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引入 分数的基本性质:一般地,对于任意一个分数$\frac{a}{b}$,有$\frac{a}{b}=\frac{a· c}{b· c}$,$\frac{a}{b}=\frac{a÷ c}{b÷ c}(c≠0)$,其中$a,b,c$是数.如果数$c≠0$,那么$\frac{2}{3}=\frac{( )}{3c}$,$\frac{4c}{5c}=\frac{4}{( )}$.
答案
第一个空 2c，第二个空 5
解析
【分析】
这道题考查分式基本性质的直接应用，解题时先观察等式两边已知的分子或分母的变化规律，再根据“分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”的性质，对对应的未知部分做相同运算即可。首先看第一个空：左边$\frac{2}{3}$的分母是3，右边分母是$3c$，相当于分母乘了$c$（题目明确$c≠0$，符合性质要求），因此分子也要乘$c$得到对应结果；再看第二个空：左边$\frac{4c}{5c}$的分子是$4c$，右边分子是4，相当于分子除以了$c$，因此分母也要除以$c$得到对应结果。
【解析】
1. 求解第一个空：
根据分式的基本性质：$\frac{a}{b}=\frac{a·c}{b·c}\ (c≠0)$，
$\frac{2}{3}$的分母乘$c$变为$3c$，要保持分式值不变，分子2也要乘$c$，即$2× c=2c$，因此第一个空填$2c$。
2. 求解第二个空：
根据分式的基本性质：$\frac{a}{b}=\frac{a÷ c}{b÷ c}\ (c≠0)$，
$\frac{4c}{5c}$的分子除以$c$变为4，要保持分式值不变，分母$5c$也要除以$c$，即$5c÷ c=5$，因此第二个空填$5$。
【答案】
2c；5
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对分式基本性质的理解，只要找准分子或分母的变化规律，牢记“同乘除的整式不能为0”的前提，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
这道题考查分式基本性质的直接应用，解题时先观察等式两边已知的分子或分母的变化规律，再根据“分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”的性质，对对应的未知部分做相同运算即可。首先看第一个空：左边$\frac{2}{3}$的分母是3，右边分母是$3c$，相当于分母乘了$c$（题目明确$c≠0$，符合性质要求），因此分子也要乘$c$得到对应结果；再看第二个空：左边$\frac{4c}{5c}$的分子是$4c$，右边分子是4，相当于分子除以了$c$，因此分母也要除以$c$得到对应结果。
【解析】
1. 求解第一个空：
根据分式的基本性质：$\frac{a}{b}=\frac{a·c}{b·c}\ (c≠0)$，
$\frac{2}{3}$的分母乘$c$变为$3c$，要保持分式值不变，分子2也要乘$c$，即$2× c=2c$，因此第一个空填$2c$。
2. 求解第二个空：
根据分式的基本性质：$\frac{a}{b}=\frac{a÷ c}{b÷ c}\ (c≠0)$，
$\frac{4c}{5c}$的分子除以$c$变为4，要保持分式值不变，分母$5c$也要除以$c$，即$5c÷ c=5$，因此第二个空填$5$。
【答案】
2c；5
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对分式基本性质的理解，只要找准分子或分母的变化规律，牢记“同乘除的整式不能为0”的前提，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
探究 $\frac{2}{a} = \frac{4}{(\quad)} = \frac{(\quad)}{5a} = \frac{4a}{(\quad)} = \frac{(\quad)}{a^2} (a ≠ 0);$
$\frac{y}{x} = \frac{4y}{(\quad)} = \frac{(\quad)}{xy} = \frac{(\quad)}{3x^2} = \frac{(\quad)}{-5x} (x ≠ 0, y ≠ 0).$
$\frac{y}{x} = \frac{4y}{(\quad)} = \frac{(\quad)}{xy} = \frac{(\quad)}{3x^2} = \frac{(\quad)}{-5x} (x ≠ 0, y ≠ 0).$
答案
依次填入的答案为 10、$2a^2$、$2a$、$4x$、$y^2$、$3xy$、$-5y$
解析
【分析】
本题可根据分式的基本性质求解，分式的基本性质为：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。解题时先观察每个等式中已知的分子或分母对比原式发生了什么乘除变化，再将对应的分母或分子做相同的乘除运算，即可求出未知的分子或分母。
【解析】
第一组等式（基准式为$\frac{2}{a}$，$a≠0$）
1. 求$\frac{4}{(\quad)}$的分母：分子从2变为4，是乘了2，所以分母$a$也要乘2，得$a×2=2a$，该空填$2a$；
2. 求$\frac{(\quad)}{5a}$的分子：分母从$a$变为$5a$，是乘了5，所以分子2也要乘5，得$2×5=10$，该空填$10$；
3. 求$\frac{4a}{(\quad)}$的分母：分子从2变为$4a$，是乘了$2a$，所以分母$a$也要乘$2a$，得$a×2a=2a^2$，该空填$2a^2$；
4. 求$\frac{(\quad)}{a^2}$的分子：分母从$a$变为$a^2$，是乘了$a$，所以分子2也要乘$a$，得$2× a=2a$，该空填$2a$。
第二组等式（基准式为$\frac{y}{x}$，$x≠0,y≠0$）
1. 求$\frac{4y}{(\quad)}$的分母：分子从$y$变为$4y$，是乘了4，所以分母$x$也要乘4，得$x×4=4x$，该空填$4x$；
2. 求$\frac{(\quad)}{xy}$的分子：分母从$x$变为$xy$，是乘了$y$，所以分子$y$也要乘$y$，得$y× y=y^2$，该空填$y^2$；
3. 求$\frac{(\quad)}{3x^2}$的分子：分母从$x$变为$3x^2$，是乘了$3x$，所以分子$y$也要乘$3x$，得$y×3x=3xy$，该空填$3xy$；
4. 求$\frac{(\quad)}{-5x}$的分子：分母从$x$变为$-5x$，是乘了$-5$，所以分子$y$也要乘$-5$，得$y×(-5)=-5y$，该空填$-5y$。
【答案】
依次填入：$2a$、$10$、$2a^2$、$2a$、$4x$、$y^2$、$3xy$、$-5y$
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用，解题核心是找准分子或分母的统一变化规律，计算时要注意乘除的整式不能为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.8
本题可根据分式的基本性质求解，分式的基本性质为：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。解题时先观察每个等式中已知的分子或分母对比原式发生了什么乘除变化，再将对应的分母或分子做相同的乘除运算，即可求出未知的分子或分母。
【解析】
第一组等式（基准式为$\frac{2}{a}$，$a≠0$）
1. 求$\frac{4}{(\quad)}$的分母：分子从2变为4，是乘了2，所以分母$a$也要乘2，得$a×2=2a$，该空填$2a$；
2. 求$\frac{(\quad)}{5a}$的分子：分母从$a$变为$5a$，是乘了5，所以分子2也要乘5，得$2×5=10$，该空填$10$；
3. 求$\frac{4a}{(\quad)}$的分母：分子从2变为$4a$，是乘了$2a$，所以分母$a$也要乘$2a$，得$a×2a=2a^2$，该空填$2a^2$；
4. 求$\frac{(\quad)}{a^2}$的分子：分母从$a$变为$a^2$，是乘了$a$，所以分子2也要乘$a$，得$2× a=2a$，该空填$2a$。
第二组等式（基准式为$\frac{y}{x}$，$x≠0,y≠0$）
1. 求$\frac{4y}{(\quad)}$的分母：分子从$y$变为$4y$，是乘了4，所以分母$x$也要乘4，得$x×4=4x$，该空填$4x$；
2. 求$\frac{(\quad)}{xy}$的分子：分母从$x$变为$xy$，是乘了$y$，所以分子$y$也要乘$y$，得$y× y=y^2$，该空填$y^2$；
3. 求$\frac{(\quad)}{3x^2}$的分子：分母从$x$变为$3x^2$，是乘了$3x$，所以分子$y$也要乘$3x$，得$y×3x=3xy$，该空填$3xy$；
4. 求$\frac{(\quad)}{-5x}$的分子：分母从$x$变为$-5x$，是乘了$-5$，所以分子$y$也要乘$-5$，得$y×(-5)=-5y$，该空填$-5y$。
【答案】
依次填入：$2a$、$10$、$2a^2$、$2a$、$4x$、$y^2$、$3xy$、$-5y$
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用，解题核心是找准分子或分母的统一变化规律，计算时要注意乘除的整式不能为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.8
归纳 分式的基本性质:分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值
不变
,即$\frac{A}{B}=\frac{A · C}{B · C},\frac{A}{B}=\frac{A ÷ C}{B ÷ C}(C ≠ 0)$,其中A,B,C是整式.答案
不变
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的核心内容，解题思路是回忆分式基本性质的定义：我们学习分式性质时，明确规定了分子和分母同时进行乘或除以同一个不为0的整式的操作时，分式本身的大小是不发生改变的，同时要注意性质里“同一个”“不等于0”“整式”这几个关键限制条件，直接对应填空即可。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，题干中的表达式也符合该性质的表述形式，因此空缺处应填“不变”。
【答案】
不变
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对核心概念的记忆掌握情况，学习时要牢记分式基本性质的前提限制条件，避免在后续分式化简、通分约分等运算中因忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.9
本题考查分式基本性质的核心内容，解题思路是回忆分式基本性质的定义：我们学习分式性质时，明确规定了分子和分母同时进行乘或除以同一个不为0的整式的操作时，分式本身的大小是不发生改变的，同时要注意性质里“同一个”“不等于0”“整式”这几个关键限制条件，直接对应填空即可。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，题干中的表达式也符合该性质的表述形式，因此空缺处应填“不变”。
【答案】
不变
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对核心概念的记忆掌握情况，学习时要牢记分式基本性质的前提限制条件，避免在后续分式化简、通分约分等运算中因忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.9
1.【例1】(人教八上$\mathrm{P}_{140}$例2变式)下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？
(1)$\frac{x}{y}=\frac{x^2}{xy}(x≠0)$；
(2)$\frac{6xy}{4x^3}=\frac{3y}{2x^2}$。
(1)$\frac{x}{y}=\frac{x^2}{xy}(x≠0)$；
(2)$\frac{6xy}{4x^3}=\frac{3y}{2x^2}$。
答案
1. (1) 解:分式$\frac{x}{y}$的分子与分母乘同一个不等于0的整式$x$,分式的值不变,即$\frac{x}{y} = \frac{x · x}{y · x} = \frac{x^2}{xy}$.
(2) 解:分式$\frac{6xy}{4x^3}$的分子与分母除以同一个不等于0的整式$2x$,分式的值不变,即$\frac{6xy}{4x^3} = \frac{6xy ÷ 2x}{4x^3 ÷ 2x} = \frac{3y}{2x^2}$.
(2) 解:分式$\frac{6xy}{4x^3}$的分子与分母除以同一个不等于0的整式$2x$,分式的值不变,即$\frac{6xy}{4x^3} = \frac{6xy ÷ 2x}{4x^3 ÷ 2x} = \frac{3y}{2x^2}$.
解析
【分析】
解决这类问题首先要明确分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先分别对比等式左右两边分式的分子、分母的变化，确定是同乘还是同除以了哪个整式，再验证该整式是否不为0，即可明确变形的依据。
【解析】
(1) 对比$\frac{x}{y}$和$\frac{x^2}{xy}$的分子、分母：分子从$x$变为$x^2$，是乘了整式$x$；分母从$y$变为$xy$，也是乘了整式$x$。题目已给出$x≠0$，满足分式基本性质的前提条件，因此该变形是分子分母同乘不为0的$x$，分式值不变。
(2) 对比$\frac{6xy}{4x^3}$和$\frac{3y}{2x^2}$的分子、分母：分子从$6xy$变为$3y$，是除以了整式$2x$；分母从$4x^3$变为$2x^2$，也是除以了整式$2x$。原分式有意义则$4x^3≠0$，即$x≠0$，因此$2x≠0$，满足分式基本性质的前提条件，因此该变形是分子分母同除以不为0的$2x$，分式值不变。
【答案】
(1) 分式$\frac{x}{y}$的分子与分母乘同一个不等于0的整式$x$,分式的值不变,即$\frac{x}{y} = \frac{x · x}{y · x} = \frac{x^2}{xy}$。
(2) 分式$\frac{6xy}{4x^3}$的分子与分母除以同一个不等于0的整式$2x$,分式的值不变,即$\frac{6xy}{4x^3} = \frac{6xy ÷ 2x}{4x^3 ÷ 2x} = \frac{3y}{2x^2}$。
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分
【点评】
本题属于分式基本性质的基础应用题型，解题的核心要点是牢记分子分母同乘或同除的整式必须不为0，能有效巩固对分式基本性质的理解，掌握分式变形的规则。
【难度系数】
0.85
解决这类问题首先要明确分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先分别对比等式左右两边分式的分子、分母的变化，确定是同乘还是同除以了哪个整式，再验证该整式是否不为0，即可明确变形的依据。
【解析】
(1) 对比$\frac{x}{y}$和$\frac{x^2}{xy}$的分子、分母：分子从$x$变为$x^2$，是乘了整式$x$；分母从$y$变为$xy$，也是乘了整式$x$。题目已给出$x≠0$，满足分式基本性质的前提条件，因此该变形是分子分母同乘不为0的$x$，分式值不变。
(2) 对比$\frac{6xy}{4x^3}$和$\frac{3y}{2x^2}$的分子、分母：分子从$6xy$变为$3y$，是除以了整式$2x$；分母从$4x^3$变为$2x^2$，也是除以了整式$2x$。原分式有意义则$4x^3≠0$，即$x≠0$，因此$2x≠0$，满足分式基本性质的前提条件，因此该变形是分子分母同除以不为0的$2x$，分式值不变。
【答案】
(1) 分式$\frac{x}{y}$的分子与分母乘同一个不等于0的整式$x$,分式的值不变,即$\frac{x}{y} = \frac{x · x}{y · x} = \frac{x^2}{xy}$。
(2) 分式$\frac{6xy}{4x^3}$的分子与分母除以同一个不等于0的整式$2x$,分式的值不变,即$\frac{6xy}{4x^3} = \frac{6xy ÷ 2x}{4x^3 ÷ 2x} = \frac{3y}{2x^2}$。
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分
【点评】
本题属于分式基本性质的基础应用题型，解题的核心要点是牢记分子分母同乘或同除的整式必须不为0，能有效巩固对分式基本性质的理解，掌握分式变形的规则。
【难度系数】
0.85
3.【例2】填空：
(1) $\frac{1}{ab} = \frac{(\quad)}{ab^2c} (c≠0)$；(2) $\frac{2a}{6ac} = \frac{1}{(\quad)}$；
(3) $\frac{3(a+2)}{a(a+2)} = \frac{3}{(\quad)}$；
(1) $\frac{1}{ab} = \frac{(\quad)}{ab^2c} (c≠0)$；(2) $\frac{2a}{6ac} = \frac{1}{(\quad)}$；
(3) $\frac{3(a+2)}{a(a+2)} = \frac{3}{(\quad)}$；
答案
(1) bc (2) 3c (3) a
解析
【分析】
这组题目考查分式基本性质的应用，分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先观察已知的分子或分母的变化规律，再根据性质对另一侧的分母或分子做相同运算即可，同时要注意题目给出或隐含的“乘除的整式不为0”的前提，保证运算合法。
(1) 观察分母：原式分母为$ab$，变形式分母为$ab^2c$，$ab$乘$bc$得到$ab^2c$，且已知$c≠0$满足运算条件，因此分子$1$也要同步乘$bc$得到结果；
(2) 观察分子：原式分子为$2a$，变形式分子为$1$，$2a$除以$2a$得到$1$（隐含$2a≠0$，否则原分式无意义），因此分母$6ac$也要同步除以$2a$得到结果；
(3) 观察分子：原式分子为$3(a+2)$，变形式分子为$3$，$3(a+2)$除以$(a+2)$得到$3$（隐含$a+2≠0$，否则原分式无意义），因此分母$a(a+2)$也要同步除以$(a+2)$得到结果。
【解析】
根据分式的基本性质计算：
(1) 分母由$ab$变为$ab^2c$，是乘了$bc$，且$c≠0$，因此分子$1× bc=bc$，括号内填$bc$；
(2) 分子由$2a$变为$1$，是除以了$2a$（$2a≠0$），因此分母$6ac÷2a=3c$，括号内填$3c$；
(3) 分子由$3(a+2)$变为$3$，是除以了$(a+2)$（$a+2≠0$），因此分母$a(a+2)÷(a+2)=a$，括号内填$a$。
【答案】
(1) $bc$；(2) $3c$；(3) $a$
【知识点】
分式的基本性质、分式约分
【点评】
本题是分式性质应用的基础题型，解题核心是准确判断分子、分母的变化规律，同时要注意分式运算的前提是分母不为0，是后续分式化简、运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
这组题目考查分式基本性质的应用，分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先观察已知的分子或分母的变化规律，再根据性质对另一侧的分母或分子做相同运算即可，同时要注意题目给出或隐含的“乘除的整式不为0”的前提，保证运算合法。
(1) 观察分母：原式分母为$ab$，变形式分母为$ab^2c$，$ab$乘$bc$得到$ab^2c$，且已知$c≠0$满足运算条件，因此分子$1$也要同步乘$bc$得到结果；
(2) 观察分子：原式分子为$2a$，变形式分子为$1$，$2a$除以$2a$得到$1$（隐含$2a≠0$，否则原分式无意义），因此分母$6ac$也要同步除以$2a$得到结果；
(3) 观察分子：原式分子为$3(a+2)$，变形式分子为$3$，$3(a+2)$除以$(a+2)$得到$3$（隐含$a+2≠0$，否则原分式无意义），因此分母$a(a+2)$也要同步除以$(a+2)$得到结果。
【解析】
根据分式的基本性质计算：
(1) 分母由$ab$变为$ab^2c$，是乘了$bc$，且$c≠0$，因此分子$1× bc=bc$，括号内填$bc$；
(2) 分子由$2a$变为$1$，是除以了$2a$（$2a≠0$），因此分母$6ac÷2a=3c$，括号内填$3c$；
(3) 分子由$3(a+2)$变为$3$，是除以了$(a+2)$（$a+2≠0$），因此分母$a(a+2)÷(a+2)=a$，括号内填$a$。
【答案】
(1) $bc$；(2) $3c$；(3) $a$
【知识点】
分式的基本性质、分式约分
【点评】
本题是分式性质应用的基础题型，解题核心是准确判断分子、分母的变化规律，同时要注意分式运算的前提是分母不为0，是后续分式化简、运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
2. 下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？
(1) $\frac{3a}{5xy} = \frac{6a^2}{10axy} (a≠0)$；
(2) $\frac{a+2}{a^2 -4} = \frac{1}{a -2}$。
(1) $\frac{3a}{5xy} = \frac{6a^2}{10axy} (a≠0)$；
(2) $\frac{a+2}{a^2 -4} = \frac{1}{a -2}$。
答案
2. (1) 解:分式$\frac{3a}{5xy}$的分子和分母乘同一个不等于0的整式$2a$,分式的值不变,即$\frac{3a}{5xy} = \frac{3a · 2a}{5xy · 2a} = \frac{6a^2}{10axy}$.
(2) 解:分式$\frac{a+2}{a^2-4}$的分子和分母除以同一个不等于0的整式$(a+2)$,分式的值不变,即$\frac{a+2}{a^2-4} = \frac{(a+2) ÷ (a+2)}{(a+2)(a-2) ÷ (a+2)} = \frac{1}{a-2}$.
(2) 解:分式$\frac{a+2}{a^2-4}$的分子和分母除以同一个不等于0的整式$(a+2)$,分式的值不变,即$\frac{a+2}{a^2-4} = \frac{(a+2) ÷ (a+2)}{(a+2)(a-2) ÷ (a+2)} = \frac{1}{a-2}$.
解析
【分析】
解题需依据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。思考步骤如下：①对比每个等式左右两边分子、分母的变化，判断是同乘还是同除某个整式；②验证该整式是否不为0，确保变形符合性质要求：第(1)问已知a≠0，可直接验证乘的整式2a不为0；第(2)问原分式有意义则分母a²-4≠0，可得除式a+2不为0，满足变形条件。
【解析】
(1) 观察等式两边的分子和分母：左边分子3a变为右边6a²，是乘了2a；左边分母5xy变为右边10axy，也是乘了2a，且已知a≠0，因此根据分式基本性质变形：
$\frac{3a}{5xy} = \frac{3a · 2a}{5xy · 2a} = \frac{6a^2}{10axy}$
(2) 先将左边分母用平方差公式因式分解得$a^2-4=(a+2)(a-2)$，观察得左边分子a+2变为右边1，是除以了(a+2)；左边分母$(a+2)(a-2)$变为右边a-2，也是除以了(a+2)，原分式有意义则$a+2≠0$，因此根据分式基本性质变形：
$\frac{a+2}{a^2-4} = \frac{(a+2) ÷ (a+2)}{(a+2)(a-2) ÷ (a+2)} = \frac{1}{a-2}$
【答案】
(1) 分式$\frac{3a}{5xy}$的分子和分母乘同一个不等于0的整式$2a$,分式的值不变,即$\frac{3a}{5xy} = \frac{3a · 2a}{5xy · 2a} = \frac{6a^2}{10axy}$；
(2) 分式$\frac{a+2}{a^2-4}$的分子和分母除以同一个不等于0的整式$(a+2)$,分式的值不变,即$\frac{a+2}{a^2-4} = \frac{(a+2) ÷ (a+2)}{(a+2)(a-2) ÷ (a+2)} = \frac{1}{a-2}$。
【知识点】
分式的基本性质；因式分解；整式乘除运算
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，核心是掌握分式变形时乘除的整式必须不为0的要求，第(2)问需要结合分式有意义的隐含条件判断除式的合法性，能帮助学生加深对分式基本性质的理解。
【难度系数】
0.8
解题需依据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。思考步骤如下：①对比每个等式左右两边分子、分母的变化，判断是同乘还是同除某个整式；②验证该整式是否不为0，确保变形符合性质要求：第(1)问已知a≠0，可直接验证乘的整式2a不为0；第(2)问原分式有意义则分母a²-4≠0，可得除式a+2不为0，满足变形条件。
【解析】
(1) 观察等式两边的分子和分母：左边分子3a变为右边6a²，是乘了2a；左边分母5xy变为右边10axy，也是乘了2a，且已知a≠0，因此根据分式基本性质变形：
$\frac{3a}{5xy} = \frac{3a · 2a}{5xy · 2a} = \frac{6a^2}{10axy}$
(2) 先将左边分母用平方差公式因式分解得$a^2-4=(a+2)(a-2)$，观察得左边分子a+2变为右边1，是除以了(a+2)；左边分母$(a+2)(a-2)$变为右边a-2，也是除以了(a+2)，原分式有意义则$a+2≠0$，因此根据分式基本性质变形：
$\frac{a+2}{a^2-4} = \frac{(a+2) ÷ (a+2)}{(a+2)(a-2) ÷ (a+2)} = \frac{1}{a-2}$
【答案】
(1) 分式$\frac{3a}{5xy}$的分子和分母乘同一个不等于0的整式$2a$,分式的值不变,即$\frac{3a}{5xy} = \frac{3a · 2a}{5xy · 2a} = \frac{6a^2}{10axy}$；
(2) 分式$\frac{a+2}{a^2-4}$的分子和分母除以同一个不等于0的整式$(a+2)$,分式的值不变,即$\frac{a+2}{a^2-4} = \frac{(a+2) ÷ (a+2)}{(a+2)(a-2) ÷ (a+2)} = \frac{1}{a-2}$。
【知识点】
分式的基本性质；因式分解；整式乘除运算
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，核心是掌握分式变形时乘除的整式必须不为0的要求，第(2)问需要结合分式有意义的隐含条件判断除式的合法性，能帮助学生加深对分式基本性质的理解。
【难度系数】
0.8
4. 填空：
(1) $\frac{15x^2y}{25xy^2} = \frac{3x}{(\quad)}$；
(2) $\frac{a+2b}{ab^2} = \frac{(\quad)}{a^2b^2}$；
(3) $\frac{x+3}{x} = \frac{x^2 -9}{(\quad)}(x≠3)$。
(1) $\frac{15x^2y}{25xy^2} = \frac{3x}{(\quad)}$；
(2) $\frac{a+2b}{ab^2} = \frac{(\quad)}{a^2b^2}$；
(3) $\frac{x+3}{x} = \frac{x^2 -9}{(\quad)}(x≠3)$。
答案
(1) 5y (2) $a^2+2ab$ (3) $x^2-3x$
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先观察已知的分子或分母的变化规律，再根据性质对另一部分做相同的乘除运算即可：
(1) 观察分子：左边分子$15x^2y$变为右边分子$3x$，是除以了$5xy$（题目隐含分母有意义，故$5xy≠0$），因此分母也要除以$5xy$得到结果；
(2) 观察分母：左边分母$ab^2$变为右边分母$a^2b^2$，是乘以了$a$（$a≠0$），因此分子也要乘以$a$得到结果；
(3) 先对右边分子$x^2-9$因式分解得$(x+3)(x-3)$，可知左边分子$x+3$变为右边分子是乘以了$x-3$（题目给出$x≠3$，故$x-3≠0$），因此分母也要乘以$x-3$得到结果。
【解析】
根据分式的基本性质分步求解：
(1) 左边分子$15x^2y ÷ 5xy = 3x$，因此左边分母同步运算：$25xy^2 ÷ 5xy = 5y$，括号内填$5y$；
(2) 左边分母$ab^2 × a = a^2b^2$，因此左边分子同步运算：$(a+2b) × a = a^2 + 2ab$，括号内填$a^2 + 2ab$；
(3) 右边分子因式分解：$x^2 -9 = (x+3)(x-3)$，即左边分子$(x+3) × (x-3) = x^2 -9$，因此左边分母同步运算：$x × (x-3) = x^2 - 3x$，括号内填$x^2 -3x$。
【答案】
(1) $5y$ (2) $a^2+2ab$ (3) $x^2-3x$
【知识点】
分式的基本性质、因式分解、整式乘除
【点评】
本题是分式变形的基础题型，解题核心是准确判断分子或分母的变换方式，再对应对另一部分做相同的乘除运算，要注意所乘或除的整式不能为0，避免分式无意义。
【难度系数】
0.85
本题考查分式基本性质的应用，分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时先观察已知的分子或分母的变化规律，再根据性质对另一部分做相同的乘除运算即可：
(1) 观察分子：左边分子$15x^2y$变为右边分子$3x$，是除以了$5xy$（题目隐含分母有意义，故$5xy≠0$），因此分母也要除以$5xy$得到结果；
(2) 观察分母：左边分母$ab^2$变为右边分母$a^2b^2$，是乘以了$a$（$a≠0$），因此分子也要乘以$a$得到结果；
(3) 先对右边分子$x^2-9$因式分解得$(x+3)(x-3)$，可知左边分子$x+3$变为右边分子是乘以了$x-3$（题目给出$x≠3$，故$x-3≠0$），因此分母也要乘以$x-3$得到结果。
【解析】
根据分式的基本性质分步求解：
(1) 左边分子$15x^2y ÷ 5xy = 3x$，因此左边分母同步运算：$25xy^2 ÷ 5xy = 5y$，括号内填$5y$；
(2) 左边分母$ab^2 × a = a^2b^2$，因此左边分子同步运算：$(a+2b) × a = a^2 + 2ab$，括号内填$a^2 + 2ab$；
(3) 右边分子因式分解：$x^2 -9 = (x+3)(x-3)$，即左边分子$(x+3) × (x-3) = x^2 -9$，因此左边分母同步运算：$x × (x-3) = x^2 - 3x$，括号内填$x^2 -3x$。
【答案】
(1) $5y$ (2) $a^2+2ab$ (3) $x^2-3x$
【知识点】
分式的基本性质、因式分解、整式乘除
【点评】
本题是分式变形的基础题型，解题核心是准确判断分子或分母的变换方式，再对应对另一部分做相同的乘除运算，要注意所乘或除的整式不能为0，避免分式无意义。
【难度系数】
0.85
5.【例3】不改变分式的值,使下列各式的分子和分母中都不含“－”号.
(1) $-\dfrac{3b}{-5a} =$
(3) $\dfrac{-a}{2b} =$
(1) $-\dfrac{3b}{-5a} =$
$\frac{3b}{5a}$
;(2) $-\dfrac{-3b}{5a} =$ $\frac{3b}{5a}$
;(3) $\dfrac{-a}{2b} =$
$-\frac{a}{2b}$
;(4) $\dfrac{3a}{-b} =$ $-\frac{3a}{b}$
.答案
5. (1) $\frac{3b}{5a}$ (2) $\frac{3b}{5a}$ (3) $-\frac{a}{2b}$ (4) $-\frac{3a}{b}$
解析
【分析】
本题考查分式符号的变形，解题依据是分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。解题时先梳理清楚分子、分母、分式本身三个位置的负号数量，通过调整符号，保证分子和分母都不含负号，剩余的负号放在分式最前方即可。
【解析】
根据分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，逐一计算：
(1) $-\dfrac{3b}{-5a}$中，分式本身和分母各有1个负号，共2个负号，同时去掉这两个负号，得$\dfrac{3b}{5a}$；
(2) $-\dfrac{-3b}{5a}$中，分式本身和分子各有1个负号，共2个负号，同时去掉这两个负号，得$\dfrac{3b}{5a}$；
(3) $\dfrac{-a}{2b}$中，仅分子含有1个负号，将负号移到分式本身的位置，得$-\dfrac{a}{2b}$；
(4) $\dfrac{3a}{-b}$中，仅分母含有1个负号，将负号移到分式本身的位置，得$-\dfrac{3a}{b}$。
【答案】
(1) $\frac{3b}{5a}$ (2) $\frac{3b}{5a}$ (3) $-\frac{a}{2b}$ (4) $-\frac{3a}{b}$
【知识点】
分式的符号法则、分式的基本性质
【点评】
本题是分式变形的基础题型，重点考查对分式符号变化规律的掌握，解题时要准确数清三个位置的负号个数，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
本题考查分式符号的变形，解题依据是分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。解题时先梳理清楚分子、分母、分式本身三个位置的负号数量，通过调整符号，保证分子和分母都不含负号，剩余的负号放在分式最前方即可。
【解析】
根据分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，逐一计算：
(1) $-\dfrac{3b}{-5a}$中，分式本身和分母各有1个负号，共2个负号，同时去掉这两个负号，得$\dfrac{3b}{5a}$；
(2) $-\dfrac{-3b}{5a}$中，分式本身和分子各有1个负号，共2个负号，同时去掉这两个负号，得$\dfrac{3b}{5a}$；
(3) $\dfrac{-a}{2b}$中，仅分子含有1个负号，将负号移到分式本身的位置，得$-\dfrac{a}{2b}$；
(4) $\dfrac{3a}{-b}$中，仅分母含有1个负号，将负号移到分式本身的位置，得$-\dfrac{3a}{b}$。
【答案】
(1) $\frac{3b}{5a}$ (2) $\frac{3b}{5a}$ (3) $-\frac{a}{2b}$ (4) $-\frac{3a}{b}$
【知识点】
分式的符号法则、分式的基本性质
【点评】
本题是分式变形的基础题型，重点考查对分式符号变化规律的掌握，解题时要准确数清三个位置的负号个数，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
6. 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
(1) $\frac{-a^2}{-b} =$
(2) $-\frac{-3mn}{xy} =$
(1) $\frac{-a^2}{-b} =$
$\frac{a^2}{b}$
；(2) $-\frac{-3mn}{xy} =$
$\frac{3mn}{xy}$
.答案
6. (1) $\frac{a^2}{b}$ (2) $\frac{3mn}{xy}$
解析
【分析】
这道题考查分式的符号变化规律，解题核心是牢记分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身这三处的符号，任意改变其中两处的符号，分式的值保持不变。解题时先定位每道小题里负号的位置，数清负号总个数，根据“负负得正”的规律抵消负号，保证最终分子、分母都不含负号即可。
【解析】
根据分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。
(1) 分式$\frac{-a^2}{-b}$中，分子带1个负号，分母带1个负号，同时改变分子和分母的符号，负号抵消，分式值不变，因此$\frac{-a^2}{-b}=\frac{a^2}{b}$。
(2) 分式$-\frac{-3mn}{xy}$中，分式本身带1个负号，分子带1个负号，同时改变分式本身和分子的符号，负号抵消，分式值不变，因此$-\frac{-3mn}{xy}=\frac{3mn}{xy}$。
【答案】
(1) $\frac{a^2}{b}$；(2) $\frac{3mn}{xy}$
【知识点】
分式的符号法则，分式的基本性质
【点评】
本题属于分式符号变换的基础题，只要掌握分式三处符号“变其二、值不变”的规律就能轻松解答，解题时要注意准确识别负号的位置，避免漏数负号出错。
【难度系数】
0.9
这道题考查分式的符号变化规律，解题核心是牢记分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身这三处的符号，任意改变其中两处的符号，分式的值保持不变。解题时先定位每道小题里负号的位置，数清负号总个数，根据“负负得正”的规律抵消负号，保证最终分子、分母都不含负号即可。
【解析】
根据分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。
(1) 分式$\frac{-a^2}{-b}$中，分子带1个负号，分母带1个负号，同时改变分子和分母的符号，负号抵消，分式值不变，因此$\frac{-a^2}{-b}=\frac{a^2}{b}$。
(2) 分式$-\frac{-3mn}{xy}$中，分式本身带1个负号，分子带1个负号，同时改变分式本身和分子的符号，负号抵消，分式值不变，因此$-\frac{-3mn}{xy}=\frac{3mn}{xy}$。
【答案】
(1) $\frac{a^2}{b}$；(2) $\frac{3mn}{xy}$
【知识点】
分式的符号法则，分式的基本性质
【点评】
本题属于分式符号变换的基础题，只要掌握分式三处符号“变其二、值不变”的规律就能轻松解答，解题时要注意准确识别负号的位置，避免漏数负号出错。
【难度系数】
0.9
