2. ★★★（2026·嘉兴期末）(1)【问题背景】我们把面积相等但不全等的两个三角形称为“偏等积三角形”.如图①,在△ABC中,AB=6,BC=4,AC=9.点E是AB边上一点,点F是边BC上一点.当AE=时,△AEC和△EBC是偏等积三角形.
(2)【问题探究】如图②,在四边形ABCD中,E是边BC上一点,F是BA延长线上一点.AC=AF,AD=2AE,且∠BAD+∠EAC=180°,∠BFD+∠BAC=180°.△ABC与△ADF是偏等积三角形吗?请说明理由.
(3)【问题拓展】如图③,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.△APD和△BPD为偏等积三角形,且面积均为1,P为AC上一动点,当PD+PB取最小值时,$S_{△ BPC}=$.

2. (1)3 解析:
∵ △AEC 和△EBC 是偏等积三角形,
∴ S△AEC = S△EBC.
∵ △AEC,△EBC 分别以 AE,BE 为底,△AEC,△EBC 的 AE,BE 上的高相等,
∴ BE=AE=$\frac{1}{2}$AB=3.
(2)△ABC 与△ADF 是偏等积三角形.理由如下:,过点 C 作 CM // AB 交 AE 的延长线于点 M,则∠BAC + ∠ACM = 180°,∠BAE=∠M.
∵ ∠BFD+∠BAC=180°,
∴ ∠BFD=∠ACM.
∵ ∠BAD + ∠EAC = 180°, ∠BAD + ∠DAF = 180°,
∴ ∠MAC = ∠DAF.又
∵ AF=AC,
∴ △AFD≌△ACM(ASA),
∴ AD=AM=2AE,S△ADF=S△AMC,
∴ AE=ME.又
∵ ∠AEB=∠MEC,∠BAE=∠M,
∴ △ABE≌△MCE(ASA),
∴ S△ABE = S△MCE.
∵ S△ABE + S△AEC = S△MCE+S△AEC,
∴ S△ABC = S△AMC,
∴ S△ABC = S△ADF,
∴ △ABC 与△ADF 是偏等积三角形.
(3)1 解析:
∵ △APD 和△BPD 为偏等积三角形,
∴ 点 D 是 AB 的中点,作点 D 关于 AC 的对称点 E,连结 AE,BE,PE,BE 交 AC 于点 F,连结 DF,由对称性性质可得 AE=AD,PD=PE,∠EAP=∠DAP,当点 P 与点 F 重合时,PD+PB=PE+PB 取得最小值,由对称知△AFE 的面积等于△ADF 的面积,
此时△AFD 和△BFD 的面积均为 1,
∴ △ABE 的面积为 3.
∵ ∠ACB=90°,AC=BC,
∴ ∠EAP = ∠DAP = 45°,
∴ ∠EAB = 90°.设 AD=BD=a,则 AB=2a,AE=a,
∵ S△ABE=$\frac{1}{2}$AB·AE=3,
∴ $\frac{1}{2}$×2a·a=3,解得 a=$\sqrt{3}$,由勾股定理求得 AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{6}$.
∵ S△ABF = $\frac{1}{2}$AF·BC = 2,
∴ $\frac{1}{2}$AF×$\sqrt{6}$ = 2,
∴ AF = $\frac{2\sqrt{6}}{3}$,
∴ CF=AC-AF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
∴ S△BFC = $\frac{1}{2}$CF·BC = $\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$×$\sqrt{6}$ = 1,
∴ 当 PD+PB 取得最小值时,S△BPC = 1.