1. （2026·温州期中）【问题背景】如图①，$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ BAC=90°,BC=8$，点$D$为$BC$中点.点$E$是线段$BD$上一个动点，在线段$EC$上取一点$F$使得$∠ EAF=45°$.
【提出问题】当点$E$在线段$BD$上移动时，$EF$的长度是否发生变化？
【初步思考】小明通过尝试画出$E$在不同位置时的图形，发现$EF$的长度发生了变化.于是他采用以下思路进行说理：
思路：求出点$E$在两个不同位置时，$EF$的长度.
①先求出点$E$在特殊位置时$EF$的长度：如图②，当点$E$与点$B$重合时，易求得$EF=\frac{1}{2}BC=4$.
②再求出点$E$不与两端点$B,D$重合时$EF$的长度：如图③，小明在$AC$右侧作$∠ CAG=∠ BAE$，且$AG=AE$.连结$FG,CG$.可证得$△ ABE≌△ ACG(\mathrm{SAS})$.请你根据以下问题帮小明继续完成探究：
(1)求证：$EF=FG$.
(2)当$BE=2$时，求$EF$的长度.
【延伸思考】如图④，当点$E$运动到线段$DC$上时，点$F$落在线段$DC$的延长线上.如果题干中其余条件不变.请解决以下问题：
(3)当$BE=\frac{16}{3}$时，$EF=$.（直接写出答案）

1. (1)在AC右侧作∠CAG=∠BAE,且AG=AE,连结FG,CG,
∵ ∠BAC = 90°,
∴ ∠BAE + ∠EAF + ∠CAF = 90°.
∵ ∠EAF=45°,
∴ ∠BAE+∠CAF=45°,
∴ ∠CAG+∠CAF=45°,
∴ ∠GAF=∠EAF=45°.又
∵ AF=AF,
∴ △AEF≌△AGF(SAS),
∴ EF=FG.

(2)
∵ △ABC 是等腰直角三角形, ∠BAC = 90°,
∴ ∠ABE=∠ACB=45°.
∵ △ABE≌△ACG,
∴ ∠ABE = ∠ACG=45°,BE=CG=2,
∴ ∠FCG=90°.设 EF=FG=x,则 CF=8-2-x=6-x,在△CFG 中,由勾股定理,得 CF²+CG²=FG²,
∴ (6-x)²+2²=x²,解得x=$\frac{10}{3}$,
∴ EF=$\frac{10}{3}$.
(3) $\frac{20}{3}$ 解析:在 AC 右侧作∠CAH=∠BAE,且 AH=AE,连结 FH,CH,
∴ △ABE≌△ACH(SAS),
∴ ∠ABE=∠ACH,BE=CH=$\frac{16}{3}$.
∵ △ABC 是等腰直角三角形, ∠BAC = 90°,
∴ ∠ABE=∠ACB=45°,
∴ ∠ABE=∠ACH=45°,
∴ ∠BCH=90°,
∴ ∠FCH=90°.
∵ ∠CAE=90°-∠BAE,∠CAE=45°-∠CAF,
∴ 90°-∠BAE=45°-∠CAF,
∴ ∠BAE-∠CAF=45°,
∴ ∠CAH-∠CAF=45°,即∠HAF=45°,
∴ ∠EAF=∠HAF=45°.在△EAF 和△HAF 中,$\begin{cases} AE=AH, \\ ∠EAF=∠HAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ △EAF≌△HAF(SAS),
∴ EF=HF,设 EF=HF=a,
∵ BE=$\frac{16}{3}$,BC=8,
∴ CE=8-$\frac{16}{3}$=$\frac{8}{3}$,
∴ CF=a-$\frac{8}{3}$.在 Rt△HCF 中,CF²+CH²=HF²,
∴ $(a-\frac{8}{3})^2+(\frac{16}{3})^2=a^2$,解得 a=$\frac{20}{3}$,
∴ EF=$\frac{20}{3}$.