教材P138 数学活动变式 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理. 如图1所示的“赵爽弦图”,由四个全等的直角三角形拼成,其中四边形ABED和四边形CFGH都是正方形.

(1)在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$BC = a$，$AC = b$，$AB = c$，求证：$a^2 + b^2 = c^2$.
(2)若正方形$CFGH$的面积为5，$(a + b)^2 = 21$，求正方形$ABED$的面积.
(3)若$c = 100$，$a - b = 20$，求$Rt△ ABC$的面积.
(4)将图1中四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形$MNQP$，若图1中正方形$ABED$的面积为24，正方形$CFGH$的面积为4，求正方形$MNQP$的面积.
(5)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到如图3所示的“数学风车”.若$a = 12$，$b = 9$，“数学风车”外围轮廓(图中实线部分)的总长为108，求该风车的面积.

(1)证明:由题图1可知,S正方形ABED=4S△ABC + S正方形CFGH.
∵ S正方形ABED = c²,S△ABC = 1/2 ab,正方形CFGH的边长为a - b,
∴ c² = 4 × 1/2 ab + (a - b)² = 2ab + a² - 2ab + b² = a² + b²,
即a² + b² = c².
(2)解:根据题意得,正方形CFGH的边长为a - b,
∴ (a - b)² = 5,
∴ a² - 2ab + b² = 5①.
∵ (a + b)² = 21,
∴ a² + 2ab + b² = 21②.
由① + ②得2(a² + b²) = 26,
∴ 正方形ABED的面积为c² = a² + b² = 13.
(3)解:根据勾股定理得,a² + b² = c² = 10 000.
∵ a - b = 20,
∴ (a - b)² = 400,
∴ a² - 2ab + b² = 400,
∴ 10 000 - 2ab = 400,
∴ ab = 4 800,
∴ Rt△ABC的面积为1/2 ab = 2 400.
(4)解:
∵ 正方形ABED的面积是24,
∴ a² + b² = c² = 24.
∵ 正方形CFGH的面积是4,
∴ (a - b)² = a² + b² - 2ab = 4,
∴ ab = 10,
∴ 正方形MNQP的面积为c² + 4 × 1/2 ab = 24 + 2 × 10 = 44.
(5)解:
∵ “数学风车”外围轮廓的总长为108,
∴ AO + BO = 108 ÷ 4 = 27.
设AO = x,
∵ BC² + CO² = BO²,
∴ a² + (b + x)² = (27 - x)².
将a = 12,b = 9代入,得144 + (9 + x)² = (27 - x)²,解得x = 7.
∵ 小正方形的边长为a - b = 12 - 9 = 3,
∴ 该风车的面积为1/2 × 12 × (7 + 9) × 4 + 3 × 3 = 393.