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1. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）
几何语言:在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，
$\{\begin{array}{l}\_\_\_\_\_\_, \\\_\_\_\_\_\_, \\\_\_\_\_\_\_, \\\_\_\_\_\_\_,\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ A'B'C'(\mathrm{SAS})$
几何语言:在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，
$\{\begin{array}{l}\_\_\_\_\_\_, \\\_\_\_\_\_\_, \\\_\_\_\_\_\_, \\\_\_\_\_\_\_,\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ A'B'C'(\mathrm{SAS})$
答案
$AB = A'B'$ $∠B = ∠B'$ $BC = B'C'$
解析
【分析】
这道题考查三角形全等“SAS”判定定理的几何语言书写，解题思路如下：首先回忆SAS的核心要求：两个三角形中，两组对应边相等，且这两组边的夹角也对应相等，即可判定全等。再结合图形的相等标记，找到对应的相等量：单杠标记的边是对应相等边，单角标记的角是对应相等的夹角，双杠标记的边是另一组对应相等边，将这三组相等关系按顺序填写即可。
【解析】
根据“边角边（SAS）”的全等判定规则，需写出夹等角的两组对应边相等、夹角相等的条件，结合图形标记：
1. AB和A'B'有相同的单杠标记，对应相等，即$AB = A'B'$；
2. ∠B和∠B'有相同的角标记，且是AB与BC、A'B'与B'C'的夹角，对应相等，即$∠ B = ∠ B'$；
3. BC和B'C'有相同的双杠标记，对应相等，即$BC = B'C'$。
将上述三个条件填入即可。
【答案】
$\begin{cases}AB = A'B' \\∠ B = ∠ B' \\BC = B'C'\end{cases}$
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 全等证明几何规范
【点评】
本题是全等判定的基础题型，重点考查对“SAS”判定中“两边夹一角”核心要求的理解，熟练掌握判定定理内容、规范书写几何证明条件是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.9
这道题考查三角形全等“SAS”判定定理的几何语言书写，解题思路如下：首先回忆SAS的核心要求：两个三角形中，两组对应边相等，且这两组边的夹角也对应相等，即可判定全等。再结合图形的相等标记，找到对应的相等量：单杠标记的边是对应相等边，单角标记的角是对应相等的夹角，双杠标记的边是另一组对应相等边，将这三组相等关系按顺序填写即可。
【解析】
根据“边角边（SAS）”的全等判定规则，需写出夹等角的两组对应边相等、夹角相等的条件，结合图形标记：
1. AB和A'B'有相同的单杠标记，对应相等，即$AB = A'B'$；
2. ∠B和∠B'有相同的角标记，且是AB与BC、A'B'与B'C'的夹角，对应相等，即$∠ B = ∠ B'$；
3. BC和B'C'有相同的双杠标记，对应相等，即$BC = B'C'$。
将上述三个条件填入即可。
【答案】
$\begin{cases}AB = A'B' \\∠ B = ∠ B' \\BC = B'C'\end{cases}$
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 全等证明几何规范
【点评】
本题是全等判定的基础题型，重点考查对“SAS”判定中“两边夹一角”核心要求的理解，熟练掌握判定定理内容、规范书写几何证明条件是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.9
2.【例1】(人教八上$P_{33}$例1改编)如图,已知AD平分$∠BAC$,$AB=AC$.求证:$△ABD≌△ACD$.
答案
证明:$\because AD$平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$.
在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,$\begin{cases} AB = AC ,\\ ∠ BAD = ∠ CAD ,\\ AD = AD(公共边),\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD (\mathrm{SAS}).$
在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,$\begin{cases} AB = AC ,\\ ∠ BAD = ∠ CAD ,\\ AD = AD(公共边),\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD (\mathrm{SAS}).$
解析
【分析】
要证明$△ ABD ≌ △ ACD$，首先梳理已知条件：由$AD$平分$∠ BAC$，根据角平分线的定义可得一组对应角相等，即$∠ BAD=∠ CAD$；题目直接给出$AB=AC$，同时$△ ABD$和$△ ACD$有公共边$AD$，三个条件刚好满足全等三角形的SAS（边角边）判定要求，按规范列出条件即可完成证明。
【解析】
证明:$\because AD$平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$.
在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,
$\begin{cases} AB = AC ,\\ ∠ BAD = ∠ CAD ,\\ AD = AD(公共边),\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD (\mathrm{SAS}).$
【答案】
$△ ABD ≌ △ ACD$，证明过程如上。
【知识点】
1.角平分线的定义
2.全等三角形SAS判定
3.公共边的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，核心考察SAS判定定理的应用，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件（如公共边、公共角等），结合已知条件对应判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要证明$△ ABD ≌ △ ACD$，首先梳理已知条件：由$AD$平分$∠ BAC$，根据角平分线的定义可得一组对应角相等，即$∠ BAD=∠ CAD$；题目直接给出$AB=AC$，同时$△ ABD$和$△ ACD$有公共边$AD$，三个条件刚好满足全等三角形的SAS（边角边）判定要求，按规范列出条件即可完成证明。
【解析】
证明:$\because AD$平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$.
在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,
$\begin{cases} AB = AC ,\\ ∠ BAD = ∠ CAD ,\\ AD = AD(公共边),\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD (\mathrm{SAS}).$
【答案】
$△ ABD ≌ △ ACD$，证明过程如上。
【知识点】
1.角平分线的定义
2.全等三角形SAS判定
3.公共边的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，核心考察SAS判定定理的应用，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件（如公共边、公共角等），结合已知条件对应判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 如图，$AB = AC$，点$D$，$E$分别在$AC$，$AB$上，且$AD = AE$. 求证:$BD = CE$.
答案
证明:在$△ ABD$ 和$△ ACE$ 中,$\begin{cases} AB = AC ,\\ ∠ A = ∠ A ,\\ AD = AE ,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE (\mathrm{SAS}). \therefore BD = CE.$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE (\mathrm{SAS}). \therefore BD = CE.$
解析
【分析】
要证明BD=CE，可通过证明BD、CE所在的三角形全等实现。观察图形可知BD属于△ABD，CE属于△ACE，梳理已知条件：题目给出AB=AC、AD=AE，且△ABD和△ACE有公共角∠A，刚好符合全等三角形的“SAS”判定条件，先证△ABD≌△ACE，再利用全等三角形对应边相等的性质即可得证。
【解析】
证明：在$△ ABD$ 和$△ ACE$ 中,
$\begin{cases} AB = AC ,\\ ∠ A = ∠ A ,\\ AD = AE ,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE (\mathrm{SAS}),$
根据全等三角形对应边相等，可得$BD = CE$。
【答案】
证明:在$△ ABD$ 和$△ ACE$ 中,$\begin{cases} AB = AC ,\\ ∠ A = ∠ A ,\\ AD = AE ,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE (\mathrm{SAS}). \therefore BD = CE.$
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题的关键是挖掘出两个三角形的公共角这一隐含条件，熟练掌握SAS判定定理和全等三角形的性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要证明BD=CE，可通过证明BD、CE所在的三角形全等实现。观察图形可知BD属于△ABD，CE属于△ACE，梳理已知条件：题目给出AB=AC、AD=AE，且△ABD和△ACE有公共角∠A，刚好符合全等三角形的“SAS”判定条件，先证△ABD≌△ACE，再利用全等三角形对应边相等的性质即可得证。
【解析】
证明：在$△ ABD$ 和$△ ACE$ 中,
$\begin{cases} AB = AC ,\\ ∠ A = ∠ A ,\\ AD = AE ,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE (\mathrm{SAS}),$
根据全等三角形对应边相等，可得$BD = CE$。
【答案】
证明:在$△ ABD$ 和$△ ACE$ 中,$\begin{cases} AB = AC ,\\ ∠ A = ∠ A ,\\ AD = AE ,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE (\mathrm{SAS}). \therefore BD = CE.$
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题的关键是挖掘出两个三角形的公共角这一隐含条件，熟练掌握SAS判定定理和全等三角形的性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
4.【例2】如图，$AB = AC$，$AD = AE$，$∠ 1 = ∠ 2$. 求证:$BD = CE$.
答案
证明:$\because ∠ 1 = ∠ 2$,
$\therefore ∠ 1 + ∠ BAE = ∠ 2 + ∠ BAE$,即$∠ BAD = ∠ CAE$.
在$△ ABD$ 和$△ ACE$ 中,$\begin{cases} AB = AC ,\\ ∠ BAD = ∠ CAE ,\\ AD = AE ,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE (\mathrm{SAS}). \therefore BD = CE.$
$\therefore ∠ 1 + ∠ BAE = ∠ 2 + ∠ BAE$,即$∠ BAD = ∠ CAE$.
在$△ ABD$ 和$△ ACE$ 中,$\begin{cases} AB = AC ,\\ ∠ BAD = ∠ CAE ,\\ AD = AE ,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE (\mathrm{SAS}). \therefore BD = CE.$
解析
【分析】
要证明两条线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等。本题中BD在△ABD中，CE在△ACE中，因此只需证明△ABD≌△ACE即可。已知AB=AC、AD=AE，已具备两组对应边相等，接下来需要推导两边的夹角相等：已知∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠BAE，即可得到∠BAD=∠CAE，刚好满足SAS的全等判定条件，证得三角形全等后，根据全等三角形对应边相等就能推出BD=CE。
【解析】
证明:$\because ∠ 1 = ∠ 2$,
$\therefore ∠ 1 + ∠ BAE = ∠ 2 + ∠ BAE$,即$∠ BAD = ∠ CAE$.
在$△ ABD$ 和$△ ACE$ 中,
$\begin{cases} AB = AC ,\\ ∠ BAD = ∠ CAE ,\\ AD = AE ,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE (\mathrm{SAS}).$
$\therefore BD = CE.$
【答案】
$BD=CE$
【知识点】
全等三角形SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是利用全等三角形证明线段相等的基础题型，解题核心是通过角的和差关系推导得到全等判定所需的夹角相等，熟练掌握全等三角形的判定定理和对应性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等。本题中BD在△ABD中，CE在△ACE中，因此只需证明△ABD≌△ACE即可。已知AB=AC、AD=AE，已具备两组对应边相等，接下来需要推导两边的夹角相等：已知∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠BAE，即可得到∠BAD=∠CAE，刚好满足SAS的全等判定条件，证得三角形全等后，根据全等三角形对应边相等就能推出BD=CE。
【解析】
证明:$\because ∠ 1 = ∠ 2$,
$\therefore ∠ 1 + ∠ BAE = ∠ 2 + ∠ BAE$,即$∠ BAD = ∠ CAE$.
在$△ ABD$ 和$△ ACE$ 中,
$\begin{cases} AB = AC ,\\ ∠ BAD = ∠ CAE ,\\ AD = AE ,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE (\mathrm{SAS}).$
$\therefore BD = CE.$
【答案】
$BD=CE$
【知识点】
全等三角形SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是利用全等三角形证明线段相等的基础题型，解题核心是通过角的和差关系推导得到全等判定所需的夹角相等，熟练掌握全等三角形的判定定理和对应性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图，已知$AC=ED$，$BD=FC$，$AC// DE$. 求证：
AB//EF.
AB//EF.
答案
证明:$\because BD = FC$,$\therefore BD + CD = CD + FC$,即$BC = FD$.$\because AC// ED$,$\therefore ∠ ACB = ∠ EDF$.在$△ ABC$ 和$△ EFD$ 中,$\begin{cases} AC = ED ,\\ ∠ ACB = ∠ EDF ,\\ BC = FD ,\end{cases}$$\therefore △ ABC ≌ △ EFD (\mathrm{SAS}).$$\therefore ∠ B = ∠ F. \therefore AB// EF.$
解析
【分析】
要证明AB//EF，根据平行线的判定定理，只需证明内错角∠B=∠F即可。∠B和∠F分别是△ABC和△EFD的内角，因此可以通过证明两个三角形全等得到对应角相等。首先由已知BD=FC，给等式两边同时加上公共线段CD，即可推导出全等需要的对应边BC=FD；再由AC//DE，根据平行线的性质可得内错角∠ACB=∠EDF，结合已知AC=ED，刚好满足SAS全等判定的条件，证得三角形全等后就能得到∠B=∠F，最终推出AB//EF。
【解析】
证明:
$\because BD = FC$,
$\therefore BD + CD = CD + FC$,即$BC = FD$.
$\because AC// ED$,
$\therefore ∠ ACB = ∠ EDF$.
在$△ ABC$ 和$△ EFD$ 中,
$\begin{cases} AC = ED ,\\ ∠ ACB = ∠ EDF ,\\ BC = FD ,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EFD (\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ B = ∠ F.$
$\therefore AB// EF.$
【答案】
证明:
$\because BD = FC$,
$\therefore BD + CD = CD + FC$,即$BC = FD$.
$\because AC// ED$,
$\therefore ∠ ACB = ∠ EDF$.
在$△ ABC$ 和$△ EFD$ 中,
$\begin{cases} AC = ED ,\\ ∠ ACB = ∠ EDF ,\\ BC = FD ,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EFD (\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ B = ∠ F.$
$\therefore AB// EF.$
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 平行线的性质与判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，将三角形全等和平行线的相关知识点结合考查，解题的关键是通过线段和的关系推导全等所需的对应边相等，结合平行线得到的等角条件完成全等判定，再借助全等的性质得到等角来证明平行，能够很好地巩固基础几何定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.8
要证明AB//EF，根据平行线的判定定理，只需证明内错角∠B=∠F即可。∠B和∠F分别是△ABC和△EFD的内角，因此可以通过证明两个三角形全等得到对应角相等。首先由已知BD=FC，给等式两边同时加上公共线段CD，即可推导出全等需要的对应边BC=FD；再由AC//DE，根据平行线的性质可得内错角∠ACB=∠EDF，结合已知AC=ED，刚好满足SAS全等判定的条件，证得三角形全等后就能得到∠B=∠F，最终推出AB//EF。
【解析】
证明:
$\because BD = FC$,
$\therefore BD + CD = CD + FC$,即$BC = FD$.
$\because AC// ED$,
$\therefore ∠ ACB = ∠ EDF$.
在$△ ABC$ 和$△ EFD$ 中,
$\begin{cases} AC = ED ,\\ ∠ ACB = ∠ EDF ,\\ BC = FD ,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EFD (\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ B = ∠ F.$
$\therefore AB// EF.$
【答案】
证明:
$\because BD = FC$,
$\therefore BD + CD = CD + FC$,即$BC = FD$.
$\because AC// ED$,
$\therefore ∠ ACB = ∠ EDF$.
在$△ ABC$ 和$△ EFD$ 中,
$\begin{cases} AC = ED ,\\ ∠ ACB = ∠ EDF ,\\ BC = FD ,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EFD (\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ B = ∠ F.$
$\therefore AB// EF.$
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 平行线的性质与判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，将三角形全等和平行线的相关知识点结合考查，解题的关键是通过线段和的关系推导全等所需的对应边相等，结合平行线得到的等角条件完成全等判定，再借助全等的性质得到等角来证明平行，能够很好地巩固基础几何定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.8
