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任务一 解含括号的一元一次方程
阅读材料，完成下列探究.
某快递公司下半年每月平均运货量比上半年每月平均运货量少150件，全年共运货7500件.
求上半年每月平均运货多少件.
探究1：材料中的相等关系是什么？
探究2：如果设上半年每月平均运货量为x件，那么下半年运货量用含x的式子怎样表示？根据相等关系，可以列出怎样的方程？
探究3：探究2中列出的方程与我们之前研究过的方程在形式上有什么不同？你能根据之前所学解这个方程吗？
阅读材料，完成下列探究.
某快递公司下半年每月平均运货量比上半年每月平均运货量少150件，全年共运货7500件.
求上半年每月平均运货多少件.
探究1：材料中的相等关系是什么？
探究2：如果设上半年每月平均运货量为x件，那么下半年运货量用含x的式子怎样表示？根据相等关系，可以列出怎样的方程？
探究3：探究2中列出的方程与我们之前研究过的方程在形式上有什么不同？你能根据之前所学解这个方程吗？
答案
探究1 下半年每月平均运货量＝上半年每月平均运货量－150；上半年运货量＋下半年运货量＝全年运货量。
探究2 下半年运货量为6(x－150)。列方程，得6x＋6(x－150)＝7 500。
探究3 多了括号，解方程略。
探究2 下半年运货量为6(x－150)。列方程，得6x＋6(x－150)＝7 500。
探究3 多了括号，解方程略。
解析
【分析】
解决本题需按照探究顺序逐步思考：①探究1找等量关系时，先抓取题目关键表述：“下半年每月平均运货量比上半年少150件”对应两个时间段月均运货量的差量关系，“全年共运货7500件”对应上下半年总运货量和全年运货量的和的关系；②探究2列方程时，设上半年每月平均运货x件，可得下半年每月平均运货(x-150)件，上下半年各有6个月，分别计算上下半年总运货量，再根据总运货量的等量关系列方程即可；③探究3对比已学方程，可发现该方程多了括号，解这类方程只需先去括号，再按照解一元一次方程的常规步骤求解即可。
【解析】
探究1：从题目给出的两个核心信息可提取两个相等关系，一是下半年和上半年月均运货量的差量关系，二是上下半年总运货量与全年运货量的和的关系。
探究2：设上半年每月平均运货量为x件，根据月均运货量的差量关系，下半年每月平均运货量为(x-150)件，下半年共6个月，因此下半年总运货量为6(x-150)件；上半年总运货量为6x件，结合全年总运货量的关系，即可列出方程6x+6(x-150)=7500。
探究3：对比之前学习的无括号的一元一次方程，本题列出的方程含有括号，解该方程时先去括号，再按移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤求解即可。
【答案】
探究1 下半年每月平均运货量＝上半年每月平均运货量－150；上半年运货量＋下半年运货量＝全年运货量。
探究2 下半年运货量为6(x－150)。列方程，得6x＋6(x－150)＝7 500。
探究3 多了括号，解方程略。
【知识点】
1. 一元一次方程等量关系
2. 列一元一次方程
3. 含括号的一元一次方程
【点评】
本题以实际生活场景为载体，循序渐进引导学生完成从找等量关系、列方程到认识含括号一元一次方程的完整过程，注重知识的迁移衔接，能帮助学生夯实一元一次方程的应用基础。
【难度系数】
0.8
解决本题需按照探究顺序逐步思考：①探究1找等量关系时，先抓取题目关键表述：“下半年每月平均运货量比上半年少150件”对应两个时间段月均运货量的差量关系，“全年共运货7500件”对应上下半年总运货量和全年运货量的和的关系；②探究2列方程时，设上半年每月平均运货x件，可得下半年每月平均运货(x-150)件，上下半年各有6个月，分别计算上下半年总运货量，再根据总运货量的等量关系列方程即可；③探究3对比已学方程，可发现该方程多了括号，解这类方程只需先去括号，再按照解一元一次方程的常规步骤求解即可。
【解析】
探究1：从题目给出的两个核心信息可提取两个相等关系，一是下半年和上半年月均运货量的差量关系，二是上下半年总运货量与全年运货量的和的关系。
探究2：设上半年每月平均运货量为x件，根据月均运货量的差量关系，下半年每月平均运货量为(x-150)件，下半年共6个月，因此下半年总运货量为6(x-150)件；上半年总运货量为6x件，结合全年总运货量的关系，即可列出方程6x+6(x-150)=7500。
探究3：对比之前学习的无括号的一元一次方程，本题列出的方程含有括号，解该方程时先去括号，再按移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤求解即可。
【答案】
探究1 下半年每月平均运货量＝上半年每月平均运货量－150；上半年运货量＋下半年运货量＝全年运货量。
探究2 下半年运货量为6(x－150)。列方程，得6x＋6(x－150)＝7 500。
探究3 多了括号，解方程略。
【知识点】
1. 一元一次方程等量关系
2. 列一元一次方程
3. 含括号的一元一次方程
【点评】
本题以实际生活场景为载体，循序渐进引导学生完成从找等量关系、列方程到认识含括号一元一次方程的完整过程，注重知识的迁移衔接，能帮助学生夯实一元一次方程的应用基础。
【难度系数】
0.8
归纳总结
（1）解含有括号的一元一次方程的一般步骤：
（2）去括号法则：
去掉“+()”，括号内各项的符号不变；
去掉“-()”，括号内各项的符号改变。
（1）解含有括号的一元一次方程的一般步骤：
（2）去括号法则：
去掉“+()”，括号内各项的符号不变；
去掉“-()”，括号内各项的符号改变。
答案
（1）①去括号 ②移项 ③合并同类项 ④系数化为1
解析
【分析】
本题要求根据解含括号的一元一次方程的流程图，归纳对应的一般解题步骤。解题时只需按照流程图的先后顺序，提取每一步的操作名称即可，注意步骤的先后逻辑要符合解方程的运算规律。
【解析】
观察给出的解方程流程：
1. 第一步对含有括号的方程先进行去括号操作，去掉括号得到不含括号的整式方程；
2. 第二步进行移项，将含未知数的项留在等号左侧，常数项全部移到等号右侧，移项需注意变号；
3. 第三步合并同类项，等号左侧合并未知数的同类项，右侧合并常数项，将方程化为$ax=b(a≠0)$的形式；
4. 第四步系数化为1，方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
因此解含有括号的一元一次方程的一般步骤依次为去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
【答案】
（1）①去括号 ②移项 ③合并同类项 ④系数化为1
【知识点】
解一元一次方程、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题属于基础概念类题目，通过流程图直观呈现解方程的过程，考查对解含括号的一元一次方程步骤的识记和归纳能力，掌握该步骤是求解一元一次方程的核心基础。
【难度系数】
0.9
本题要求根据解含括号的一元一次方程的流程图，归纳对应的一般解题步骤。解题时只需按照流程图的先后顺序，提取每一步的操作名称即可，注意步骤的先后逻辑要符合解方程的运算规律。
【解析】
观察给出的解方程流程：
1. 第一步对含有括号的方程先进行去括号操作，去掉括号得到不含括号的整式方程；
2. 第二步进行移项，将含未知数的项留在等号左侧，常数项全部移到等号右侧，移项需注意变号；
3. 第三步合并同类项，等号左侧合并未知数的同类项，右侧合并常数项，将方程化为$ax=b(a≠0)$的形式；
4. 第四步系数化为1，方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
因此解含有括号的一元一次方程的一般步骤依次为去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
【答案】
（1）①去括号 ②移项 ③合并同类项 ④系数化为1
【知识点】
解一元一次方程、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题属于基础概念类题目，通过流程图直观呈现解方程的过程，考查对解含括号的一元一次方程步骤的识记和归纳能力，掌握该步骤是求解一元一次方程的核心基础。
【难度系数】
0.9
解方程：
(1) $6x = -2(3x - 5) + 10$；
(2) $-2(x + 5) = 3(x - 5) - 6$。
(1) $6x = -2(3x - 5) + 10$；
(2) $-2(x + 5) = 3(x - 5) - 6$。
答案
(1) $x=\frac{5}{3}$
(2) $x=\frac{11}{5}$
(2) $x=\frac{11}{5}$
解析
【分析】
这两个都是一元一次方程，解题遵循一元一次方程的常规步骤：第一步去括号，需严格按照去括号法则计算，注意括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号；第二步移项，把含未知数的项移到方程左边，常数项移到右边，移项要变号；第三步合并同类项；第四步将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 解方程 $6x = -2(3x - 5) + 10$
第一步：去括号，得
$6x = -6x + 10 + 10$
第二步：移项，得
$6x + 6x = 10 + 10$
第三步：合并同类项，得
$12x = 20$
第四步：系数化为1，两边同时除以12，得
$x = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$
(2) 解方程 $-2(x + 5) = 3(x - 5) - 6$
第一步：去括号，得
$-2x - 10 = 3x - 15 - 6$
第二步：移项，得
$-2x - 3x = -15 - 6 + 10$
第三步：合并同类项，得
$-5x = -11$
第四步：系数化为1，两边同时除以$-5$，得
$x = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5}$
【答案】
(1) $x=\frac{5}{3}$
(2) $x=\frac{11}{5}$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号法则、移项法则
【点评】
本题是一元一次方程解法的基础训练题，解题的易错点在于去括号时的符号处理、移项忘记变号，计算时需注意细心运算，最终结果要化为最简分数。
【难度系数】
0.8
这两个都是一元一次方程，解题遵循一元一次方程的常规步骤：第一步去括号，需严格按照去括号法则计算，注意括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号；第二步移项，把含未知数的项移到方程左边，常数项移到右边，移项要变号；第三步合并同类项；第四步将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 解方程 $6x = -2(3x - 5) + 10$
第一步：去括号，得
$6x = -6x + 10 + 10$
第二步：移项，得
$6x + 6x = 10 + 10$
第三步：合并同类项，得
$12x = 20$
第四步：系数化为1，两边同时除以12，得
$x = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$
(2) 解方程 $-2(x + 5) = 3(x - 5) - 6$
第一步：去括号，得
$-2x - 10 = 3x - 15 - 6$
第二步：移项，得
$-2x - 3x = -15 - 6 + 10$
第三步：合并同类项，得
$-5x = -11$
第四步：系数化为1，两边同时除以$-5$，得
$x = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5}$
【答案】
(1) $x=\frac{5}{3}$
(2) $x=\frac{11}{5}$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号法则、移项法则
【点评】
本题是一元一次方程解法的基础训练题，解题的易错点在于去括号时的符号处理、移项忘记变号，计算时需注意细心运算，最终结果要化为最简分数。
【难度系数】
0.8
例 课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组8人，后来又增加4人，需要重新编组，若每组12人，则比原来减少2组。问：这些学生原来共有多少人？
即时测评
一架飞机在两城之间航行，风速为24 km/h，顺风飞行要2 h 50 min，逆风飞行要3 h，求两城之间的距离。
即时测评
一架飞机在两城之间航行，风速为24 km/h，顺风飞行要2 h 50 min，逆风飞行要3 h，求两城之间的距离。
答案
例 解：设原来有x组，则重新编组后有(x－2)组。
根据题意，得8x＋4＝12(x－2)。
解得x＝7。
所以8x＝8×7＝56。
答：这些学生原来共有56人。
即时测评 两城之间的距离为2 448 km。
根据题意，得8x＋4＝12(x－2)。
解得x＝7。
所以8x＝8×7＝56。
答：这些学生原来共有56人。
即时测评 两城之间的距离为2 448 km。
解析
【分析】
1. 例题解题思路：本题是分组类的一元一次方程实际应用题，核心等量关系为“新增4人后的总人数=重新编组后的总人数”。我们可以设原来共有x组，原来的总人数为8x，新增4人后总人数为8x+4；重新编组后组数为(x-2)组，总人数也可表示为12(x-2)，根据两个式子相等列方程求解组数，再计算原来的总人数即可。
2. 即时测评解题思路：本题是航行类的行程问题，核心等量关系为“顺风飞行的路程=逆风飞行的路程（即两城距离不变）”。顺风时飞机实际速度=无风航速+风速，逆风时飞机实际速度=无风航速-风速，首先将顺风飞行时间2h50min换算为$\frac{17}{6}$h统一单位，设飞机无风时的航速为x km/h，分别用“速度×时间”表示出顺风、逆风的飞行路程，列方程求解出无风航速后，代入路程公式即可算出两城距离。
【解析】
例
解：设原来有x组，则重新编组后有$(x-2)$组。
根据题意列方程：
$8x + 4 = 12(x - 2)$
展开得：$8x + 4 = 12x - 24$
移项合并同类项得：$4x = 28$
解得：$x = 7$
原来的总人数为：$8x = 8×7 = 56$（人）
即时测评
解：先将顺风飞行时间换算为小时：$2\mathrm{h}50\mathrm{min}=2+\frac{50}{60}=\frac{17}{6}\mathrm{h}$
设飞机在无风时的航速为$x\ \mathrm{km/h}$，根据两城距离不变列方程：
$\frac{17}{6}(x + 24) = 3(x - 24)$
两边同乘6去分母得：$17(x + 24) = 18(x - 24)$
展开得：$17x + 408 = 18x - 432$
移项解得：$x = 840$
两城之间的距离为：$3×(840 - 24) = 3×816 = 2448\ (\mathrm{km})$
【答案】
例：这些学生原来共有56人；
即时测评：两城之间的距离为2448 km。
【知识点】
一元一次方程应用、行程问题、等量关系构建
【点评】
两道题均为一元一次方程解决实际问题的典型题型，解题的关键是准确找到题目中不变的量作为等量关系列方程，计算时注意单位统一（如时间单位换算）和移项变号规则，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
1. 例题解题思路：本题是分组类的一元一次方程实际应用题，核心等量关系为“新增4人后的总人数=重新编组后的总人数”。我们可以设原来共有x组，原来的总人数为8x，新增4人后总人数为8x+4；重新编组后组数为(x-2)组，总人数也可表示为12(x-2)，根据两个式子相等列方程求解组数，再计算原来的总人数即可。
2. 即时测评解题思路：本题是航行类的行程问题，核心等量关系为“顺风飞行的路程=逆风飞行的路程（即两城距离不变）”。顺风时飞机实际速度=无风航速+风速，逆风时飞机实际速度=无风航速-风速，首先将顺风飞行时间2h50min换算为$\frac{17}{6}$h统一单位，设飞机无风时的航速为x km/h，分别用“速度×时间”表示出顺风、逆风的飞行路程，列方程求解出无风航速后，代入路程公式即可算出两城距离。
【解析】
例
解：设原来有x组，则重新编组后有$(x-2)$组。
根据题意列方程：
$8x + 4 = 12(x - 2)$
展开得：$8x + 4 = 12x - 24$
移项合并同类项得：$4x = 28$
解得：$x = 7$
原来的总人数为：$8x = 8×7 = 56$（人）
即时测评
解：先将顺风飞行时间换算为小时：$2\mathrm{h}50\mathrm{min}=2+\frac{50}{60}=\frac{17}{6}\mathrm{h}$
设飞机在无风时的航速为$x\ \mathrm{km/h}$，根据两城距离不变列方程：
$\frac{17}{6}(x + 24) = 3(x - 24)$
两边同乘6去分母得：$17(x + 24) = 18(x - 24)$
展开得：$17x + 408 = 18x - 432$
移项解得：$x = 840$
两城之间的距离为：$3×(840 - 24) = 3×816 = 2448\ (\mathrm{km})$
【答案】
例：这些学生原来共有56人；
即时测评：两城之间的距离为2448 km。
【知识点】
一元一次方程应用、行程问题、等量关系构建
【点评】
两道题均为一元一次方程解决实际问题的典型题型，解题的关键是准确找到题目中不变的量作为等量关系列方程，计算时注意单位统一（如时间单位换算）和移项变号规则，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.7
