1. 根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形是 （）


A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.①和④

1.D

【分析】
要判断哪两个三角形全等，我们需要结合全等三角形的SAS判定定理（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），先逐一梳理每个三角形已知边、角的位置和大小：首先明确图①中70°角是长度为2和2.5的两条边的夹角，再依次核对其余三角形的边角是否满足“两边长度为2、2.5，且两边的夹角为70°”的条件，符合该条件的三角形即为和①全等的三角形。
【解析】
1. 分析图①的$△ ABC$：已知$AC=2$，$BC=2.5$，$∠ C$是$AC$和$BC$的夹角，$∠ C=70°$，即两条边长分别为2、2.5，两边的夹角为$70°$。
2. 逐个分析其余三角形：
图②的$△ DEF$：$70°$的$∠ D$不是长度为2、2.5的两条边的夹角，不满足SAS判定的夹角要求；
图③的$△ OPQ$：$70°$的$∠ Q$不是长度为2、2.5的两条边的夹角，不满足SAS判定的夹角要求；
图④的$△ MNH$：已知$MH=2$，$MN=2.5$，$∠ M$是$MH$和$MN$的夹角，$∠ M=70°$，即两条边长分别为2、2.5，两边的夹角为$70°$，和$△ ABC$的两边及夹角对应相等。
3. 根据SAS判定定理，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，因此①和④是全等三角形。
【答案】
D
【知识点】
SAS判定三角形全等，三角形边角对应关系
【点评】
本题重点考查全等三角形SAS判定定理的应用，解题的核心是确认相等的角是两条相等边的夹角，要注意区分“两边夹一角”和“边边角”，避免因搞错角的位置导致判断错误。
【难度系数】
0.7

2.如图，AC，BD相交于点O，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需（）

A.AB=DC
B.OB=OC
C.∠A=∠D
D.∠AOB=∠DOC

2.B

【分析】
要解决这道题，首先要明确“SAS”判定三角形全等的要求：两个三角形的两组对应边相等，且这两组边的夹角也对应相等，即可判定全等。首先梳理已知条件：题目给出OA=OD，又因为AC、BD交于点O，根据对顶角的性质可得∠AOB=∠DOC。此时已经有一组对应边相等、一组对应角（两边的夹角）相等，要满足“SAS”的条件，还缺夹角的另一组对应边相等，也就是OB=OC，据此对应选项即可得出答案。
【解析】
“SAS”判定三角形全等的条件是：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
1. 先确定已知相等的量：
已知OA=OD；AC与BD相交于点O，因此∠AOB和∠DOC是对顶角，故∠AOB=∠DOC。
2. 分析“SAS”所需的缺失条件：
在△AOB中，∠AOB是OA和OB的夹角；在△DOC中，∠DOC是OD和OC的夹角。已有OA=OD、∠AOB=∠DOC，要满足“SAS”，需要另一组夹边相等，即OB=OC。
3. 逐一排除其他选项：
A选项AB=DC，此时条件为SSA，无法判定三角形全等；C选项∠A=∠D，此时满足的是ASA判定，不符合题目要求的“SAS”；D选项∠AOB=∠DOC是已经存在的对顶角相等，不需要额外添加。
因此符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
SAS判定三角形全等；对顶角的性质
【点评】
本题考查全等三角形的SAS判定，解题关键是明确“SAS”中相等的角必须是两组相等对应边的夹角，注意区分不同全等判定定理的条件，避免混淆。
【难度系数】
0.8

3. 如图，已知 $OA=OC$，$OB=OD$，$∠ AOC=∠ BOD$. 求证：$△ AOB ≌ △ COD$.

证明:$\because ∠AOC=∠BOD$,
$\therefore ∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD$,
即$∠COD=∠AOB$.
在$△ AOB$和$△ COD$中,$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠AOB=∠COD, \\ OB=OD, \end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS}).$

【分析】
要证明△AOB≌△COD，首先结合已知条件梳理可使用的全等判定依据：题目已给出两组对应边相等，即OA=OC、OB=OD，若要使用两边相关的全等判定定理，还需证明这两组边的夹角对应相等。已知∠AOC=∠BOD，观察图形可得两个角有公共部分∠AOD，将两个相等的角同时减去公共角∠AOD，即可得到两组等边的夹角∠AOB=∠COD，满足SAS的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：$\because ∠AOC=∠BOD$，
$\therefore ∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD$，
即$∠COD=∠AOB$。
在$△ AOB$和$△ COD$中,
$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠AOB=∠COD, \\ OB=OD, \end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS}).$
【答案】
证明：$\because ∠AOC=∠BOD$，
$\therefore ∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD$，
即$∠COD=∠AOB$。
在$△ AOB$和$△ COD$中,
$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠AOB=∠COD, \\ OB=OD, \end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS}).$
【知识点】
1. 角的和差运算
2. 全等三角形SAS判定
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题型，解题核心是通过等角减去公共角得到两个三角形的对应夹角相等，结合已知的对应等边，即可用SAS判定定理证明全等，解题时需注意准确识别两个三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.85

4. 如图，$AB = AC$，$AD = AE$，$∠ BAC = ∠ DAE$，下列结论不一定正确的是 （）

A.$∠ BAD = ∠ CAE$
B.$△ ABD ≌ △ ACE$
C.$AB = BC$
D.$BD = CE$

第4题图 第5题图

4.C

【分析】
要判断哪个结论不一定正确，我们可以从已知条件逐步推导：首先利用给出的等角，通过角的和差运算推导角的关系，再结合已知的等边条件判断三角形是否全等，进而推导对应边的关系，最后逐一验证选项即可。
【解析】
1. 验证选项A：已知$∠ BAC = ∠ DAE$，等式两边同时减去公共角$∠ DAC$，可得$∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即$∠ BAD = ∠ CAE$，因此A结论正确。
2. 验证选项B：在$△ ABD$和$△ ACE$中，有$\begin{cases} AB = AC \\ ∠ BAD = ∠ CAE \\ AD = AE \end{cases}$，符合全等三角形的SAS判定条件，因此$△ ABD ≌ △ ACE$，B结论正确。
3. 验证选项D：由$△ ABD ≌ △ ACE$，根据全等三角形对应边相等，可得$BD = CE$，因此D结论正确。
4. 验证选项C：已知$AB = AC$，仅能说明$△ ABC$是等腰三角形，没有条件能证明$AB = BC$，因此该结论不一定正确。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质；等腰三角形的定义
【点评】
本题属于基础题，解题时先通过角的和差得到相等的夹角，再利用SAS判定三角形全等，结合全等性质推导对应边相等即可，注意题目要求选出“不一定正确”的结论，避免因审题粗心选错答案。
【难度系数】
0.8

5. 小明利用最近学习的全等三角形知识，在测量妹妹保温杯的壁厚时，用“X型转动钳”工具按如图方法进行测量，其中$OA=OD$，$OB=OC$，测得$AB=7\ \mathrm{cm}$，$EF=8\ \mathrm{cm}$，则保温杯的壁厚为 cm.

5.0.5

【分析】
解题时首先结合已知的边相等的条件，观察到△AOB和△DOC有公共的对顶角，可先证明两个三角形全等，得到内侧空腔宽度CD的长度；再根据EF是保温杯外侧总宽度，内外宽度的差值为左右两个壁厚的和，除以2即可得到单个壁厚的长度。
【解析】
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}OA=OD(\mathrm{已知})\\∠ AOB=∠ DOC(\mathrm{对顶角相等})\\OB=OC(\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ DOC(\mathrm{SAS})$
$\therefore CD=AB=7\ \mathrm{cm}$（全等三角形对应边相等）
已知保温杯外侧总宽度$EF=8\ \mathrm{cm}$，左右两侧壁厚相等，因此单个壁厚为：
$\dfrac{EF-CD}{2}=\dfrac{8-7}{2}=0.5\ \mathrm{cm}$
【答案】
0.5
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的应用，解题核心是通过全等三角形转化得到不便直接测量的内部宽度，再结合线段和差关系计算结果，能很好地锻炼学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

6. 如图，A，D，F，B 在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且 AE//BC. 求证：
(1)$△ AEF ≌ △ BCD$；
(2)$EF // CD$.

(1)$\because AE// BC$,
$\therefore ∠A=∠B$.
$\because AD=BF,\therefore AD+DF=BF+DF$,即$AF=BD$.
在$△ AEF$和$△ BCD$中,$\begin{cases} AE=BC, \\ ∠A=∠B, \\ AF=BD, \end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ BCD(\mathrm{SAS}).$
(2)$\because △ AEF≌△ BCD,\therefore ∠AFE=∠BDC$.
$\therefore EF// CD.$

【分析】
要证明△AEF≌△BCD，先结合已知条件梳理全等所需的要素：首先由AE//BC可推出内错角∠A=∠B；已知AD=BF，给等式两边同时加上公共段DF，即可得到相等的边AF=BD，结合已知的AE=BC，刚好满足SAS全等判定的条件。要证明EF//CD，可通过证明同位角或内错角相等推导，利用第一问的全等结论可得对应角∠AFE=∠BDC，二者是内错角，即可推出两直线平行。
【解析】
(1) 证明：
$\because AE// BC$,
$\therefore ∠A=∠B$（两直线平行，内错角相等）。
$\because AD=BF,\therefore AD+DF=BF+DF$,即$AF=BD$。
在$△ AEF$和$△ BCD$中,$\begin{cases} AE=BC, \\ ∠A=∠B, \\ AF=BD, \end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ BCD(\mathrm{SAS}).$
(2) 证明：
$\because △ AEF≌△ BCD,\therefore ∠AFE=∠BDC$（全等三角形对应角相等）。
$\therefore EF// CD$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) 已证$△ AEF ≌ △ BCD$；
(2) 已证$EF // CD$。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形SAS判定；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，考查了平行线、全等三角形相关定理的综合应用，解题逻辑链条清晰，需要熟练掌握各类定理的应用条件，学会通过已知条件推导证明所需的边角关系。
【难度系数】
0.7