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10. 如图,点A、B、C在同一条直线上,BF平分∠EBC,∠D+∠CBF=90°,DB⊥BF,试说明:AD // BE.
根据下面的推理过程,在括号内写明理由.
证明:∵ DB ⊥ BF(已知),
∴ ∠DBE + ∠EBF = ∠DBF = 90°(
∵ BF平分∠EBC(已知),
∴∠EBF = ∠CBF(
∵∠D+∠CBF = 90°(已知),
∴∠DBE = ∠D(
∴AD // BE(
根据下面的推理过程,在括号内写明理由.
证明:∵ DB ⊥ BF(已知),
∴ ∠DBE + ∠EBF = ∠DBF = 90°(
垂直的定义
).∵ BF平分∠EBC(已知),
∴∠EBF = ∠CBF(
角平分线的定义
).∵∠D+∠CBF = 90°(已知),
∴∠DBE = ∠D(
等角的余角相等
).∴AD // BE(
内错角相等,两直线平行
).答案
10. 垂直的定义 角平分线的定义 等角的余角相等 内错角相等,两直线平行
解析
【分析】
这是几何推理理由填空题，解题时需匹配每一步条件和结论对应的定义、定理：首先由垂直关系得到90°角，对应垂直的定义；接着由角平分线得到两个相等的角，对应角平分线的定义；然后两组角的和均为90°且其中一组角相等，推出另一组角相等，对应等角的余角相等；最后由内错角相等得到两直线平行，对应平行线的判定定理。
【解析】
1. 已知DB⊥BF，根据垂直的定义，两条直线互相垂直时夹角为90°，因此∠DBE + ∠EBF = ∠DBF = 90°。
2. 已知BF平分∠EBC，根据角平分线的定义，角平分线将一个角分为两个相等的角，因此∠EBF = ∠CBF。
3. 已知∠D+∠CBF = 90°，结合∠DBE+∠EBF=90°、∠EBF=∠CBF，根据等角的余角相等，可得∠DBE = ∠D。
4. ∠D和∠DBE是直线AD、BE被直线DB所截的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可得AD // BE。
【答案】
垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【知识点】
垂直的定义，角平分线的定义，平行线的判定
【点评】
本题考查基础几何定理的应用，要求学生理清推理过程中条件和结论的对应逻辑，熟练掌握几何入门阶段的核心定义和判定定理，是巩固几何推理逻辑的典型基础题。
【难度系数】
0.8
这是几何推理理由填空题，解题时需匹配每一步条件和结论对应的定义、定理：首先由垂直关系得到90°角，对应垂直的定义；接着由角平分线得到两个相等的角，对应角平分线的定义；然后两组角的和均为90°且其中一组角相等，推出另一组角相等，对应等角的余角相等；最后由内错角相等得到两直线平行，对应平行线的判定定理。
【解析】
1. 已知DB⊥BF，根据垂直的定义，两条直线互相垂直时夹角为90°，因此∠DBE + ∠EBF = ∠DBF = 90°。
2. 已知BF平分∠EBC，根据角平分线的定义，角平分线将一个角分为两个相等的角，因此∠EBF = ∠CBF。
3. 已知∠D+∠CBF = 90°，结合∠DBE+∠EBF=90°、∠EBF=∠CBF，根据等角的余角相等，可得∠DBE = ∠D。
4. ∠D和∠DBE是直线AD、BE被直线DB所截的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可得AD // BE。
【答案】
垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【知识点】
垂直的定义，角平分线的定义，平行线的判定
【点评】
本题考查基础几何定理的应用，要求学生理清推理过程中条件和结论的对应逻辑，熟练掌握几何入门阶段的核心定义和判定定理，是巩固几何推理逻辑的典型基础题。
【难度系数】
0.8
11.（启东期末）下列图形中，由$∠ 1 = ∠ 2$能判定$AB // CD$的是 【 】
B.
B.
答案
B
解析
【分析】
要判断哪个选项中∠1=∠2能推出AB//CD，首先需回忆平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，均可判定两直线平行。解题时先逐个分析每个选项中∠1和∠2是哪两条直线被哪条截线所截形成的角，再判断角相等时对应的平行直线是否为AB和CD即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：∠1和∠2是两条直线被截线形成的同旁内角，同旁内角相等无法判定两直线平行，因此不能得到AB//CD，不符合要求；
选项B：∠1和∠2是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”的判定定理，当∠1=∠2时，可直接判定AB//CD，符合要求；
选项C：∠1和∠2是直线AD、BC被直线BD所截形成的内错角，当∠1=∠2时，判定的是AD//BC，而非AB//CD，不符合要求；
选项D：∠1和∠2不属于两条直线被同一条截线所截形成的同位角或内错角，因此相等也无法判定AB//CD，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定；内错角的识别；三线八角
【点评】
本题考查平行线的判定相关内容，解题核心是准确识别三线八角中角的位置关系，明确相等的角对应的被截直线，避免混淆不同组平行线的判定条件。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项中∠1=∠2能推出AB//CD，首先需回忆平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，均可判定两直线平行。解题时先逐个分析每个选项中∠1和∠2是哪两条直线被哪条截线所截形成的角，再判断角相等时对应的平行直线是否为AB和CD即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：∠1和∠2是两条直线被截线形成的同旁内角，同旁内角相等无法判定两直线平行，因此不能得到AB//CD，不符合要求；
选项B：∠1和∠2是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”的判定定理，当∠1=∠2时，可直接判定AB//CD，符合要求；
选项C：∠1和∠2是直线AD、BC被直线BD所截形成的内错角，当∠1=∠2时，判定的是AD//BC，而非AB//CD，不符合要求；
选项D：∠1和∠2不属于两条直线被同一条截线所截形成的同位角或内错角，因此相等也无法判定AB//CD，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定；内错角的识别；三线八角
【点评】
本题考查平行线的判定相关内容，解题核心是准确识别三线八角中角的位置关系，明确相等的角对应的被截直线，避免混淆不同组平行线的判定条件。
【难度系数】
0.7
12. 如图，O是直线AB上一点，OE平分∠BOD，OF ⊥ OE，∠D = 100°，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定AB // CD，他添加的条件可能是 【 】
A.∠BOE = 50°
B.∠BOE + ∠AOF = 90°
C.∠AOF = 40°
D.180°−∠BOD = 80°
A.∠BOE = 50°
B.∠BOE + ∠AOF = 90°
C.∠AOF = 40°
D.180°−∠BOD = 80°
答案
B
解析
【分析】
要判定AB//CD，已知∠D=100°，根据平行线的判定定理，只需推出内错角∠BOD=∠D=100°即可。结合已知条件：OE平分∠BOD、OF⊥OE，平角∠AOB=180°，可先得到∠AOF+∠BOE=90°是恒成立的结论，再逐一分析每个选项添加的条件能否推出∠BOD=100°，即可判断能否判定平行。
【解析】
已知O是直线AB上的点，故∠AOB=180°，又OF⊥OE，因此∠EOF=90°，可得：∠AOF + ∠BOE = 180° - ∠EOF = 90°，该结论恒成立。
要判定AB//CD，已知∠D=100°，根据“内错角相等，两直线平行”，需要∠BOD=∠D=100°，结合OE平分∠BOD，即需要∠BOE=½∠BOD=50°。
逐一分析选项：
A. 若∠BOE=50°，则∠BOD=2∠BOE=100°=∠D，内错角相等，可判定AB//CD，不符合题意；
B. ∠BOE + ∠AOF=90°是已知条件下恒成立的结论，添加该条件无法推出∠BOE的度数，也无法得到∠BOD和∠D的关系，因此不能判定AB//CD，符合题意；
C. 若∠AOF=40°，结合∠AOF + ∠BOE=90°，得∠BOE=50°，同理可得∠BOD=100°=∠D，可判定AB//CD，不符合题意；
D. 若180°−∠BOD = 80°，计算得∠BOD=100°=∠D，可判定AB//CD，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题重点考查平行线的判定条件，解题时需先梳理已知条件推导得到的恒成立结论，再逐一验证选项条件能否推出判定平行所需的角的等量关系，避免误把恒成立结论当作有效判定条件。
【难度系数】
0.7
要判定AB//CD，已知∠D=100°，根据平行线的判定定理，只需推出内错角∠BOD=∠D=100°即可。结合已知条件：OE平分∠BOD、OF⊥OE，平角∠AOB=180°，可先得到∠AOF+∠BOE=90°是恒成立的结论，再逐一分析每个选项添加的条件能否推出∠BOD=100°，即可判断能否判定平行。
【解析】
已知O是直线AB上的点，故∠AOB=180°，又OF⊥OE，因此∠EOF=90°，可得：∠AOF + ∠BOE = 180° - ∠EOF = 90°，该结论恒成立。
要判定AB//CD，已知∠D=100°，根据“内错角相等，两直线平行”，需要∠BOD=∠D=100°，结合OE平分∠BOD，即需要∠BOE=½∠BOD=50°。
逐一分析选项：
A. 若∠BOE=50°，则∠BOD=2∠BOE=100°=∠D，内错角相等，可判定AB//CD，不符合题意；
B. ∠BOE + ∠AOF=90°是已知条件下恒成立的结论，添加该条件无法推出∠BOE的度数，也无法得到∠BOD和∠D的关系，因此不能判定AB//CD，符合题意；
C. 若∠AOF=40°，结合∠AOF + ∠BOE=90°，得∠BOE=50°，同理可得∠BOD=100°=∠D，可判定AB//CD，不符合题意；
D. 若180°−∠BOD = 80°，计算得∠BOD=100°=∠D，可判定AB//CD，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题重点考查平行线的判定条件，解题时需先梳理已知条件推导得到的恒成立结论，再逐一验证选项条件能否推出判定平行所需的角的等量关系，避免误把恒成立结论当作有效判定条件。
【难度系数】
0.7
13.（南昌期中）学习了平行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，他是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是
①同位角相等，两直线平行；②两直线平行，内错角相等；③同旁内角互补，两直线平行；④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行。
①③
.（把下面所有正确的序号填上）①同位角相等，两直线平行；②两直线平行，内错角相等；③同旁内角互补，两直线平行；④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行。
答案
13. ①③
解析
【分析】
首先明确题目要求是找判定两直线平行的依据，第一步先区分平行线的判定和性质：②是平行线的性质，是已知平行时得到的角的关系，不能作为判定平行的依据，先排除②。接下来结合折纸操作分析：折叠后直线a、b与折痕相交形成的角均为直角，此时同位角相等，可依据①判定平行；同时同旁内角和为180°，互补，可依据③判定平行。最后看④，其适用前提是两条直线都与第三条直线平行，本题操作未涉及该情况，排除④，最终可选的依据为①③。
【解析】
我们先对四个结论逐一分析：
1. 结论②是平行线的性质，是已知两直线平行时得到的角的关系，不能作为判定两直线平行的依据，故排除②；
2. 观察折纸操作：折叠后直线a、b和两次折叠形成的公共折痕相交，得到的同位角均为90°，大小相等，根据“同位角相等，两直线平行”可判定a//b，故①符合要求；
3. 直线a、b与公共折痕相交形成的同旁内角均为90°，和为180°，满足“同旁内角互补，两直线平行”的判定条件，也可判定a//b，故③符合要求；
4. 结论④是平行公理的推论，需要两条直线都和第三条直线平行的前提，本题折纸操作中没有该前提，故排除④。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
平行线的判定；折叠的性质
【点评】
本题结合生活中的折纸操作考查平行线的判定，解题的关键是先区分平行线的判定和性质，再结合折叠后得到的角的数量关系筛选对应的判定依据，能够很好地考查学生对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先明确题目要求是找判定两直线平行的依据，第一步先区分平行线的判定和性质：②是平行线的性质，是已知平行时得到的角的关系，不能作为判定平行的依据，先排除②。接下来结合折纸操作分析：折叠后直线a、b与折痕相交形成的角均为直角，此时同位角相等，可依据①判定平行；同时同旁内角和为180°，互补，可依据③判定平行。最后看④，其适用前提是两条直线都与第三条直线平行，本题操作未涉及该情况，排除④，最终可选的依据为①③。
【解析】
我们先对四个结论逐一分析：
1. 结论②是平行线的性质，是已知两直线平行时得到的角的关系，不能作为判定两直线平行的依据，故排除②；
2. 观察折纸操作：折叠后直线a、b和两次折叠形成的公共折痕相交，得到的同位角均为90°，大小相等，根据“同位角相等，两直线平行”可判定a//b，故①符合要求；
3. 直线a、b与公共折痕相交形成的同旁内角均为90°，和为180°，满足“同旁内角互补，两直线平行”的判定条件，也可判定a//b，故③符合要求；
4. 结论④是平行公理的推论，需要两条直线都和第三条直线平行的前提，本题折纸操作中没有该前提，故排除④。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
平行线的判定；折叠的性质
【点评】
本题结合生活中的折纸操作考查平行线的判定，解题的关键是先区分平行线的判定和性质，再结合折叠后得到的角的数量关系筛选对应的判定依据，能够很好地考查学生对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
14.（1）如图①，E是AD的延长线上一点，如果添加一个条件，使BC//AD，则可添加的条件为：
（2）如图②，点E在AC的延长线上，有下列四个条件：①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③∠A＝∠DCE；④∠D＋∠ABD＝180°.其中，能判定AB//CD的是
∠CBD=∠ADB(答案不唯一)
.（添加一个符合题意的条件即可）（2）如图②，点E在AC的延长线上，有下列四个条件：①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③∠A＝∠DCE；④∠D＋∠ABD＝180°.其中，能判定AB//CD的是
②③④
.（只填序号）答案
14. (1) $∠CBD = ∠ADB$(答案不唯一) (2) ②③④
解析
【分析】
（1）要判定BC//AD，可依据平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行，寻找BC、AD被第三条直线所截形成的满足上述关系的角即可，答案不唯一。
（2）要判定AB//CD，需逐个分析给出的条件：先明确每个角是哪两条直线被哪条截线所截形成的角，再对应判定定理验证是否能推出AB//CD。
【解析】
（1）若添加$∠ CBD = ∠ ADB$，$∠ CBD$和$∠ ADB$是直线BC、AD被直线BD所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得BC//AD，符合要求（也可添加如$∠ C=∠ CDE$、$∠ C+∠ ADC=180°$等，答案合理即可）。
（2）逐一分析条件：
①$∠ 3=∠ 4$：$∠ 3$和$∠ 4$是直线BD、AE被直线BC所截的内错角，相等可推出BD//AE，不能判定AB//CD，不符合要求；
②$∠ 1=∠ 2$：$∠ 1$和$∠ 2$是直线AB、CD被直线BC所截的内错角，相等可推出AB//CD，符合要求；
③$∠ A=∠ DCE$：$∠ A$和$∠ DCE$是直线AB、CD被直线AE所截的同位角，相等可推出AB//CD，符合要求；
④$∠ D+∠ ABD=180°$：$∠ D$和$∠ ABD$是直线AB、CD被直线BD所截的同旁内角，互补可推出AB//CD，符合要求。
综上，能判定AB//CD的是②③④。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠CBD = ∠ADB}$（答案不唯一）；（2）$\boldsymbol{②③④}$
【知识点】
1. 内错角相等，两直线平行；2. 同位角相等，两直线平行；3. 同旁内角互补，两直线平行
【点评】
本题核心考查平行线判定定理的灵活应用，解题的关键是准确区分不同角对应的截线与被截直线，结合判定定理逐一验证即可，熟练掌握三类角的识别和判定定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
（1）要判定BC//AD，可依据平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行，寻找BC、AD被第三条直线所截形成的满足上述关系的角即可，答案不唯一。
（2）要判定AB//CD，需逐个分析给出的条件：先明确每个角是哪两条直线被哪条截线所截形成的角，再对应判定定理验证是否能推出AB//CD。
【解析】
（1）若添加$∠ CBD = ∠ ADB$，$∠ CBD$和$∠ ADB$是直线BC、AD被直线BD所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得BC//AD，符合要求（也可添加如$∠ C=∠ CDE$、$∠ C+∠ ADC=180°$等，答案合理即可）。
（2）逐一分析条件：
①$∠ 3=∠ 4$：$∠ 3$和$∠ 4$是直线BD、AE被直线BC所截的内错角，相等可推出BD//AE，不能判定AB//CD，不符合要求；
②$∠ 1=∠ 2$：$∠ 1$和$∠ 2$是直线AB、CD被直线BC所截的内错角，相等可推出AB//CD，符合要求；
③$∠ A=∠ DCE$：$∠ A$和$∠ DCE$是直线AB、CD被直线AE所截的同位角，相等可推出AB//CD，符合要求；
④$∠ D+∠ ABD=180°$：$∠ D$和$∠ ABD$是直线AB、CD被直线BD所截的同旁内角，互补可推出AB//CD，符合要求。
综上，能判定AB//CD的是②③④。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠CBD = ∠ADB}$（答案不唯一）；（2）$\boldsymbol{②③④}$
【知识点】
1. 内错角相等，两直线平行；2. 同位角相等，两直线平行；3. 同旁内角互补，两直线平行
【点评】
本题核心考查平行线判定定理的灵活应用，解题的关键是准确区分不同角对应的截线与被截直线，结合判定定理逐一验证即可，熟练掌握三类角的识别和判定定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
