登录
15. 如图，点D、F分别在△ABC的边AB、AC上，过点D作DE⊥BC于点E，过点F作FG⊥BC于点G，点H在BD上，连结HE，∠1=∠2，那么HE与AC平行吗？为什么？
答案
平行.理由如下:$\because DE ⊥ BC,\therefore ∠1+∠BEH = 90°.\because FG ⊥ BC,\therefore ∠FGC = 90°.\therefore ∠2+∠C = 90°.\because ∠1 = ∠2,\therefore ∠BEH = ∠C.\therefore HE // AC$
解析
【分析】
要判断HE与AC是否平行，可观察两条直线被第三条直线BC所截形成的同位角是否相等。已知DE⊥BC、FG⊥BC，根据垂直的定义可得两个直角，进而可知Rt△DEB中∠1与∠BEH互余，Rt△FGC中∠2与∠C互余。结合已知∠1=∠2，利用等角的余角相等即可推出同位角∠BEH=∠C，从而根据平行线的判定定理得到两线平行的结论。
【解析】
解：HE与AC平行，理由如下：
$\because DE ⊥ BC$，
$\therefore ∠ DEB=90°$，即$∠ 1+∠ BEH = 90°$，
$\because FG ⊥ BC$，
$\therefore ∠ FGC = 90°$，即$∠ 2+∠ C = 90°$，
又$\because ∠ 1 = ∠ 2$，
$\therefore ∠ BEH = ∠ C$（等角的余角相等），
$\therefore HE // AC$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
平行，理由如下：$\because DE ⊥ BC,\therefore ∠1+∠BEH = 90°.\because FG ⊥ BC,\therefore ∠FGC = 90°.\therefore ∠2+∠C = 90°.\because ∠1 = ∠2,\therefore ∠BEH = ∠C.\therefore HE // AC$
【知识点】
平行线的判定；垂直的定义；等角的余角相等
【点评】
本题是平行线判定的基础应用类题目，解题时需要结合垂直的性质和余角的性质推导得到相等的同位角，从而判断两直线平行，解题关键是准确找到两条平行直线被截形成的同位角。
【难度系数】
0.7
要判断HE与AC是否平行，可观察两条直线被第三条直线BC所截形成的同位角是否相等。已知DE⊥BC、FG⊥BC，根据垂直的定义可得两个直角，进而可知Rt△DEB中∠1与∠BEH互余，Rt△FGC中∠2与∠C互余。结合已知∠1=∠2，利用等角的余角相等即可推出同位角∠BEH=∠C，从而根据平行线的判定定理得到两线平行的结论。
【解析】
解：HE与AC平行，理由如下：
$\because DE ⊥ BC$，
$\therefore ∠ DEB=90°$，即$∠ 1+∠ BEH = 90°$，
$\because FG ⊥ BC$，
$\therefore ∠ FGC = 90°$，即$∠ 2+∠ C = 90°$，
又$\because ∠ 1 = ∠ 2$，
$\therefore ∠ BEH = ∠ C$（等角的余角相等），
$\therefore HE // AC$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
平行，理由如下：$\because DE ⊥ BC,\therefore ∠1+∠BEH = 90°.\because FG ⊥ BC,\therefore ∠FGC = 90°.\therefore ∠2+∠C = 90°.\because ∠1 = ∠2,\therefore ∠BEH = ∠C.\therefore HE // AC$
【知识点】
平行线的判定；垂直的定义；等角的余角相等
【点评】
本题是平行线判定的基础应用类题目，解题时需要结合垂直的性质和余角的性质推导得到相等的同位角，从而判断两直线平行，解题关键是准确找到两条平行直线被截形成的同位角。
【难度系数】
0.7
16. 如图，点O在直线AB上，OC平分$∠ AOF$，OD平分$∠ BOF$，F是DE上一点，连结OF.
（1）试说明：$OC ⊥ OD$；
（2）若$∠ D$与$∠ 1$互余，试说明：$ED // AB$.
（1）试说明：$OC ⊥ OD$；
（2）若$∠ D$与$∠ 1$互余，试说明：$ED // AB$.
答案
(1) $\because OC$平分$∠AOF$,$OD$平分$∠BOF$,$\therefore ∠COF = \frac{1}{2}∠AOF$,$∠DOF = \frac{1}{2}∠BOF$.$\therefore ∠COD = ∠COF + ∠DOF = \frac{1}{2}(∠AOF + ∠BOF) = 90°$.$\therefore OC ⊥ OD$
(2) $\because ∠COD = 90°$,$\therefore ∠1 + ∠BOD = 90°$.$\because ∠D$与$∠1$互余,$\therefore ∠1 + ∠D = 90°$.$\therefore ∠D = ∠BOD$.$\therefore ED // AB$
(2) $\because ∠COD = 90°$,$\therefore ∠1 + ∠BOD = 90°$.$\because ∠D$与$∠1$互余,$\therefore ∠1 + ∠D = 90°$.$\therefore ∠D = ∠BOD$.$\therefore ED // AB$
解析
【分析】
（1）要证OC⊥OD，需证∠COD=90°。结合已知OC、OD分别平分∠AOF、∠BOF，根据角平分线的定义可将∠COD转化为$\frac{1}{2}(∠AOF+∠BOF)$，而∠AOF与∠BOF组成平角∠AOB为180°，代入计算即可得∠COD=90°，证得垂直。
（2）要证ED//AB，可通过证明内错角相等推导。由（1）得∠COD=90°，可知∠1与∠BOD互余，结合已知∠D与∠1互余，根据同角的余角相等可得∠D=∠BOD，二者是ED、AB被OD所截的内错角，内错角相等即可推出两直线平行。
【解析】
(1) $\because OC$平分$∠AOF$，$OD$平分$∠BOF$，
$\therefore ∠COF = \frac{1}{2}∠AOF$，$∠DOF = \frac{1}{2}∠BOF$，
$\therefore ∠COD = ∠COF + ∠DOF = \frac{1}{2}(∠AOF + ∠BOF)$，
$\because$ 点O在直线AB上，$∠AOF+∠BOF=∠AOB=180°$，
$\therefore ∠COD=\frac{1}{2}×180°=90°$，
$\therefore OC ⊥ OD$。
(2) $\because ∠COD = 90°$，
$\therefore ∠1 + ∠BOD = 180°-∠COD=90°$，
$\because ∠D$与$∠1$互余，
$\therefore ∠1 + ∠D = 90°$，
$\therefore ∠D = ∠BOD$，
$\therefore ED // AB$。
【答案】
(1) $OC ⊥ OD$；
(2) $ED // AB$
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定，余角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，侧重考查角的相关性质与平行线判定的应用，解题时需理清角之间的数量关系，结合对应定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
（1）要证OC⊥OD，需证∠COD=90°。结合已知OC、OD分别平分∠AOF、∠BOF，根据角平分线的定义可将∠COD转化为$\frac{1}{2}(∠AOF+∠BOF)$，而∠AOF与∠BOF组成平角∠AOB为180°，代入计算即可得∠COD=90°，证得垂直。
（2）要证ED//AB，可通过证明内错角相等推导。由（1）得∠COD=90°，可知∠1与∠BOD互余，结合已知∠D与∠1互余，根据同角的余角相等可得∠D=∠BOD，二者是ED、AB被OD所截的内错角，内错角相等即可推出两直线平行。
【解析】
(1) $\because OC$平分$∠AOF$，$OD$平分$∠BOF$，
$\therefore ∠COF = \frac{1}{2}∠AOF$，$∠DOF = \frac{1}{2}∠BOF$，
$\therefore ∠COD = ∠COF + ∠DOF = \frac{1}{2}(∠AOF + ∠BOF)$，
$\because$ 点O在直线AB上，$∠AOF+∠BOF=∠AOB=180°$，
$\therefore ∠COD=\frac{1}{2}×180°=90°$，
$\therefore OC ⊥ OD$。
(2) $\because ∠COD = 90°$，
$\therefore ∠1 + ∠BOD = 180°-∠COD=90°$，
$\because ∠D$与$∠1$互余，
$\therefore ∠1 + ∠D = 90°$，
$\therefore ∠D = ∠BOD$，
$\therefore ED // AB$。
【答案】
(1) $OC ⊥ OD$；
(2) $ED // AB$
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定，余角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，侧重考查角的相关性质与平行线判定的应用，解题时需理清角之间的数量关系，结合对应定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
17. 直线AB、CD被直线MN所截，如图①，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE，当∠1=∠2时，小明说明AB//CD的过程如下：
∵EG平分∠MEB，FH平分∠DFE(已知)，
∴∠MEB = 2∠1，∠DFE = 2∠2(①).
∵∠1 = ∠2(已知)，
∴∠MEB = ∠DFE(②).
请你参考上述说理过程，解决下列问题：
（1）请写出上述说理过程中①②③处的理由：
①
（2）如图②，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，∠1与∠2满足什么条件时，AB//CD？说明理由.
（3）如图③，若AB//CD，EG平分∠AEM，FH平分∠CFN，则∠1与∠2存在何种数量关系？说明理由.
∵EG平分∠MEB，FH平分∠DFE(已知)，
∴∠MEB = 2∠1，∠DFE = 2∠2(①).
∵∠1 = ∠2(已知)，
∴∠MEB = ∠DFE(②).
请你参考上述说理过程，解决下列问题：
（1）请写出上述说理过程中①②③处的理由：
①
角平分线的定义
；②等量代换
；③同位角相等,两直线平行
.（2）如图②，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，∠1与∠2满足什么条件时，AB//CD？说明理由.
（3）如图③，若AB//CD，EG平分∠AEM，FH平分∠CFN，则∠1与∠2存在何种数量关系？说明理由.
答案
17. (1) 角平分线的定义 等量代换 同位角相等,两直线平行
(2) 当$∠1 = ∠2$时,$AB // CD$.理由如下:$\because EG$平分$∠AEF$,$FH$平分$∠DFE$,$\therefore ∠AEF = 2∠1$,$∠DFE = 2∠2$.$\because ∠1 = ∠2$,$\therefore ∠AEF = ∠DFE$.$\therefore AB // CD$
(3) $∠1$与$∠2$互余.理由如下:$\because AB // CD$,$\therefore ∠AEM = ∠CFE$,$∠AEF = ∠CFN$,$∠AEF + ∠CFE = 180°$.$\therefore ∠CFN + ∠AEM = 180°$.$\because EG$平分$∠AEM$,$FH$平分$∠CFN$,$\therefore ∠AEM = 2∠1$,$∠CFN = 2∠2$.$\therefore 2∠2 + 2∠1 = 180°$.$\therefore ∠1 + ∠2 = 90°$.故$∠1$与$∠2$互余
(2) 当$∠1 = ∠2$时,$AB // CD$.理由如下:$\because EG$平分$∠AEF$,$FH$平分$∠DFE$,$\therefore ∠AEF = 2∠1$,$∠DFE = 2∠2$.$\because ∠1 = ∠2$,$\therefore ∠AEF = ∠DFE$.$\therefore AB // CD$
(3) $∠1$与$∠2$互余.理由如下:$\because AB // CD$,$\therefore ∠AEM = ∠CFE$,$∠AEF = ∠CFN$,$∠AEF + ∠CFE = 180°$.$\therefore ∠CFN + ∠AEM = 180°$.$\because EG$平分$∠AEM$,$FH$平分$∠CFN$,$\therefore ∠AEM = 2∠1$,$∠CFN = 2∠2$.$\therefore 2∠2 + 2∠1 = 180°$.$\therefore ∠1 + ∠2 = 90°$.故$∠1$与$∠2$互余
解析
【分析】
本题围绕角平分线定义、平行线的判定与性质展开考查：
(1) 第一问需匹配推理步骤对应的依据：角平分线可将角分为两个相等的角，对应角平分线的定义；由∠1=∠2推出2∠1=2∠2是等量代换；由同位角相等推出两直线平行对应平行线判定定理。
(2) 第二问要判定AB//CD，可先找内错角∠AEF和∠DFE的关系，结合角平分线定义用∠1、∠2表示这两个角，即可得到∠1、∠2满足的条件。
(3) 第三问已知AB//CD，先利用平行线性质得到相关角的数量关系，再结合角平分线定义把∠AEM、∠CFN用∠1、∠2表示，推导即可得到∠1和∠2的数量关系。
【解析】
(1) ①根据角平分线的定义，角平分线会把一个角分成两个大小相等的角，因此∠MEB=2∠1，∠DFE=2∠2，对应依据为角平分线的定义；
②已知∠1=∠2，给等式两边同时乘2可得2∠1=2∠2，即∠MEB=∠DFE，对应依据为等量代换；
③∠MEB和∠DFE是直线AB、CD被MN所截形成的同位角，同位角相等可推出两直线平行，对应依据为同位角相等，两直线平行。
(2) 当∠1=∠2时AB//CD，推导如下：
已知EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，根据角平分线的定义可得∠AEF=2∠1，∠DFE=2∠2；
已知∠1=∠2，等量代换可得∠AEF=∠DFE；
∠AEF和∠DFE是直线AB、CD被MN所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，即可推出AB//CD。
(3) ∠1和∠2互余，推导如下：
已知AB//CD，根据两直线平行，同位角相等可得∠AEM=∠CFE，∠AEF=∠CFN；
根据平角的定义，∠AEF+∠CFE=180°，等量代换可得∠CFN+∠AEM=180°；
已知EG平分∠AEM，FH平分∠CFN，根据角平分线的定义可得∠AEM=2∠1，∠CFN=2∠2；
代入上式得2∠1+2∠2=180°，等式两边同时除以2得∠1+∠2=90°，即∠1和∠2互余。
【答案】
(1) 角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行
(2) 当$∠ 1 = ∠ 2$时，$AB // CD$。理由如下：$\because EG$平分$∠ AEF$，$FH$平分$∠ DFE$，$\therefore ∠ AEF = 2∠ 1$，$∠ DFE = 2∠ 2$。$\because ∠ 1 = ∠ 2$，$\therefore ∠ AEF = ∠ DFE$。$\therefore AB // CD$
(3) $∠ 1$与$∠ 2$互余。理由如下：$\because AB // CD$，$\therefore ∠ AEM = ∠ CFE$，$∠ AEF = ∠ CFN$，$∠ AEF + ∠ CFE = 180°$。$\therefore ∠ CFN + ∠ AEM = 180°$。$\because EG$平分$∠ AEM$，$FH$平分$∠ CFN$，$\therefore ∠ AEM = 2∠ 1$，$∠ CFN = 2∠ 2$。$\therefore 2∠ 2 + 2∠ 1 = 180°$。$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 90°$。故$∠ 1$与$∠ 2$互余
【知识点】
角平分线的定义、平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题是平行线章节的典型综合题，将角平分线的性质与平行线的判定、性质结合考查，解题核心是准确识别截线与被截线形成的同位角、内错角，理清角之间的数量关系，结合定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
本题围绕角平分线定义、平行线的判定与性质展开考查：
(1) 第一问需匹配推理步骤对应的依据：角平分线可将角分为两个相等的角，对应角平分线的定义；由∠1=∠2推出2∠1=2∠2是等量代换；由同位角相等推出两直线平行对应平行线判定定理。
(2) 第二问要判定AB//CD，可先找内错角∠AEF和∠DFE的关系，结合角平分线定义用∠1、∠2表示这两个角，即可得到∠1、∠2满足的条件。
(3) 第三问已知AB//CD，先利用平行线性质得到相关角的数量关系，再结合角平分线定义把∠AEM、∠CFN用∠1、∠2表示，推导即可得到∠1和∠2的数量关系。
【解析】
(1) ①根据角平分线的定义，角平分线会把一个角分成两个大小相等的角，因此∠MEB=2∠1，∠DFE=2∠2，对应依据为角平分线的定义；
②已知∠1=∠2，给等式两边同时乘2可得2∠1=2∠2，即∠MEB=∠DFE，对应依据为等量代换；
③∠MEB和∠DFE是直线AB、CD被MN所截形成的同位角，同位角相等可推出两直线平行，对应依据为同位角相等，两直线平行。
(2) 当∠1=∠2时AB//CD，推导如下：
已知EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，根据角平分线的定义可得∠AEF=2∠1，∠DFE=2∠2；
已知∠1=∠2，等量代换可得∠AEF=∠DFE；
∠AEF和∠DFE是直线AB、CD被MN所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，即可推出AB//CD。
(3) ∠1和∠2互余，推导如下：
已知AB//CD，根据两直线平行，同位角相等可得∠AEM=∠CFE，∠AEF=∠CFN；
根据平角的定义，∠AEF+∠CFE=180°，等量代换可得∠CFN+∠AEM=180°；
已知EG平分∠AEM，FH平分∠CFN，根据角平分线的定义可得∠AEM=2∠1，∠CFN=2∠2；
代入上式得2∠1+2∠2=180°，等式两边同时除以2得∠1+∠2=90°，即∠1和∠2互余。
【答案】
(1) 角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行
(2) 当$∠ 1 = ∠ 2$时，$AB // CD$。理由如下：$\because EG$平分$∠ AEF$，$FH$平分$∠ DFE$，$\therefore ∠ AEF = 2∠ 1$，$∠ DFE = 2∠ 2$。$\because ∠ 1 = ∠ 2$，$\therefore ∠ AEF = ∠ DFE$。$\therefore AB // CD$
(3) $∠ 1$与$∠ 2$互余。理由如下：$\because AB // CD$，$\therefore ∠ AEM = ∠ CFE$，$∠ AEF = ∠ CFN$，$∠ AEF + ∠ CFE = 180°$。$\therefore ∠ CFN + ∠ AEM = 180°$。$\because EG$平分$∠ AEM$，$FH$平分$∠ CFN$，$\therefore ∠ AEM = 2∠ 1$，$∠ CFN = 2∠ 2$。$\therefore 2∠ 2 + 2∠ 1 = 180°$。$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 90°$。故$∠ 1$与$∠ 2$互余
【知识点】
角平分线的定义、平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题是平行线章节的典型综合题，将角平分线的性质与平行线的判定、性质结合考查，解题核心是准确识别截线与被截线形成的同位角、内错角，理清角之间的数量关系，结合定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
