1. 如图，$△ ABC$是等边三角形，AD是$∠ BAC$的平分线，$△ ADE$也是等边三角形，连结BE，下列结论：①$AD ⊥ BC$；②$EF=FD$；③$BE=BD$.其中正确的有（）

A.3个
B.2个
C.1个
D.0个

1. A

2. 已知一足够长的钢架$MAN$,$∠A=15°$,现要在其内部焊上等长的钢条(相邻钢条首尾相接)来加固钢架,如图是已焊上的两根钢条$B_1C_1$和$B_1C_2$,且$B_1C_1=B_1C_2=AC_1$.照此焊接下去,在该钢架内部最多能焊接钢条 ()

A.7根
B.6根
C.5根
D.4根

2. C

3. 如图，D，E分别是等边三角形ABC的两边AB，AC上的点，且AD=CE，BE，DC相交于点P，则∠BPD的度数为。

3. $60°$

4. ★★★ 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,$BC=12$,$AD=8$,$AD$是$∠ BAC$的平分线.若$P$,$Q$分别是$AD$和$AC$上的动点,则$PC+PQ$的最小值是. ＞＞对点专练 P106

4. 9.6

5. (2026·北京模拟)在$△ ABC$中,$∠ BAC=α$,$AB=AC$,$CD ⊥ AB$于点$D$,过点$B$作$BM // AC$,$P$是线段$DB$上一点,连结$CP$,作$∠ CAQ=∠ APC$,交射线$BM$于点$Q$.
(1)如图①,当$∠ CAQ=2α(36°＜α＜60°)$时,求$∠ BCP$的度数(用含$α$的式子表示);
(2)如图②,点$E$为$AP$中点,用等式表示$DE$与$BQ$的数量关系,并证明.

$\gg$ 根据诊断结果,请完成对应的练习

5. (1)$\because AB=AC,\therefore ∠ ABC= ∠ ACB.\because ∠ BAC= α,\therefore ∠ ABC= \frac{180°- ∠ BAC}{2}=90°- \frac{α}{2}.\because ∠ CAQ= ∠ APC, ∠ CAQ=2α,$
$\therefore ∠ BCP= ∠ APC- ∠ ABC=2α-(90°- \frac{α}{2})= \frac{5α}{2}-90°.$
(2)$BQ$ 与 $DE$ 的数量关系为 $BQ=2DE.$
证明:如图,在 $AD$ 上取点 $N$,使得 $DN=DP$,连结 $CN.\because CD ⊥ AB,\therefore CP=CN.\therefore ∠ CNP= ∠ APC.\because ∠ CAQ= ∠ APC,\therefore ∠ CNP= ∠ CAQ.\because AC // BM,\therefore ∠ CAB= ∠ ABM, ∠ AQM= ∠ CAQ.$
$\therefore ∠ AQM= ∠ CNP.\because ∠ AQB+ ∠ AQM=180°, ∠ CNA+ ∠ CNP=180°,\therefore ∠ AQB= ∠ CNA.$ 在 $△ CNA$ 和 $△ AQB$ 中,
$\begin{cases}∠ CAB= ∠ ABM, \\∠ CNA= ∠ AQB, \\AC=AB,\end{cases}$
$\therefore △ CNA ≌ △ AQB(\mathrm{AAS}).\therefore AN=BQ.\because E$ 是 $AP$ 的中点, $\therefore AP=2PE.\because PN=2PD,\therefore AN=AP-PN=2PE-2PD=2DE,\therefore BQ=2DE.$