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任务导学
任务一 探究角的比较方法及和、差关系
回顾复习：线段的比较有哪些方法？
探究1：你已经知道了比较两条线段长短的方法，怎样比较两个角的大小呢？
探究2：根据下图三种情况，你能说明两个角的大小关系吗？（两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B'）
探究3：图中有几个角？它们之间有什么和、差关系？
归纳总结
利用度量法比较两个角的大小，实质上是从“数”的方面比较大小，利用叠合法比较两个角的大小，实质上是从“形”的方面比较大小。
任务一 探究角的比较方法及和、差关系
回顾复习：线段的比较有哪些方法？
探究1：你已经知道了比较两条线段长短的方法，怎样比较两个角的大小呢？
探究2：根据下图三种情况，你能说明两个角的大小关系吗？（两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B'）
探究3：图中有几个角？它们之间有什么和、差关系？
归纳总结
利用度量法比较两个角的大小，实质上是从“数”的方面比较大小，利用叠合法比较两个角的大小，实质上是从“形”的方面比较大小。
答案
回顾复习 度量法、叠合法。
探究1 有度量法和叠合法两种方法。
探究2 解：图(1)中∠AOB＜∠A'O'B'，
图(2)中∠AOB=∠A'O'B'，
图(3)中∠AOB＞∠A'O'B'。
探究3 解：图中有3个角，分别为∠AOC，∠AOB，∠BOC。
∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC；
∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC−∠BOC；
类似地，∠AOC−∠AOB=∠BOC。
探究1 有度量法和叠合法两种方法。
探究2 解：图(1)中∠AOB＜∠A'O'B'，
图(2)中∠AOB=∠A'O'B'，
图(3)中∠AOB＞∠A'O'B'。
探究3 解：图中有3个角，分别为∠AOC，∠AOB，∠BOC。
∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC；
∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC−∠BOC；
类似地，∠AOC−∠AOB=∠BOC。
解析
【分析】
本题可通过知识迁移的思路求解：①首先回顾已学的线段长短比较方法，将其类比迁移到角的大小比较中，即可得到角的两种比较方法；②用叠合法判断角的大小时，只需将两个角的顶点、其中一条边分别重合，观察另一条边的位置就能判断大小关系；③数角时按顺序枚举避免漏数，再根据角的组成推导各角之间的和差关系即可。
【解析】
回顾复习
线段长短的比较方法有度量法、叠合法两种，其中度量法是通过测量线段长度比较长短，叠合法是通过将线段一端重合观察另一端位置比较长短。
探究1
类比线段长短的比较方法，角的大小比较也有两种方法：
1. 度量法：用量角器测量角的度数，通过度数大小比较角的大小；
2. 叠合法：将两个角的顶点和一条边重合，观察另一条边的位置判断大小。
探究2
用叠合法比较∠AOB和∠A'O'B'：
图(1)中∠AOB的另一条边落在∠A'O'B'内部，因此$∠ AOB ＜ ∠ A'O'B'$；
图(2)中∠AOB的另一条边和∠A'O'B'的另一条边重合，因此$∠ AOB = ∠ A'O'B'$；
图(3)中∠AOB的另一条边落在∠A'O'B'外部，因此$∠ AOB ＞ ∠ A'O'B'$。
探究3
按顺序数角：单个小角有∠AOB、∠BOC，两个小角组成的大角有∠AOC，共3个角。
根据角的组成推导和差关系：
大角∠AOC由∠AOB和∠BOC组成，因此$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$；
∠AOB是∠AOC去掉∠BOC得到的，因此$∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC$；
∠BOC是∠AOC去掉∠AOB得到的，因此$∠ BOC = ∠ AOC - ∠ AOB$。
【答案】
回顾复习：度量法、叠合法。
探究1：有度量法和叠合法两种方法。
探究2：图(1)中$∠ AOB ＜ ∠ A'O'B'$，图(2)中$∠ AOB = ∠ A'O'B'$，图(3)中$∠ AOB ＞ ∠ A'O'B'$。
探究3：图中有3个角，分别为∠AOC，∠AOB，∠BOC。$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$；$∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC$；$∠ AOC - ∠ AOB = ∠ BOC$。
【知识点】
角的大小比较；角的和差运算；叠合法与度量法
【点评】
本题从已学的线段比较知识出发，引导学生通过类比迁移自主探究角的相关性质，侧重对基础方法和概念的考察，是后续学习复杂角的运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
本题可通过知识迁移的思路求解：①首先回顾已学的线段长短比较方法，将其类比迁移到角的大小比较中，即可得到角的两种比较方法；②用叠合法判断角的大小时，只需将两个角的顶点、其中一条边分别重合，观察另一条边的位置就能判断大小关系；③数角时按顺序枚举避免漏数，再根据角的组成推导各角之间的和差关系即可。
【解析】
回顾复习
线段长短的比较方法有度量法、叠合法两种，其中度量法是通过测量线段长度比较长短，叠合法是通过将线段一端重合观察另一端位置比较长短。
探究1
类比线段长短的比较方法，角的大小比较也有两种方法：
1. 度量法：用量角器测量角的度数，通过度数大小比较角的大小；
2. 叠合法：将两个角的顶点和一条边重合，观察另一条边的位置判断大小。
探究2
用叠合法比较∠AOB和∠A'O'B'：
图(1)中∠AOB的另一条边落在∠A'O'B'内部，因此$∠ AOB ＜ ∠ A'O'B'$；
图(2)中∠AOB的另一条边和∠A'O'B'的另一条边重合，因此$∠ AOB = ∠ A'O'B'$；
图(3)中∠AOB的另一条边落在∠A'O'B'外部，因此$∠ AOB ＞ ∠ A'O'B'$。
探究3
按顺序数角：单个小角有∠AOB、∠BOC，两个小角组成的大角有∠AOC，共3个角。
根据角的组成推导和差关系：
大角∠AOC由∠AOB和∠BOC组成，因此$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$；
∠AOB是∠AOC去掉∠BOC得到的，因此$∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC$；
∠BOC是∠AOC去掉∠AOB得到的，因此$∠ BOC = ∠ AOC - ∠ AOB$。
【答案】
回顾复习：度量法、叠合法。
探究1：有度量法和叠合法两种方法。
探究2：图(1)中$∠ AOB ＜ ∠ A'O'B'$，图(2)中$∠ AOB = ∠ A'O'B'$，图(3)中$∠ AOB ＞ ∠ A'O'B'$。
探究3：图中有3个角，分别为∠AOC，∠AOB，∠BOC。$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$；$∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC$；$∠ AOC - ∠ AOB = ∠ BOC$。
【知识点】
角的大小比较；角的和差运算；叠合法与度量法
【点评】
本题从已学的线段比较知识出发，引导学生通过类比迁移自主探究角的相关性质，侧重对基础方法和概念的考察，是后续学习复杂角的运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
1. 如图，若$∠ AOB = ∠ COD$，则$∠ 1$与$∠ 2$的大小关系为（
A.$∠ 1＞∠ 2$
B.$∠ 1=∠ 2$
C.$∠ 1＜∠ 2$
D.无法确定
B
）A.$∠ 1＞∠ 2$
B.$∠ 1=∠ 2$
C.$∠ 1＜∠ 2$
D.无法确定
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先观察角的组成：∠AOB由∠1和公共角∠DOB组成，∠COD由∠2和公共角∠DOB组成。已知∠AOB=∠COD，根据等式的基本性质，两个相等的量同时减去同一个相同的量，所得的差仍然相等，因此只需将两个相等的角同时减去它们共有的∠DOB，就能得到∠1和∠2的大小关系。
【解析】
由图可知：
$∠ AOB = ∠ 1 + ∠ DOB$，
$∠ COD = ∠ 2 + ∠ DOB$，
已知$∠ AOB = ∠ COD$，代入可得：
$∠ 1 + ∠ DOB = ∠ 2 + ∠ DOB$，
等式两边同时减去$∠ DOB$，得：
$∠ 1 = ∠ 2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角的和差运算；等式的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查角的和差关系的应用，解题的关键是找到两个相等角的公共重叠部分，结合等式性质即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察角的组成：∠AOB由∠1和公共角∠DOB组成，∠COD由∠2和公共角∠DOB组成。已知∠AOB=∠COD，根据等式的基本性质，两个相等的量同时减去同一个相同的量，所得的差仍然相等，因此只需将两个相等的角同时减去它们共有的∠DOB，就能得到∠1和∠2的大小关系。
【解析】
由图可知：
$∠ AOB = ∠ 1 + ∠ DOB$，
$∠ COD = ∠ 2 + ∠ DOB$，
已知$∠ AOB = ∠ COD$，代入可得：
$∠ 1 + ∠ DOB = ∠ 2 + ∠ DOB$，
等式两边同时减去$∠ DOB$，得：
$∠ 1 = ∠ 2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角的和差运算；等式的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查角的和差关系的应用，解题的关键是找到两个相等角的公共重叠部分，结合等式性质即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
2. 根据下图中角的关系填空.
(1)$∠ AOC=∠ AOB+∠$
(2)$∠ BOD=∠ COD+∠$
(3)$∠ AOC=∠ AOD-∠$
(4)$∠ BOC=∠$
(5)$∠ BOC=∠ AOC+∠ BOD-∠$
(1)$∠ AOC=∠ AOB+∠$
BOC
;(2)$∠ BOD=∠ COD+∠$
BOC
;(3)$∠ AOC=∠ AOD-∠$
COD
;(4)$∠ BOC=∠$
AOD
$-∠$AOB
$-∠$COD
;(5)$∠ BOC=∠ AOC+∠ BOD-∠$
AOD
.答案
2. (1) BOC (2) BOC (3) COD (4) AOB COD (5) AOD
解析
【分析】
本题考查共顶点多个角的和差关系，解题思路如下：首先明确图中从同一顶点出发的射线顺次为OA、OB、OC、OD，所有角都以该点为公共顶点；接下来逐题分析所求角的构成：如果是求角的和，就看所求角由哪两个相邻小角拼接而成；如果是求角的差，就看所求角可以由哪个大角减去其余小角得到，最后对应填空即可。
【解析】
结合图形中各角的组成关系分析如下：
(1) ∠AOC由相邻的∠AOB和∠BOC组成，因此$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC$，故填BOC；
(2) ∠BOD由相邻的∠BOC和∠COD组成，因此$∠ BOD=∠ COD+∠ BOC$，故填BOC；
(3) ∠AOD是由∠AOC和∠COD组成的大角，因此$∠ AOC=∠ AOD-∠ COD$，故填COD；
(4) 整个大角∠AOD由∠AOB、∠BOC、∠COD三个小角组成，变形可得$∠ BOC=∠ AOD-∠ AOB-∠ COD$，故三个空依次填AOD、AOB、COD；
(5) 因为$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC$，$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD$，两式相加得：$∠ AOC+∠ BOD=∠ AOB+2∠ BOC+∠ COD$，又因为$∠ AOB+∠ BOC+∠ COD=∠ AOD$，代入上式得$∠ AOC+∠ BOD=∠ AOD+∠ BOC$，整理得$∠ BOC=∠ AOC+∠ BOD-∠ AOD$，故填AOD。
【答案】
(1) BOC；(2) BOC；(3) COD；(4) AOD、AOB、COD；(5) AOD
【知识点】
角的和差关系，角的运算
【点评】
本题侧重考查对共顶点角的组成关系的理解，属于基础类题型，只要理清各角之间的拼接、拆分逻辑，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.85
本题考查共顶点多个角的和差关系，解题思路如下：首先明确图中从同一顶点出发的射线顺次为OA、OB、OC、OD，所有角都以该点为公共顶点；接下来逐题分析所求角的构成：如果是求角的和，就看所求角由哪两个相邻小角拼接而成；如果是求角的差，就看所求角可以由哪个大角减去其余小角得到，最后对应填空即可。
【解析】
结合图形中各角的组成关系分析如下：
(1) ∠AOC由相邻的∠AOB和∠BOC组成，因此$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC$，故填BOC；
(2) ∠BOD由相邻的∠BOC和∠COD组成，因此$∠ BOD=∠ COD+∠ BOC$，故填BOC；
(3) ∠AOD是由∠AOC和∠COD组成的大角，因此$∠ AOC=∠ AOD-∠ COD$，故填COD；
(4) 整个大角∠AOD由∠AOB、∠BOC、∠COD三个小角组成，变形可得$∠ BOC=∠ AOD-∠ AOB-∠ COD$，故三个空依次填AOD、AOB、COD；
(5) 因为$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC$，$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD$，两式相加得：$∠ AOC+∠ BOD=∠ AOB+2∠ BOC+∠ COD$，又因为$∠ AOB+∠ BOC+∠ COD=∠ AOD$，代入上式得$∠ AOC+∠ BOD=∠ AOD+∠ BOC$，整理得$∠ BOC=∠ AOC+∠ BOD-∠ AOD$，故填AOD。
【答案】
(1) BOC；(2) BOC；(3) COD；(4) AOD、AOB、COD；(5) AOD
【知识点】
角的和差关系，角的运算
【点评】
本题侧重考查对共顶点角的组成关系的理解，属于基础类题型，只要理清各角之间的拼接、拆分逻辑，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.85
例 如图，O是直线AB上一点，∠AOC=52°37′，求∠BOC的度数。
答案
解：由题意，得∠AOB是平角，∠AOB=∠AOC+∠BOC，
所以∠BOC=∠AOB−∠AOC=180°−52°37′=127°23′。
所以∠BOC=∠AOB−∠AOC=180°−52°37′=127°23′。
解析
【分析】
首先观察图形，点O在直线AB上，可知∠AOB是平角，大小为180°；从图中能明确∠AOB由∠AOC和∠BOC组成，即两个角的和等于平角的度数。已知∠AOC的度数，求∠BOC只需用平角的度数减去∠AOC的度数即可，计算时要注意度分秒为60进制，1°=60′，不够减时要向前一位借1当60计算。
【解析】
解：
∵O是直线AB上一点，
∴∠AOB是平角，∠AOB=180°，
又
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC
=180°−52°37′
=179°60′−52°37′
=127°23′
【答案】
127°23′
【知识点】
平角的定义、角的和差运算、度分秒的换算
【点评】
本题是角的运算的基础题，解题核心是结合图形识别平角，理清角之间的和差关系，计算时注意遵循度分秒的60进制规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
首先观察图形，点O在直线AB上，可知∠AOB是平角，大小为180°；从图中能明确∠AOB由∠AOC和∠BOC组成，即两个角的和等于平角的度数。已知∠AOC的度数，求∠BOC只需用平角的度数减去∠AOC的度数即可，计算时要注意度分秒为60进制，1°=60′，不够减时要向前一位借1当60计算。
【解析】
解：
∵O是直线AB上一点，
∴∠AOB是平角，∠AOB=180°，
又
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC
=180°−52°37′
=179°60′−52°37′
=127°23′
【答案】
127°23′
【知识点】
平角的定义、角的和差运算、度分秒的换算
【点评】
本题是角的运算的基础题，解题核心是结合图形识别平角，理清角之间的和差关系，计算时注意遵循度分秒的60进制规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
