1. ★★★（2024·重庆中考）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$。若$BC=2$，则$AD$的长度为。
（第1题）

1. 2

2. ★★★（2026·台州期中）如图，$△ ABC$的面积为$10\ \mathrm{cm}^2$，$BP$平分$∠ ABC$，$AP⊥ BP$，则$△ PBC$的面积为 $\mathrm{cm}^2$。

2. 5

3. 如图,在$△ ABC$中,点$D$为$BC$边上一点,给出如下关系:①$AD$平分$∠ BAC$;②$AD ⊥ BC$于点$D$;③$D$为$BC$中点.甲说:若①②同时成立,可证$AB=AC$;乙说:若②③同时成立,可证$AB=AC$;丙说:若①③同时成立,可证$AB=AC$.则说法正确的是.

3. 甲、乙、丙

4. |教材变式（温州中考）如图，BD是$△ ABC$的角平分线，$DE// BC$，交AB于点E.
（1）求证：$∠ EBD=∠ EDB$.
（2）当$AB=AC$时，请判断$CD$与$ED$的大小关系，并说明理由.

4. (1)
∵ BD 是△ABC 的角平分线,
∴ ∠CBD=∠EBD.
∵ DE//BC,
∴ ∠CBD=∠EDB,
∴ ∠EBD=∠EDB.
(2)CD=ED.理由如下:
∵ AB=AC,
∴ ∠C=∠ABC.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC,
∴ ∠ADE=∠AED,
∴ △ADE为等腰三角形,
∴ AD=AE,
∴ CD=BE.由(1)得∠EBD=∠EDB,
∴ △EDB 为等腰三角形,
∴ BE=DE,
∴ CD=ED.

5. (2026·杭州期中)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D,E,F$分别在$AB,BC,AC$边上,且$BE=CF,BD=CE$.
(1)求证:$△ DEF$是等腰三角形;
(2)若$∠ A=∠ DEF$,判断$△ DEF$是否为等边三角形.

5. (1)
∵ AB = AC,
∴ ∠B = ∠C.
∵ 在△BDE 和△CEF 中,
$\begin{cases} BE=CF, \\ ∠B=∠C, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴ △BDE≌△CEF(SAS),
∴ DE=EF,
∴ △DEF 是等腰三角形.
(2)
∵ ∠DEC=∠B+∠BDE,即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE.又
∵ △BDE≌△CEF,
∴ ∠CEF=∠BDE,
∴ ∠DEF=∠B.
∵ ∠A=∠DEF,
∴ ∠A=∠B.
∵ AB=AC,
∴ ∠B=∠C,
∴ ∠A=∠B=∠C,
∴ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠B=∠DEF=60°,由(1)得△DEF 是等腰三角形,
∴ △DEF 是等边三角形.