵BC=BD+CD，
∴BD=BC - CD=5 - 2=3。
【答案】
B
【知识点】
同角的余角相等；AAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的典型应用题型，解题核心是利用高的性质推导等角，进而证明三角形全等，再结合全等的性质转化线段长度求解，解题时注意梳理线段之间的和差关系。
【难度系数】
0.7

7. 如图，D是$△ ABC$的边AB上一点，$CF // AB$，DF交AC于点E，$DE=EF$.
(1)求证：$△ ADE ≌ △ CFE$；
(2)若$AB=5$，$CF=4$，求BD的长.

7.(1)证明:
∵CF//AB,
∴∠ADF=∠F,∠A=∠ECF.
在△ADE和△CFE中,$\begin{cases} ∠A=∠ECF, \\ ∠ADE=∠F, \\ DE=FE, \end{cases}$
∴△ADE≌△CFE(AAS).
(2)解:
∵△ADE≌△CFE,
∴AD=CF=4.
∴BD=AB-AD=5-4=1.

【分析】
(1)要证明△ADE≌△CFE，首先利用CF//AB的条件，根据平行线的性质可得到两组相等的内错角，再结合题目给出的DE=EF的边相等条件，即可用AAS判定两个三角形全等。
(2)求BD的长时，已知AB的长度，只需要求出AD的长度即可，根据全等三角形对应边相等的性质，可得AD=CF，代入数值计算即可得到BD的长度。
【解析】
(1)证明:
∵CF//AB,
∴∠ADF=∠F,∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CFE中,$\begin{cases} ∠A=∠ECF, \\ ∠ADE=∠F, \\ DE=FE, \end{cases}$
∴△ADE≌△CFE(AAS)。
(2)解:
∵△ADE≌△CFE,
∴AD=CF（全等三角形对应边相等）,
∵CF=4，
∴AD=4，
又
∵AB=5，
∴BD=AB-AD=5-4=1。
【答案】
(1)证明成立；(2)BD的长为1
【知识点】
平行线的性质；AAS判定全等；全等三角形性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是结合平行线性质找到全等所需的等角条件，再利用全等三角形的性质求解线段长度，解题逻辑连贯，是三角形全等部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.8