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(1)如图，在$△ ABC$中，点D在BC上，且$AD=DC$，则点D在（
A.AC 的垂直平分线上
B.$∠ BAC$ 的平分线上
C.BC 的中点处
D.AB 的垂直平分线上
A
）A.AC 的垂直平分线上
B.$∠ BAC$ 的平分线上
C.BC 的中点处
D.AB 的垂直平分线上
答案
1. (1) A
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。题目给出条件AD=DC，说明点D到线段AC的两个端点A、C的距离相等，可直接对应判定定理判断点D的位置，再逐一排除不符合条件的其他选项即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
已知AD=DC，即点D到线段AC的两个端点A、C的距离相等，因此点D在AC的垂直平分线上。
对其余选项逐一分析：
B选项：点在角平分线上需要满足点到角两边的距离相等，题中无相关条件，故错误；
C选项：D是BC中点需要满足BD=DC，题中仅给出AD=DC，无法推出BD=DC，故错误；
D选项：点在AB的垂直平分线上需要满足AD=BD，题中无相关条件，故错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是线段垂直平分线判定定理的基础应用，解题关键是准确掌握判定定理的内容，同时注意区分角平分线、线段中点等概念的判定条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。题目给出条件AD=DC，说明点D到线段AC的两个端点A、C的距离相等，可直接对应判定定理判断点D的位置，再逐一排除不符合条件的其他选项即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
已知AD=DC，即点D到线段AC的两个端点A、C的距离相等，因此点D在AC的垂直平分线上。
对其余选项逐一分析：
B选项：点在角平分线上需要满足点到角两边的距离相等，题中无相关条件，故错误；
C选项：D是BC中点需要满足BD=DC，题中仅给出AD=DC，无法推出BD=DC，故错误；
D选项：点在AB的垂直平分线上需要满足AD=BD，题中无相关条件，故错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是线段垂直平分线判定定理的基础应用，解题关键是准确掌握判定定理的内容，同时注意区分角平分线、线段中点等概念的判定条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.85
(2)已知线段AB，在平面上找一点D，使DA=DB，这样的点有（
A.2个
B.4个
C.6个
D.无数个
D
）A.2个
B.4个
C.6个
D.无数个
答案
1. (2) D
解析
【分析】
解题时首先明确题目核心是寻找到线段AB两个端点距离相等的点的数量。我们可以回忆线段垂直平分线的相关判定：到线段两个端点距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上。由此可确定满足DA=DB的点的位置都在AB的垂直平分线上，而一条直线上存在无数个点，即可得出结论。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
因此所有满足DA=DB的点D都在线段AB的垂直平分线上，而任意一条直线上都有无数个点，所以符合条件的点D有无数个。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定，点的集合
【点评】
本题考查线段垂直平分线判定的应用，易错点是容易局限在几个特殊点上，忽略满足条件的点的集合是整条垂直平分线，要注意对几何中点的集合概念的理解，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目核心是寻找到线段AB两个端点距离相等的点的数量。我们可以回忆线段垂直平分线的相关判定：到线段两个端点距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上。由此可确定满足DA=DB的点的位置都在AB的垂直平分线上，而一条直线上存在无数个点，即可得出结论。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
因此所有满足DA=DB的点D都在线段AB的垂直平分线上，而任意一条直线上都有无数个点，所以符合条件的点D有无数个。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定，点的集合
【点评】
本题考查线段垂直平分线判定的应用，易错点是容易局限在几个特殊点上，忽略满足条件的点的集合是整条垂直平分线，要注意对几何中点的集合概念的理解，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8
(3)下列说法中，不正确的是 （
A.若P是线段AB垂直平分线上的点，则$PA=PB$
B.若$PA=PB$，$QA=QB$，则直线PQ是线段AB的垂直平分线
C.若$PA=PB$，则点P在线段AB的垂直平分线上
D.若$PA=PB$，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
D
）A.若P是线段AB垂直平分线上的点，则$PA=PB$
B.若$PA=PB$，$QA=QB$，则直线PQ是线段AB的垂直平分线
C.若$PA=PB$，则点P在线段AB的垂直平分线上
D.若$PA=PB$，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
答案
1. (3) D
解析
【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的相关定理：①性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；②判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；③两点确定一条直线，若两个点都在某线段的垂直平分线上，则过这两点的直线就是该线段的垂直平分线。结合上述定理逐一辨析四个选项，选出表述错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据线段垂直平分线的性质定理，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，因此若P是线段AB垂直平分线上的点，必有PA=PB，该选项说法正确，不符合题意；
B选项：若PA=PB，根据判定定理可知点P在线段AB的垂直平分线上；同理QA=QB可知点Q也在线段AB的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，直线PQ就是线段AB的垂直平分线，该选项说法正确，不符合题意；
C选项：表述完全符合线段垂直平分线的判定定理，该选项说法正确，不符合题意；
D选项：PA=PB仅能说明点P在线段AB的垂直平分线上，而过点P的直线有无数条，只有同时满足垂直于AB且平分AB的过P的直线才是AB的垂直平分线，并非所有过P的直线都是，该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题是概念辨析类基础题，重点考查对线段垂直平分线性质和判定的准确理解，做题时要注意区分“点在垂直平分线上”和“过该点的直线是垂直平分线”的差异，避免因概念混淆出现判断错误。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆线段垂直平分线的相关定理：①性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；②判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；③两点确定一条直线，若两个点都在某线段的垂直平分线上，则过这两点的直线就是该线段的垂直平分线。结合上述定理逐一辨析四个选项，选出表述错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据线段垂直平分线的性质定理，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，因此若P是线段AB垂直平分线上的点，必有PA=PB，该选项说法正确，不符合题意；
B选项：若PA=PB，根据判定定理可知点P在线段AB的垂直平分线上；同理QA=QB可知点Q也在线段AB的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，直线PQ就是线段AB的垂直平分线，该选项说法正确，不符合题意；
C选项：表述完全符合线段垂直平分线的判定定理，该选项说法正确，不符合题意；
D选项：PA=PB仅能说明点P在线段AB的垂直平分线上，而过点P的直线有无数条，只有同时满足垂直于AB且平分AB的过P的直线才是AB的垂直平分线，并非所有过P的直线都是，该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题是概念辨析类基础题，重点考查对线段垂直平分线性质和判定的准确理解，做题时要注意区分“点在垂直平分线上”和“过该点的直线是垂直平分线”的差异，避免因概念混淆出现判断错误。
【难度系数】
0.7
(4)如图，$AC=AD$，$BC=BD$. 下列结论中，正确的是 （
A.AB 垂直平分 CD
B.CD 垂直平分 AB
C.AB 与 CD 互相垂直平分
D.CD 平分$∠ ACB$
A
）A.AB 垂直平分 CD
B.CD 垂直平分 AB
C.AB 与 CD 互相垂直平分
D.CD 平分$∠ ACB$
答案
1. (4) A
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。首先看已知条件，AC=AD，说明点A满足到C、D两点距离相等，因此点A在CD的垂直平分线上；同理BC=BD，说明点B也在CD的垂直平分线上。根据“两点确定一条直线”，过A、B两点的直线AB就是CD的垂直平分线，由此可判断正确选项，再逐一验证其他选项是否有条件支撑即可。
【解析】
解：
∵ AC=AD，
∴ 点A在线段CD的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
∵ BC=BD，
∴ 点B在线段CD的垂直平分线上。
又
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线AB是线段CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD，故A选项正确。
对于B、C选项：题中未给出AC=BC、AD=BD等能证明点C、D在AB垂直平分线上的条件，因此无法推出CD垂直平分AB，故B、C错误。
对于D选项：仅由已知条件无法证明∠ACD=∠BCD，因此不能得到CD平分∠ACB，故D错误。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题属于基础类几何题，核心是对线段垂直平分线判定定理的灵活运用，解题时要紧扣已知条件推导结论，不要随意添加题目未给出的等量关系，避免误选错误选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。首先看已知条件，AC=AD，说明点A满足到C、D两点距离相等，因此点A在CD的垂直平分线上；同理BC=BD，说明点B也在CD的垂直平分线上。根据“两点确定一条直线”，过A、B两点的直线AB就是CD的垂直平分线，由此可判断正确选项，再逐一验证其他选项是否有条件支撑即可。
【解析】
解：
∵ AC=AD，
∴ 点A在线段CD的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
∵ BC=BD，
∴ 点B在线段CD的垂直平分线上。
又
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线AB是线段CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD，故A选项正确。
对于B、C选项：题中未给出AC=BC、AD=BD等能证明点C、D在AB垂直平分线上的条件，因此无法推出CD垂直平分AB，故B、C错误。
对于D选项：仅由已知条件无法证明∠ACD=∠BCD，因此不能得到CD平分∠ACB，故D错误。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题属于基础类几何题，核心是对线段垂直平分线判定定理的灵活运用，解题时要紧扣已知条件推导结论，不要随意添加题目未给出的等量关系，避免误选错误选项。
【难度系数】
0.8
(1)如图，已知$AC=BC$，$AD=BD$，那么
直线CD
是线段AB
的垂直平分线。答案
2. (1) 直线CD，线段AB
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。第一步先看已知条件AC=BC，可判断点C在线段AB的垂直平分线上；第二步再看AD=BD，可判断点D也在线段AB的垂直平分线上；最后根据“两点确定一条直线”，即可得出过C、D两点的直线是线段AB的垂直平分线。
【解析】
解：
∵ AC=BC，
∴ 点C在线段AB的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∵ AD=BD，
∴ 点D在线段AB的垂直平分线上，
又
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线CD是线段AB的垂直平分线。
【答案】
直线CD，线段AB
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段垂直平分线判定定理的应用，解题的关键是先确认两个点都在目标线段的垂直平分线上，再结合直线的基本性质即可得解，需熟练掌握线段垂直平分线的判定和性质的区别。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。第一步先看已知条件AC=BC，可判断点C在线段AB的垂直平分线上；第二步再看AD=BD，可判断点D也在线段AB的垂直平分线上；最后根据“两点确定一条直线”，即可得出过C、D两点的直线是线段AB的垂直平分线。
【解析】
解：
∵ AC=BC，
∴ 点C在线段AB的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∵ AD=BD，
∴ 点D在线段AB的垂直平分线上，
又
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线CD是线段AB的垂直平分线。
【答案】
直线CD，线段AB
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段垂直平分线判定定理的应用，解题的关键是先确认两个点都在目标线段的垂直平分线上，再结合直线的基本性质即可得解，需熟练掌握线段垂直平分线的判定和性质的区别。
【难度系数】
0.9
(2)如图，撑伞时，可以将两侧的伞骨和支架分别看作AB，AC和DB，DC，且AB=AC，DB=DC.那么伞杆AD所在的直线是B，C两点连线BC的
第2(2)题
垂直平分
线.第2(2)题
答案
2. (2) 垂直平分
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。首先看已知条件AB=AC，说明点A满足到B、C两点距离相等，因此点A在BC的垂直平分线上；再看DB=DC，说明点D也满足到B、C两点距离相等，因此点D也在BC的垂直平分线上。最后根据“两点确定一条直线”，即可得出AD所在直线的性质。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∵DB=DC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
又
∵两点确定一条直线，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线，即伞杆AD所在的直线是BC的垂直平分线。
【答案】
垂直平分
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题是线段垂直平分线判定的实际应用类题目，结合生活场景考查几何性质的运用，只要熟练掌握相关定理，结合直线的基本事实即可快速得出结论，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。首先看已知条件AB=AC，说明点A满足到B、C两点距离相等，因此点A在BC的垂直平分线上；再看DB=DC，说明点D也满足到B、C两点距离相等，因此点D也在BC的垂直平分线上。最后根据“两点确定一条直线”，即可得出AD所在直线的性质。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∵DB=DC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
又
∵两点确定一条直线，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线，即伞杆AD所在的直线是BC的垂直平分线。
【答案】
垂直平分
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题是线段垂直平分线判定的实际应用类题目，结合生活场景考查几何性质的运用，只要熟练掌握相关定理，结合直线的基本事实即可快速得出结论，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.9
(3)如图，直线$ l $与线段$ AB $相交于点$ O $，点$ P $在直线$ l $上，且$ PA = PB $.下列结论中，正确的有
①$ AO = BO $；
②$ PO ⊥ AB $；
③$ ∠ APO = ∠ BPO $；
④点$ P $在线段$ AB $的垂直平分线上.
第2(3)题
(4)如图，在四边形$ ABCD $中，$ AD = CD $，$ AB = CB $.下列结论中，正确的有
①$ BD $垂直平分$ AC $；
②$ BD $平分$ ∠ ADC $；
③$ AB // CD $；
④$ △ ABD ≌ △ CBD $.
第2(4)题
④
.(填序号)①$ AO = BO $；
②$ PO ⊥ AB $；
③$ ∠ APO = ∠ BPO $；
④点$ P $在线段$ AB $的垂直平分线上.
第2(3)题
(4)如图，在四边形$ ABCD $中，$ AD = CD $，$ AB = CB $.下列结论中，正确的有
①②④
.(填序号)①$ BD $垂直平分$ AC $；
②$ BD $平分$ ∠ ADC $；
③$ AB // CD $；
④$ △ ABD ≌ △ CBD $.
第2(4)题
答案
2. (3) ④
2. (4) ①②④
2. (4) ①②④
解析
【分析】
第(3)题解题思路
首先回忆两个核心知识点：一是线段垂直平分线的判定定理，即到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；二是等腰三角形三线合一的性质有适用前提，必须是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高才会重合。本题仅已知PA=PB，只能确定点P的位置，无法确定直线l与AB的位置关系，因此逐个判断：①AO=BO需要直线l平分AB，②PO⊥AB需要直线l垂直AB，③∠APO=∠BPO需要PO平分∠APB，这三个结论都需要额外条件支撑，只有④符合判定定理，必然成立。
第(4)题解题思路
首先根据已知的两组边相等，加上公共边BD，可先利用SSS证明△ABD≌△CBD，得到对应角相等的结论；再结合线段垂直平分线的判定：两个到线段两端点距离相等的点确定的直线就是线段的垂直平分线，依次判断①②④的正确性；③没有平行的相关条件，无法推出。
【解析】
(3)题解析
逐个分析结论：
①仅已知PA=PB，无法确定直线l平分线段AB，故AO不一定等于BO，①错误；
②没有条件证明PO垂直于AB，只有当PO是等腰△PAB底边AB上的高时该结论才成立，题干无相关条件，②错误；
③没有条件证明PO平分∠APB，只有当PO是等腰△PAB顶角平分线时该结论才成立，题干无相关条件，③错误；
④根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，已知PA=PB，因此点P在线段AB的垂直平分线上，④正确。
(4)题解析
逐个分析结论：
在△ABD和△CBD中，AD=CD，AB=CB，BD=BD，符合SSS全等判定，因此△ABD≌△CBD，故④正确；
由△ABD≌△CBD可得∠ADB=∠CDB，因此BD平分∠ADC，故②正确；
因为AD=CD，所以点D在线段AC的垂直平分线上；又AB=CB，所以点B在线段AC的垂直平分线上，两点确定一条直线，因此BD垂直平分AC，故①正确；
题干没有给出角相等的相关条件，无法推出AB与CD的内错角或同位角相等，因此AB不一定平行于CD，故③错误。
【答案】
(3) ④；(4) ①②④
【知识点】
线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
这两道题重点考查基础定理的应用，解题时要注意区分“点在线段垂直平分线上”和“过该点的直线是线段垂直平分线”的差异，不要自行添加题干未给出的位置关系，严格依据已知条件推导结论。
【难度系数】
0.7
第(3)题解题思路
首先回忆两个核心知识点：一是线段垂直平分线的判定定理，即到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；二是等腰三角形三线合一的性质有适用前提，必须是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高才会重合。本题仅已知PA=PB，只能确定点P的位置，无法确定直线l与AB的位置关系，因此逐个判断：①AO=BO需要直线l平分AB，②PO⊥AB需要直线l垂直AB，③∠APO=∠BPO需要PO平分∠APB，这三个结论都需要额外条件支撑，只有④符合判定定理，必然成立。
第(4)题解题思路
首先根据已知的两组边相等，加上公共边BD，可先利用SSS证明△ABD≌△CBD，得到对应角相等的结论；再结合线段垂直平分线的判定：两个到线段两端点距离相等的点确定的直线就是线段的垂直平分线，依次判断①②④的正确性；③没有平行的相关条件，无法推出。
【解析】
(3)题解析
逐个分析结论：
①仅已知PA=PB，无法确定直线l平分线段AB，故AO不一定等于BO，①错误；
②没有条件证明PO垂直于AB，只有当PO是等腰△PAB底边AB上的高时该结论才成立，题干无相关条件，②错误；
③没有条件证明PO平分∠APB，只有当PO是等腰△PAB顶角平分线时该结论才成立，题干无相关条件，③错误；
④根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，已知PA=PB，因此点P在线段AB的垂直平分线上，④正确。
(4)题解析
逐个分析结论：
在△ABD和△CBD中，AD=CD，AB=CB，BD=BD，符合SSS全等判定，因此△ABD≌△CBD，故④正确；
由△ABD≌△CBD可得∠ADB=∠CDB，因此BD平分∠ADC，故②正确；
因为AD=CD，所以点D在线段AC的垂直平分线上；又AB=CB，所以点B在线段AC的垂直平分线上，两点确定一条直线，因此BD垂直平分AC，故①正确；
题干没有给出角相等的相关条件，无法推出AB与CD的内错角或同位角相等，因此AB不一定平行于CD，故③错误。
【答案】
(3) ④；(4) ①②④
【知识点】
线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
这两道题重点考查基础定理的应用，解题时要注意区分“点在线段垂直平分线上”和“过该点的直线是线段垂直平分线”的差异，不要自行添加题干未给出的位置关系，严格依据已知条件推导结论。
【难度系数】
0.7
