19.（本小题满分10分）
(1)比较大小.（填“＞”“＜”或“=”）
①2+1 $2\sqrt{1×2}$；
②；
③8+8 $2\sqrt{8×8}$.
(2)通过上面的比较，可以初步猜想：对于任意非负实数a，b，a+b $2\sqrt{ab}$. 请对猜想的正确性进行证明.（填“＞”“＜”“≥”或“≤”）
(3)如图，某同学用竹条做了两个面积为1 800 cm²且对角线相互垂直的四边形玩具，则用来做这两个玩具对角线的竹条至少要多长？

19. 解：(1)①＞ ②＞ ③=
(2)≥
证明：$\because a≥0$，$b≥0$，
$\therefore a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0$.
$\therefore a+b≥2\sqrt{ab}$.
(3)设$AC=a$，$BD=b$.
根据题意，得$\frac{1}{2}ab=1\ 800$.
$\therefore ab=3\ 600$.
$\because a+b≥2\sqrt{ab}$，
$\therefore a+b≥2\sqrt{3\ 600}$.
$\therefore a+b≥120$.
$\therefore$用来做这两个玩具对角线的竹条长至少为$2×120=240(\mathrm{cm})$.

【分析】
解题可按三步逐层思考：
1. 第(1)小题：分别计算左右两个式子的数值，直接比较结果即可，涉及基础的有理数运算和二次根式化简。
2. 第(2)小题：观察第(1)问的三组结果，当a≠b时a+b大于$2\sqrt{ab}$，当a=b时两者相等，因此归纳出$a+b≥2\sqrt{ab}$；证明时利用完全平方的非负性，将a、b转化为$(\sqrt{a})^2$、$(\sqrt{b})^2$，展开$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0$后移项即可得到结论，贴合已学的完全平方公式和二次根式性质。
3. 第(3)小题：先运用对角线互相垂直的四边形面积公式（面积为对角线乘积的一半），算出单块玩具两条对角线的乘积，再代入第(2)小题得到的结论求出单块玩具对角线总长度的最小值，最后乘2得到两个玩具所需竹条的最小总长度。
【解析】
(1) ①左边：$2+1=3$，右边：$2\sqrt{1×2}=2\sqrt{2}≈2.828$，$3＞2.828$，故填$\boldsymbol{＞}$；
②计算后左右两边比较结果为$\boldsymbol{＞}$；
③左边：$8+8=16$，右边：$2\sqrt{8×8}=2×8=16$，$16=16$，故填$\boldsymbol{=}$；
(2) 猜想填$\boldsymbol{≥}$，证明如下：
$\because a≥0$，$b≥0$，
$\therefore (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0$，
展开得：$a - 2\sqrt{ab} + b ≥0$，
移项整理得：$a+b≥2\sqrt{ab}$，猜想成立。
(3) 设单个玩具的两条对角线长分别为$a$、$b$，
$\because$ 对角线互相垂直的四边形面积为$\frac{1}{2}ab$，且单个玩具面积为$1800\ \mathrm{cm^2}$，
$\therefore \frac{1}{2}ab=1800$，解得$ab=3600$，
代入(2)的结论$a+b≥2\sqrt{ab}$得：
$a+b≥2\sqrt{3600}=2×60=120$，即单个玩具的对角线总长至少为$120\ \mathrm{cm}$，
因此两个玩具的对角线竹条总长至少为$2×120=240\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{＞}$；②$\boldsymbol{＞}$；③$\boldsymbol{=}$
(2)$\boldsymbol{≥}$，证明见解析
(3)$\boldsymbol{240\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
实数大小比较、完全平方公式、二次根式的应用
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，先通过具体计算归纳结论，再利用已学公式证明结论，最后迁移结论解决实际最值问题，综合考查了计算能力、归纳推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7