1. 项目式学习（2026·舟山期中）如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连结AC，BD，我们把形如这样的图形称为“8字型”。
(1) 求证：$∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D$。
(2) 如图②，若$∠ CAB$和$∠ BDC$的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N。
①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；
②若$∠ B$和$∠ C$为任意角时，其他条件不变，试探究$∠ P$与$∠ B$，$∠ C$之间存在着怎样的数量关系并证明；
③若角平分线中角的关系改为“$∠ CAP = \frac{1}{3}∠ CAB$，$∠ CDP = \frac{1}{3}∠ CDB$”，试探究$∠ P$与$∠ B$，$∠ C$之间存在的数量关系，并说明理由。

1.(1) 在题图①中，有$∠A+∠C=180°-∠AOC$，$∠B+∠D=180°-∠BOD$，$\because ∠AOC=∠BOD$，$\therefore ∠A+∠C=∠B+∠D$。
(2) ①3 4 解析:以线段AC为边的“8字型”有ACMDP，ACODB和ACODN；以点O为交点的“8字型”有ACODB，ACODN，AMODN和AMODB。
②$2∠P=∠C+∠B$.证明:在分别以M,N为交点的“8字型”ACMDP和BDNPA中，有$∠C+∠CAP=∠P+∠PDC$，$∠B+∠BDP=∠P+∠PAB$，两式相加得$∠C+∠B+∠CAP+∠BDP=2∠P+∠PDC+∠PAB$，$\because AP$平分$∠CAB$，DP平分$∠BDC$，$\therefore ∠CAP=∠PAB$，$∠BDP=∠PDC$，$\therefore 2∠P=∠C+∠B$。
③$3∠P=∠B+2∠C$.理由.$\because ∠CAP = \frac{1}{3}∠CAB$，$∠CDP = \frac{1}{3}∠CDB$，$\therefore ∠BAP=\frac{2}{3}∠CAB$，$∠BDP=\frac{2}{3}∠CDB$.以M为交点的“8字型”中，有$∠P+∠CDP=∠C+∠CAP$，以N为交点的“8字型”中，有$∠P+∠BAP=∠B+∠BDP$，$\therefore ∠C-∠P=∠CDP-∠CAP=\frac{1}{3}(∠CDB-∠CAB)$，$∠P-∠B=∠BDP-∠BAP=\frac{2}{3}(∠CDB-∠CAB)$.$\therefore 2(∠C-∠P)=∠P-∠B$，$\therefore 3∠P=∠B+2∠C$。

2. （1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数。

2.(1) 如图①，连结AD，由三角形的内角和定理，得$∠B+∠C=∠BAD+∠CDA$，$\therefore ∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=∠BAF+∠BAD+∠CDA+∠CDE+∠E+∠F$，即四边形ADEF的内角和。
$\because$ 四边形的内角和为$360°$，$\therefore ∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=360°$。
(2) 如图②，连结AF，根据(1)的方法可得$∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H$的度数等于六边形ABCDEF的内角和，$\therefore ∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H=(6-2)×180°=720°$。
(3) 如图③，连结AE，根据(1)的方法得，$∠F+∠G=∠GAE+∠FEA$，$∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G$的度数等于五边形ABCDE的内角和，$\therefore ∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=(5-2)×180°=540°$。