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1. 下列代数式中,属于分式的是 （$\boldsymbol{}$）
A.$\dfrac{m}{2}$
B.$\dfrac{a}{4}+b$
C.$\dfrac{2m-n}{4}$
D.$\dfrac{1}{x-2}$
A.$\dfrac{m}{2}$
B.$\dfrac{a}{4}+b$
C.$\dfrac{2m-n}{4}$
D.$\dfrac{1}{x-2}$
答案
D
解析
【分析】
判断代数式是否为分式的核心依据是分式的定义：形如$\frac{A}{B}$的式子中，A、B均为整式，且B中含有字母（B≠0），则该式子为分式。解题时只需逐一排查每个选项的分母是否含有字母即可，分母含字母的就是分式，否则属于整式。
【解析】
根据分式的判定规则逐一分析选项：
选项A：$\frac{m}{2}$的分母为常数2，不含字母，属于整式，不是分式；
选项B：$\frac{a}{4}+b$无含字母的分母，属于整式，不是分式；
选项C：$\frac{2m-n}{4}$的分母为常数4，不含字母，属于整式，不是分式；
选项D：$\frac{1}{x-2}$的分母为$x-2$，含有字母x，符合分式的定义，属于分式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分分式和整式的差异，只要抓住“分母含字母”这一分式的核心特征即可快速解题，注意不要误将分子含字母、分母为常数的整式判断为分式。
【难度系数】
0.9
判断代数式是否为分式的核心依据是分式的定义：形如$\frac{A}{B}$的式子中，A、B均为整式，且B中含有字母（B≠0），则该式子为分式。解题时只需逐一排查每个选项的分母是否含有字母即可，分母含字母的就是分式，否则属于整式。
【解析】
根据分式的判定规则逐一分析选项：
选项A：$\frac{m}{2}$的分母为常数2，不含字母，属于整式，不是分式；
选项B：$\frac{a}{4}+b$无含字母的分母，属于整式，不是分式；
选项C：$\frac{2m-n}{4}$的分母为常数4，不含字母，属于整式，不是分式；
选项D：$\frac{1}{x-2}$的分母为$x-2$，含有字母x，符合分式的定义，属于分式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分分式和整式的差异，只要抓住“分母含字母”这一分式的核心特征即可快速解题，注意不要误将分子含字母、分母为常数的整式判断为分式。
【难度系数】
0.9
2. 填空：
(1)当x
(2)当x
(3)若分式$\frac{2x-1}{x+3}$的值为0，则x的值为
(1)当x
= -3
时，分式$\frac{x}{x+3}$无意义；(2)当x
≠$\dfrac{4}{3}$
时，分式$\frac{2x+1}{3x-4}$有意义；(3)若分式$\frac{2x-1}{x+3}$的值为0，则x的值为
$\dfrac{1}{2}$
。答案
2. (1) = -3 (2) ≠ $\dfrac{4}{3}$ (3) $\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解决这类分式相关的填空题，首先要牢记三个核心规则：①分式无意义等价于分母等于0；②分式有意义等价于分母不等于0；③分式值为0等价于分子等于0且分母不等于0。
针对(1)：要求分式无意义，直接令分母等于0，解方程即可得到x的取值；
针对(2)：要求分式有意义，直接令分母不等于0，解不等式即可得到x的取值范围；
针对(3)：要求分式值为0，先令分子等于0求出x的候选值，再代入分母验证分母不为0，排除不符合要求的x即可得到最终结果。
【解析】
(1) 分式$\frac{x}{x+3}$无意义，则分母为0，即：
$x+3=0$
解得 $x=-3$
(2) 分式$\frac{2x+1}{3x-4}$有意义，则分母不为0，即：
$3x-4≠0$
移项得 $3x≠4$
解得 $x≠\frac{4}{3}$
(3) 分式$\frac{2x-1}{x+3}$的值为0，需满足分子为0且分母不为0：
首先令分子为0：$2x-1=0$，解得 $x=\frac{1}{2}$
验证分母：当$x=\frac{1}{2}$时，分母$x+3=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}≠0$，符合要求
故$x=\frac{1}{2}$
【答案】
(1)$=-3$；(2)$≠ \dfrac{4}{3}$；(3)$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式无意义的条件；分式有意义的条件；分式值为0的条件
【点评】
本题属于分式章节的基础题型，核心考查分式与分母的关系，求解分式值为0的问题时，注意必须验证分母不为0，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.9
解决这类分式相关的填空题，首先要牢记三个核心规则：①分式无意义等价于分母等于0；②分式有意义等价于分母不等于0；③分式值为0等价于分子等于0且分母不等于0。
针对(1)：要求分式无意义，直接令分母等于0，解方程即可得到x的取值；
针对(2)：要求分式有意义，直接令分母不等于0，解不等式即可得到x的取值范围；
针对(3)：要求分式值为0，先令分子等于0求出x的候选值，再代入分母验证分母不为0，排除不符合要求的x即可得到最终结果。
【解析】
(1) 分式$\frac{x}{x+3}$无意义，则分母为0，即：
$x+3=0$
解得 $x=-3$
(2) 分式$\frac{2x+1}{3x-4}$有意义，则分母不为0，即：
$3x-4≠0$
移项得 $3x≠4$
解得 $x≠\frac{4}{3}$
(3) 分式$\frac{2x-1}{x+3}$的值为0，需满足分子为0且分母不为0：
首先令分子为0：$2x-1=0$，解得 $x=\frac{1}{2}$
验证分母：当$x=\frac{1}{2}$时，分母$x+3=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}≠0$，符合要求
故$x=\frac{1}{2}$
【答案】
(1)$=-3$；(2)$≠ \dfrac{4}{3}$；(3)$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式无意义的条件；分式有意义的条件；分式值为0的条件
【点评】
本题属于分式章节的基础题型，核心考查分式与分母的关系，求解分式值为0的问题时，注意必须验证分母不为0，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.9
3. 若分式$\frac{x^2 -1}{x^2 -x}$的值为0，则x的值为（
A.1
B.-1
C.$\pm 1$
D.0
B
）A.1
B.-1
C.$\pm 1$
D.0
答案
3. B
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个要求：一是分子的取值为0，二是分母的取值不能为0（保证分式有意义）。解题时先求出使分子为0的x的可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是正确结果。
【解析】
若分式的值为0，需同时满足：①分子等于0；②分母不等于0。
第一步：求解分子为0时x的取值
令分子$x^2 -1 = 0$，因式分解得$(x+1)(x-1)=0$，解得$x=1$或$x=-1$。
第二步：验证分母不为0的条件
分母为$x^2 -x = x(x-1)$，若分式有意义，则$x(x-1) ≠ 0$，即$x ≠ 0$且$x ≠ 1$。
结合第一步的结果，排除$x=1$，因此符合条件的x值为$-1$。
【答案】
B
【知识点】
分式值为零的条件；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式相关的基础常考题，易错点是解题时只关注分子为0的条件，忽略分母不能为0的限制，从而误选C选项，解题时需牢记两个条件必须同时成立。
【难度系数】
0.6
要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个要求：一是分子的取值为0，二是分母的取值不能为0（保证分式有意义）。解题时先求出使分子为0的x的可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是正确结果。
【解析】
若分式的值为0，需同时满足：①分子等于0；②分母不等于0。
第一步：求解分子为0时x的取值
令分子$x^2 -1 = 0$，因式分解得$(x+1)(x-1)=0$，解得$x=1$或$x=-1$。
第二步：验证分母不为0的条件
分母为$x^2 -x = x(x-1)$，若分式有意义，则$x(x-1) ≠ 0$，即$x ≠ 0$且$x ≠ 1$。
结合第一步的结果，排除$x=1$，因此符合条件的x值为$-1$。
【答案】
B
【知识点】
分式值为零的条件；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式相关的基础常考题，易错点是解题时只关注分子为0的条件，忽略分母不能为0的限制，从而误选C选项，解题时需牢记两个条件必须同时成立。
【难度系数】
0.6
4. 下列各式中,无论$x$取何值,分式都有意义的是 (
A.$\dfrac{1}{2x+1}$
B.$\dfrac{2x}{2x+1}$
C.$\dfrac{3x+1}{x^2}$
D.$\dfrac{x^2}{2x^2+1}$
D
)A.$\dfrac{1}{2x+1}$
B.$\dfrac{2x}{2x+1}$
C.$\dfrac{3x+1}{x^2}$
D.$\dfrac{x^2}{2x^2+1}$
答案
4. D
解析
【分析】
要判断无论x取何值分式都有意义的选项，首先明确分式有意义的核心条件是分母不能为0，因此我们只需逐一分析每个选项的分母：判断是否存在实数x使得分母等于0，若不存在这样的x，即分母恒不为0，该选项就是正确答案。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，我们逐个分析选项：
A选项：分母为$2x+1$，令$2x+1=0$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$，即当$x=-\dfrac{1}{2}$时分母为0，分式无意义，不符合要求；
B选项：分母同样为$2x+1$，当$x=-\dfrac{1}{2}$时分母为0，分式无意义，不符合要求；
C选项：分母为$x^2$，当$x=0$时，$x^2=0$，分式无意义，不符合要求；
D选项：分母为$2x^2+1$，根据平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$2x^2≥0$，可得$2x^2+1≥1＞0$，即无论x取何实数，分母都恒大于0，分式始终有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件；平方的非负性
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是牢记分式有意义时分母不为零，结合平方的非负性即可快速判断分母的取值范围，选出正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断无论x取何值分式都有意义的选项，首先明确分式有意义的核心条件是分母不能为0，因此我们只需逐一分析每个选项的分母：判断是否存在实数x使得分母等于0，若不存在这样的x，即分母恒不为0，该选项就是正确答案。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，我们逐个分析选项：
A选项：分母为$2x+1$，令$2x+1=0$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$，即当$x=-\dfrac{1}{2}$时分母为0，分式无意义，不符合要求；
B选项：分母同样为$2x+1$，当$x=-\dfrac{1}{2}$时分母为0，分式无意义，不符合要求；
C选项：分母为$x^2$，当$x=0$时，$x^2=0$，分式无意义，不符合要求；
D选项：分母为$2x^2+1$，根据平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$2x^2≥0$，可得$2x^2+1≥1＞0$，即无论x取何实数，分母都恒大于0，分式始终有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件；平方的非负性
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是牢记分式有意义时分母不为零，结合平方的非负性即可快速判断分母的取值范围，选出正确答案。
【难度系数】
0.8
5. 若某种商品$m$千克的售价为$n$元，则这种商品8千克的售价为（
A.$\dfrac{8n}{m}$元
B.$\dfrac{n}{8m}$元
C.$\dfrac{8m}{n}$元
D.$\dfrac{m}{8n}$元
A
）A.$\dfrac{8n}{m}$元
B.$\dfrac{n}{8m}$元
C.$\dfrac{8m}{n}$元
D.$\dfrac{m}{8n}$元
答案
5. A
解析
【分析】
要计算8千克该商品的售价，首先需要先求出1千克商品的售价（即单价），再结合“总价=单价×数量”的关系计算总售价。第一步，已知m千克商品售价为n元，根据“单价=总价÷数量”的公式可求出每千克商品的售价；第二步，用求出的单价乘购买数量8千克，即可得到8千克商品的总售价，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
首先计算该商品的单价：
已知m千克商品的售价为n元，根据单价的计算公式，可得1千克商品的售价为$\frac{n}{m}$元。
再计算8千克商品的售价：
根据“总价=单价×数量”，代入数据可得8千克商品的售价为$8×\frac{n}{m}=\frac{8n}{m}$元。
【答案】
A
【知识点】
列代数式；单价、数量与总价的关系
【点评】
本题是基础应用题，考查用代数式表示实际问题中的数量关系，解题的关键是牢记单价、数量和总价三者的运算关系，先求出单价再计算对应数量的总价即可。
【难度系数】
0.9
要计算8千克该商品的售价，首先需要先求出1千克商品的售价（即单价），再结合“总价=单价×数量”的关系计算总售价。第一步，已知m千克商品售价为n元，根据“单价=总价÷数量”的公式可求出每千克商品的售价；第二步，用求出的单价乘购买数量8千克，即可得到8千克商品的总售价，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
首先计算该商品的单价：
已知m千克商品的售价为n元，根据单价的计算公式，可得1千克商品的售价为$\frac{n}{m}$元。
再计算8千克商品的售价：
根据“总价=单价×数量”，代入数据可得8千克商品的售价为$8×\frac{n}{m}=\frac{8n}{m}$元。
【答案】
A
【知识点】
列代数式；单价、数量与总价的关系
【点评】
本题是基础应用题，考查用代数式表示实际问题中的数量关系，解题的关键是牢记单价、数量和总价三者的运算关系，先求出单价再计算对应数量的总价即可。
【难度系数】
0.9
6. 已知当$x=3$时，分式$\frac{2}{2x+a}$无意义，则$a$的值为（
A.$-3$
B.$3$
C.$-6$
D.$6$
C
）A.$-3$
B.$3$
C.$-6$
D.$6$
答案
6. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确分式无意义的判定条件：当分式的分母为0时，分式无意义。我们的解题思路是：先根据x=3时分式无意义，得出此时分母2x+a的值为0，再将x=3代入该等式，解关于a的一元一次方程即可求出a的取值。
【解析】
根据分式无意义的条件可知，当分母为0时，分式无意义。
∵ x=3时，分式$\frac{2}{2x+a}$无意义
∴ 此时分母$2x+a=0$
将x=3代入上式，得：
$2×3 + a = 0$
计算得$6 + a = 0$
解得$a=-6$
【答案】
C
【知识点】
分式无意义的条件；解一元一次方程
【点评】
本题属于分式相关的基础题型，核心考查对分式无意义条件的掌握，解题的关键是牢记“分母为0时分式无意义”，代入数值计算即可得分，属于基础送分题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需明确分式无意义的判定条件：当分式的分母为0时，分式无意义。我们的解题思路是：先根据x=3时分式无意义，得出此时分母2x+a的值为0，再将x=3代入该等式，解关于a的一元一次方程即可求出a的取值。
【解析】
根据分式无意义的条件可知，当分母为0时，分式无意义。
∵ x=3时，分式$\frac{2}{2x+a}$无意义
∴ 此时分母$2x+a=0$
将x=3代入上式，得：
$2×3 + a = 0$
计算得$6 + a = 0$
解得$a=-6$
【答案】
C
【知识点】
分式无意义的条件；解一元一次方程
【点评】
本题属于分式相关的基础题型，核心考查对分式无意义条件的掌握，解题的关键是牢记“分母为0时分式无意义”，代入数值计算即可得分，属于基础送分题。
【难度系数】
0.9
7.（开放性题目）已知四张卡片上面分别写有$6, x - 1, x^2 - 1, π + 1$,从中任选两张卡片,将卡片上的式子分别作为分子和分母组成一个分式,则这个分式可以是
$\dfrac{6}{x-1}$(答案不唯一)
.(写出一个即可)答案
7. $\dfrac{6}{x-1}$(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆分式的判定条件：分式的分母必须是含有字母的整式。首先观察四张卡片上的内容：6、π+1都是常数（π是固定常数，不是字母），只有x-1和$x^2-1$是含字母x的整式，所以这两个式子可以作为分母。再从剩下的三个式子中任选一个作为分子，就能组成符合要求的分式，比如选择6作为分子，x-1作为分母即可。
【解析】
根据分式的定义：若两个整式A、B相除，即$\dfrac{A}{B}$，其中B中含有字母且B≠0，这个式子就是分式。
首先筛选可作为分母的含字母的式子：四个卡片中，x-1和$x^2-1$均含有字母x，可作为分母。
任选一个含字母的式子当分母，再选另一个式子当分子即可，比如选6为分子，x-1为分母，得到分式$\dfrac{6}{x-1}$，满足要求（答案不唯一）。
【答案】
$\dfrac{6}{x-1}$(答案不唯一)
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题是开放性基础题，核心考查对分式概念的掌握，只要抓住“分母含有字母”这一关键特征就能快速作答，答案灵活多样。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆分式的判定条件：分式的分母必须是含有字母的整式。首先观察四张卡片上的内容：6、π+1都是常数（π是固定常数，不是字母），只有x-1和$x^2-1$是含字母x的整式，所以这两个式子可以作为分母。再从剩下的三个式子中任选一个作为分子，就能组成符合要求的分式，比如选择6作为分子，x-1作为分母即可。
【解析】
根据分式的定义：若两个整式A、B相除，即$\dfrac{A}{B}$，其中B中含有字母且B≠0，这个式子就是分式。
首先筛选可作为分母的含字母的式子：四个卡片中，x-1和$x^2-1$均含有字母x，可作为分母。
任选一个含字母的式子当分母，再选另一个式子当分子即可，比如选6为分子，x-1为分母，得到分式$\dfrac{6}{x-1}$，满足要求（答案不唯一）。
【答案】
$\dfrac{6}{x-1}$(答案不唯一)
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题是开放性基础题，核心考查对分式概念的掌握，只要抓住“分母含有字母”这一关键特征就能快速作答，答案灵活多样。
【难度系数】
0.8
8. 某药品原来每盒p元，用200元可以买该药品$\boldsymbol{\dfrac{200}{p}}$盒；现每盒提高3元，用200元可以买该药品$\boldsymbol{\dfrac{200}{p+3}}$盒；现在用200元比原来少买$\boldsymbol{\dfrac{200}{p}-\dfrac{200}{p+3}}$盒。
答案
$\dfrac{200}{P}$ $\dfrac{200}{P+3}$ $(\dfrac{200}{P}-\dfrac{200}{P+3})$
解析
【分析】
解题时先明确总价、单价、数量三者的核心关系：数量=总价÷单价。首先求原来购买的盒数：已知总钱数200元，原单价为p元，直接用总价除以原单价即可得到对应数量；再求提价后购买的盒数：先算出提价后的单价为(p+3)元，再用总价除以新单价得到现在的购买数量；最后求少买的盒数：用原来的购买数量减去现在的购买数量即可。
【解析】
根据“数量=总价÷单价”的基本数量关系计算：
1. 原单价为每盒p元，总金额200元，原来可购买的盒数为$200÷ p=\dfrac{200}{p}$；
2. 现每盒提高3元，新单价为每盒$(p+3)$元，总金额不变，现在可购买的盒数为$200÷ (p+3)=\dfrac{200}{p+3}$；
3. 现在比原来少买的盒数为原来的购买量减去现在的购买量，即$\dfrac{200}{p}-\dfrac{200}{p+3}$。
【答案】
$\dfrac{200}{p}$；$\dfrac{200}{p+3}$；$(\dfrac{200}{p}-\dfrac{200}{p+3})$
【知识点】
列代数式；数量关系应用；分式实际意义
【点评】
本题结合消费场景考查代数式的列写，解题关键是熟练掌握总价、单价、数量三者的关系，认真审题即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时先明确总价、单价、数量三者的核心关系：数量=总价÷单价。首先求原来购买的盒数：已知总钱数200元，原单价为p元，直接用总价除以原单价即可得到对应数量；再求提价后购买的盒数：先算出提价后的单价为(p+3)元，再用总价除以新单价得到现在的购买数量；最后求少买的盒数：用原来的购买数量减去现在的购买数量即可。
【解析】
根据“数量=总价÷单价”的基本数量关系计算：
1. 原单价为每盒p元，总金额200元，原来可购买的盒数为$200÷ p=\dfrac{200}{p}$；
2. 现每盒提高3元，新单价为每盒$(p+3)$元，总金额不变，现在可购买的盒数为$200÷ (p+3)=\dfrac{200}{p+3}$；
3. 现在比原来少买的盒数为原来的购买量减去现在的购买量，即$\dfrac{200}{p}-\dfrac{200}{p+3}$。
【答案】
$\dfrac{200}{p}$；$\dfrac{200}{p+3}$；$(\dfrac{200}{p}-\dfrac{200}{p+3})$
【知识点】
列代数式；数量关系应用；分式实际意义
【点评】
本题结合消费场景考查代数式的列写，解题关键是熟练掌握总价、单价、数量三者的关系，认真审题即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
9. 若分式$\frac{|x|-2}{(x+1)(x-2)}$的值为0,求x的值.
答案
9. 解:
∵ 分式$\frac{|x|-2}{(x+1)(x-2)}$的值为0，
∴ $|x| - 2 = 0$ 且$(x + 1)(x - 2) ≠ 0. \therefore x = -2.$
∵ 分式$\frac{|x|-2}{(x+1)(x-2)}$的值为0，
∴ $|x| - 2 = 0$ 且$(x + 1)(x - 2) ≠ 0. \therefore x = -2.$
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义）。解题时先根据分子为0列出方程求出x的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是符合要求的解。
【解析】
解：
∵ 分式$\frac{|x|-2}{(x+1)(x-2)}$的值为0，
∴ 需同时满足分子为0，且分母不为0，即：
$|x| - 2 = 0$ 且 $(x + 1)(x - 2) ≠ 0$
由$|x| - 2 = 0$，得$|x|=2$，解得$x=2$或$x=-2$；
由$(x + 1)(x - 2) ≠ 0$，得$x ≠ -1$且$x ≠ 2$；
舍去不符合条件的$x=2$，最终得$x=-2$。
【答案】
$x=-2$
【知识点】
分式值为0的条件、绝对值方程求解、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式相关的基础题型，易错点是解题时忽略分母不为0的限制，直接得出x=±2的错误结论，解答此类问题时务必牢记分子为0、分母不为0两个条件需同时成立。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义）。解题时先根据分子为0列出方程求出x的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是符合要求的解。
【解析】
解：
∵ 分式$\frac{|x|-2}{(x+1)(x-2)}$的值为0，
∴ 需同时满足分子为0，且分母不为0，即：
$|x| - 2 = 0$ 且 $(x + 1)(x - 2) ≠ 0$
由$|x| - 2 = 0$，得$|x|=2$，解得$x=2$或$x=-2$；
由$(x + 1)(x - 2) ≠ 0$，得$x ≠ -1$且$x ≠ 2$；
舍去不符合条件的$x=2$，最终得$x=-2$。
【答案】
$x=-2$
【知识点】
分式值为0的条件、绝对值方程求解、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式相关的基础题型，易错点是解题时忽略分母不为0的限制，直接得出x=±2的错误结论，解答此类问题时务必牢记分子为0、分母不为0两个条件需同时成立。
【难度系数】
0.7
10. (拓展题)(分类讨论)若$\frac{3}{a+1}$的值是一个整数，则整数$a$可以取哪些值？
答案
10. 解:
∵ $\frac{3}{a+1}$是整数,$\therefore a + 1 = \pm 1,$或$a + 1 = \pm 3.$
$\therefore a = 0,$或$a = -2,$或$a = 2,$或$a = -4.$
∵ $\frac{3}{a+1}$是整数,$\therefore a + 1 = \pm 1,$或$a + 1 = \pm 3.$
$\therefore a = 0,$或$a = -2,$或$a = 2,$或$a = -4.$
解析
【分析】
解题时首先明确两个前提：一是a为整数，因此a+1也为整数；二是分式$\frac{3}{a+1}$的值为整数，说明分母a+1能整除分子3，同时要满足分式有意义的条件即$a+1≠ 0$。接下来只需找出3的所有整数因数（包含正因数和负因数），再分别求解对应的a值即可，注意不要遗漏负因数的情况。
【解析】
解：要使$\frac{3}{a+1}$的值为整数，且a为整数，
首先需满足分式有意义，即$a+1≠ 0$，
同时$a+1$必须是3的整数因数，
∵ 3的整数因数为$\pm1$、$\pm3$，
∴ 分情况计算：
当$a+1=1$时，$a=0$；
当$a+1=-1$时，$a=-2$；
当$a+1=3$时，$a=2$；
当$a+1=-3$时，$a=-4$。
上述取值均满足$a+1≠ 0$，符合要求。
【答案】
整数a可以取0、-2、2、-4。
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 整数整除的性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是分式相关的拓展题型，解题核心是明确当分子为固定整数时，若分式值为整数，分母一定是分子的所有整数因数，求解时注意不要遗漏负因数，同时要验证分母不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确两个前提：一是a为整数，因此a+1也为整数；二是分式$\frac{3}{a+1}$的值为整数，说明分母a+1能整除分子3，同时要满足分式有意义的条件即$a+1≠ 0$。接下来只需找出3的所有整数因数（包含正因数和负因数），再分别求解对应的a值即可，注意不要遗漏负因数的情况。
【解析】
解：要使$\frac{3}{a+1}$的值为整数，且a为整数，
首先需满足分式有意义，即$a+1≠ 0$，
同时$a+1$必须是3的整数因数，
∵ 3的整数因数为$\pm1$、$\pm3$，
∴ 分情况计算：
当$a+1=1$时，$a=0$；
当$a+1=-1$时，$a=-2$；
当$a+1=3$时，$a=2$；
当$a+1=-3$时，$a=-4$。
上述取值均满足$a+1≠ 0$，符合要求。
【答案】
整数a可以取0、-2、2、-4。
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 整数整除的性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是分式相关的拓展题型，解题核心是明确当分子为固定整数时，若分式值为整数，分母一定是分子的所有整数因数，求解时注意不要遗漏负因数，同时要验证分母不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.6
