7.【例3】如图，$△ ABC ≌ △ DEF$，点$B,E,C,F$在同一直线上.(1)求证：$AB // DE$；(2)求证：$BE = CF$

7. 证明:(1)
∵ △ABC≌△DEF,
∴ ∠B = ∠DEF.
∴ AB//DE.
(2)
∵ △ABC≌△DEF,
∴ BC = EF.
∴ BC - CE = EF - CE,即 BE = CF.

【分析】
(1) 要证明$AB // DE$，根据平行线的判定定理，只需证明直线$AB$、$DE$被直线$BF$所截形成的同位角相等即可。已知$△ ABC ≌ △ DEF$，根据全等三角形对应角相等的性质，可直接得到同位角$∠ B = ∠ DEF$，即可推出平行关系。
(2) 要证明$BE=CF$，观察线段位置可知$BE=BC-CE$，$CF=EF-CE$，因此只需证明$BC=EF$即可。根据全等三角形对应边相等的性质，由$△ ABC ≌ △ DEF$可得$BC=EF$，两边同时减去公共线段$CE$，即可得到$BE=CF$。
【解析】
(1) 证明：
$\because △ ABC ≌ △ DEF$，
$\therefore ∠ B = ∠ DEF$，
$\therefore AB // DE$。
(2) 证明：
$\because △ ABC ≌ △ DEF$，
$\therefore BC = EF$，
$\therefore BC - CE = EF - CE$，即$BE = CF$。
【答案】
(1) 证明如上；(2) 证明如上。
【知识点】
全等三角形的性质、平行线的判定、等式的性质
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题型，解题核心是准确找到全等三角形的对应角和对应边，结合平行线判定规则和线段等量代换即可求解，属于全等章节的基础必掌握题型。
【难度系数】
0.85

8. 如图，$△ ABC ≌ △ DEF$，点$B,C,F,E$在同一条直线上.
(1)若$BC=3$，$CF=2$，则$BE=$；
(2)试说明：$AC // DF$.

8. 解:(1) 8
(2)
∵ △ABC≌△DEF,
∴ ∠ACB = ∠DFE.
∵ ∠ACB + ∠ACF = 180°,∠DFE + ∠CFD = 180°,
∴ ∠ACF = ∠CFD.
∴ AC//DF.

【分析】
（1）解决第一问需先利用全等三角形对应边相等的性质，找到与BC对应的边EF，得到EF的长度，再结合点B、C、F、E共线的条件，将BE拆分为BC、CF、EF三段之和，代入数值计算即可。
（2）解决第二问要证明两直线平行，需结合平行线的判定定理找角的关系。首先利用全等三角形对应角相等得到∠ACB=∠DFE，再根据平角的性质推出两个角的补角相等，即可得到一组相等的内错角，从而判定两直线平行。
【解析】
（1）
∵△ABC ≌ △DEF，根据全等三角形对应边相等的性质，可得EF=BC=3。
又
∵点B、C、F、E在同一条直线上，
∴BE=BC+CF+EF=3+2+3=8。
（2）证明：
∵△ABC ≌ △DEF，
∴∠ACB = ∠DFE（全等三角形对应角相等）。
∵∠ACB + ∠ACF = 180°，∠DFE + ∠CFD = 180°（平角的定义），
∴∠ACF = ∠CFD（等角的补角相等）。
∴AC // DF（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) 8
(2) 可证得AC//DF，证明过程如上。
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 平行线的判定
3. 等角的补角相等
【点评】
本题属于全等三角形性质的基础应用题，结合了线段计算和平行线判定两个考点，解题的关键是准确找到全等三角形的对应边、对应角，结合几何性质推导结论。
【难度系数】
0.8

1. 下列图形是全等形的是 （）

1. B

【分析】
解题前首先要回忆全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形，判定全等形需要同时满足两个条件：①形状完全相同；②大小完全相等。我们只需逐个验证每个选项中的两个图形是否同时符合这两个条件即可：先看形状是否一致，再核对大小是否相等，两者都满足就是全等形。
【解析】
根据全等形的定义逐一分析选项：
A选项：两个圆形形状相同，但直径不同，大小不一致，不能完全重合，不是全等形；
B选项：两个组合图形都由3个完全相同的小正方形按相同的位置组合而成，形状、大小均完全一致，能够完全重合，属于全等形；
C选项：左侧是直角三角形，右侧是钝角三角形，形状不相同，不能完全重合，不是全等形；
D选项：两个正方形形状相同，但边长不同，大小不一致，不能完全重合，不是全等形。
【答案】
B
【知识点】
全等形的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，只要牢记全等形需同时满足形状、大小均完全相同的特征，就能快速得出正确答案，做题时要避免只看形状忽略大小、或者只看大小忽略形状的错误。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$△ AOC ≌ △ DOB$.
(1)若 $OA = 5, OC = 3$, 则 $OB =$ , $OD =$ ;
(2)$∠ A =$ , $∠ C =$ .

2. (1) 3 5 (2) ∠D ∠B

【分析】
要解决这道题，首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的表示规范中，对应顶点的字母会写在对应位置上，我们可以先根据△AOC≌△DOB的书写顺序，确定两个三角形的对应关系：A对应D，O对应O，C对应B，进而找到对应的边和角，再代入已知条件求解即可。
【解析】
解：已知$△ AOC ≌ △ DOB$，根据全等三角形的性质计算：
(1) 由全等三角形对应边相等，可得$OC=OB$，$OA=OD$。
已知$OA=5$，$OC=3$，因此$OB=OC=3$，$OD=OA=5$。
(2) 由全等三角形对应角相等，可得$∠ A=∠ D$，$∠ C=∠ B$。
【答案】
(1) $3$；$5$ (2) $∠ D$；$∠ B$
【知识点】
1. 全等三角形对应边相等
2. 全等三角形对应角相等
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题型，解题核心是通过全等三角形的书写顺序准确识别对应顶点，进而确定对应边和对应角，熟练掌握该方法是后续解决全等三角形相关问题的基础。
【难度系数】
0.9

3. 如图，$△ ACE ≌ △ DBF$，点$A,B,C,D$在同一直线上，$AB=3$，$BC=2$，则$BD$的长为（）

A.3
B.4
C.5
D.6

3. C

【分析】
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等。首先确定两个全等三角形中BD的对应边是AC，先根据已知线段长度计算出AC的长度，再利用对应边相等即可求出BD的长度。
【解析】
∵ $△ ACE ≌ △ DBF$
∴ 对应边$AC = BD$
∵ 点A、B、C、D在同一直线上，$AB=3$，$BC=2$
∴ $AC = AB + BC = 3 + 2 = 5$
∴ $BD = AC = 5$
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质、线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确找到全等三角形的对应边，结合线段的和差关系就能快速求解，主要考查学生对全等三角形基本性质的掌握情况。
【难度系数】
0.8

4. 如图,点B,D,E,C在同一条直线上,若$△ ABD ≌ △ ACE$, $BC = 12$, $BD = 3$,则$DE$的长为。

4. 6

【分析】
解题时首先结合已知的全等三角形条件，回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等。先找到BD的对应边为CE，即可得到CE的长度；再根据点B、D、E、C在同一直线上，线段BC的长度等于BD、DE、CE三段长度之和，变形即可得到DE的计算式，代入已知数值求解即可。
【解析】
解：
∵△ABD≌△ACE，
∴CE=BD=3（全等三角形的对应边相等），
又
∵点B、D、E、C在同一条直线上，
∴BD + DE + CE = BC，
∴DE = BC - BD - CE，
代入BC=12，BD=3，CE=3，得：
DE = 12 - 3 - 3 = 6。
【答案】
6
【知识点】
全等三角形的性质、线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是根据全等三角形的性质准确得到对应边CE的长度，再结合线段的和差关系列式计算即可。
【难度系数】
0.8

5. (人教八上 $\mathrm{P}_{31}$ 习题 $\mathrm{T}_5$ 改编) 如图，$△ ABC ≌ △ ADE$，AC 和 AE，AB 和 AD 是对应边，点 E 在边 BC 上，AB 与 DE 交于点 F.
(1) 求证：$∠ CAE = ∠ BAD$；
(2) 若$∠ BAD = 35°$，求$∠ BED$的度数.

(1) 证明:
∵ $△ ABC≌△ ADE,\therefore ∠ BAC = ∠ DAE.$
$\therefore ∠ BAC - ∠ BAE = ∠ DAE - ∠ BAE. \therefore ∠ CAE = ∠ BAD.$
(2) 解:
∵ $△ ABC≌△ ADE,\therefore ∠ B = ∠ D.$
$\because ∠ EFB = ∠ AFD, ∠ B + ∠ EFB + ∠ BED = 180°, ∠ D + ∠ AFD + ∠ BAD = 180°,\therefore ∠ BED = ∠ BAD = 35°.$

【分析】
(1) 要证明∠CAE=∠BAD，先根据全等三角形对应角相等的性质，得到∠BAC=∠DAE，观察可知两个角都包含公共角∠BAE，只需将两个角同时减去公共角∠BAE，即可推导出待证的两个角相等。
(2) 要求∠BED的度数，首先由全等三角形性质得对应角∠B=∠D，再结合图形中对顶角∠EFB=∠AFD的隐含条件，利用三角形内角和为180°，可推出∠BED与∠BAD相等，代入已知角度即可得结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ $△ ABC≌△ ADE$，
∴ $∠ BAC = ∠ DAE$，
∴ $∠ BAC - ∠ BAE = ∠ DAE - ∠ BAE$，
即 $∠ CAE = ∠ BAD$。
(2) 解：
∵ $△ ABC≌△ ADE$，
∴ $∠ B = ∠ D$，
又
∵ $∠ EFB = ∠ AFD$（对顶角相等），
在$△BEF$中：$∠ B + ∠ EFB + ∠ BED = 180°$，
在$△ADF$中：$∠ D + ∠ AFD + ∠ BAD = 180°$，
∴ $∠ BED = ∠ BAD$，
∵ $∠ BAD = 35°$，
∴ $∠ BED = 35°$。
【答案】
(1) 证明如上；
(2) $∠BED=35°$
【知识点】
全等三角形的性质，角的和差运算，三角形内角和定理
【点评】
本题属于全等三角形性质的基础应用题，解题时要注意挖掘图形中公共角、对顶角这类隐含条件，结合基础的角运算和三角形内角和定理即可快速求解，是几何部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.7

6.（拓展题）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,1)，点C的坐标为(4,3)，如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标为。

6. (-1,3)或(-1,-1)或(4,-1)

【分析】
解题时首先明确AB是△ABD和△ABC的公共边，结合全等三角形对应边相等的性质，分情况讨论点D的位置：一是点D与点C在AB同侧，二是点D与点C在AB异侧，再利用坐标的对称性计算D的坐标。第一步先确定点B的坐标：由图可知AB为水平线段，A(0,1)，结合C(4,3)的位置可得B(3,1)；第二步分别对不同对称情况计算对应D点坐标，注意不要漏解。
【解析】
首先由图得点B坐标为(3,1)，AB为两个三角形的公共边，分三类讨论：
1. 当D与C在AB异侧，△ABD≌△ABC时，D与C关于直线AB（y=1）对称：
C(4,3)对称后x坐标不变，y坐标为$1-(3-1)=-1$，得$D_1(4,-1)$；
2. 当D与C在AB同侧，△ABD≌△BAC时，D与C关于AB的垂直平分线（直线$x=1.5$）对称：
对称后x坐标为$1.5×2-4=-1$，y坐标不变，得$D_2(-1,3)$；
3. 当D与C在AB异侧，△ABD≌△BAC时，$D_2(-1,3)$关于直线AB（y=1）对称：
x坐标不变，y坐标为$1-(3-1)=-1$，得$D_3(-1,-1)$。
【答案】
(-1,3)或(-1,-1)或(4,-1)
【知识点】
全等三角形的性质，坐标与图形变化，轴对称的性质
【点评】
本题考查全等三角形性质在平面直角坐标系中的应用，解题核心是分类讨论不同的全等对应情况，结合图形对称性可快速求解，注意不要遗漏符合条件的点。
【难度系数】
0.6